高三数学概率复习考试几何概率)

1、2018年高三数学概率复习(3)几何概率【知识点】第6课时几何概型纵观近几年高考所涉及几何概型的考查内容特点是与实际生活密切相关，这就要求抓好破势训练，从不同角度，不同侧面对题目进行分析，查找思维的缺陷.1几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 (面积或体积)成比例,那么称这样的概率模型为 几何概率模型，简称为几何概型.2几何概型中事件A的概率计算公式八构成事件A的区域长度(面积或体积)P(A)=试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)-3要切实理解掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性

2、.4.几何概型的试验中事件A的概率P(A)只与子区域 A的几何度量(长度、面积和体积)成正比，而与 A的位置和形状无关.5求试验中几何概型的概率关键是求得事件所占区域和整个区域Q的几何度量，然后代入公式即可求解.4. (2016 衡水调研卷)已知 A = (x, y)|-1x1 , 0 y 2 , B = (x , y)|11-x20成立的I率为 2【解析】x23x + 20? x2或x0? pW 1或p2.又.pC 0 , 5,方程 x2+px +十P- 41I2=0有实数根的p的取值范围是2, 5.方程x2+ px+4 + 2=0有实数根的概率为区间2, 5的长度3P= 7.区间0, 5的

3、长度53.3、(2)在区间01A-33C.8兀上随机取一个数，使 cosx的值介于一2与之间的概率为()2B.35D.8【解析】 cosx的值介于- 乎与日之间的区间长度为 5_；=与.由几何概型概率计 226632兀32算公式，得P=w.故选B.兀一03【答案】BSSZ与面积有关的几何概型例2 (1)设xC0, 3, ye 0, 4,求点M落在不等式组:x+2y-3 0,所表示的y 0平面区域内的概率.【解析】 依条件可知，点 M0x 3,均匀地分布在平面区域(x , y)|内，属于几0y4何概型.该平面区域的图形为图中矩形OABC围成的区域，面积为 S=3X4=12.而所求事件构成的平面区

4、域为x+2y-30,其图形如图中的三角形OAD(阴影部分).又直线x + 2y3y 0=0与x轴，y轴的交点分别为 A(3, 0), D(0, 3), . 13 9二三角形OAD的面积为Si = 2X 3X2 = 4.9Si43.所求事件的概率为p=S1=%=急S12 16【答案】i36(2)两人约定在20: 00到21: 00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20: 00至21: 00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率.【思路】两人不论谁先到都要等迟到者40分钟，即21、时.设两人分别于 x时和y3时到达约见地点，要使两人在约

5、定的时间范围内相见，当且仅当一|x-y2,因此转化33成面积问题，利用几何概型求解.【解析】设两人分别于 x时和y时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当一|x-y0,0）,且点C与点D在函数f（x） =1的图像上.若在矩形 ABCD内随机取一-2x+ 1, x0,点，则此点取自阴影部分的概率等于()1B.41 A.63C.81D.2【解析】依题意得，点 C的坐标为(1, 2),所以点D的坐标为(一2, 2),所以矩形13ABCD的面积S矩形abcd = 3X2=6,阴影部分的面积 S阴影=X 3X 1 =万，根据几何概型的3S阴影 2 1概率求解公式，得所求的概率P= 7=7

6、,故选B.S 矩形 ABCD 64【答案】B(2)(2016湖北八校联考)正方形的四个顶点A( 1, 1), B(1, 1), C(1, 1), D(-1,1)分别在抛物线y= x2和y = x2上，如图所示.若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是 .【解析】利用定积分直接求面积，再利用几何概型的概率公式求解.正方形内空白部分面积为 1 x2-(-x2)dx-1=1 2x2dx=2x3| 11=2- -3 =4, 3333-1阴影部分面积为2X24=8, 3 3832所以所求概率为3= 2.4 3【答案】23题型三与体积有关的几何概型例3已知正三棱锥S-ABC的底

7、面边长为4,高为3,在正三棱锥内任取一点 P,使，口.1信 V PABC/Vs-ABC 的概率是 .【解析】当P在三棱锥的中截面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P= 1* 8 8【答案】7 8探究3几何概型的概率公式中的“几何度量”，除了前面的长度、面积，也可以是体积，而且只与体积大小有关.思考题3 (1)若在棱长为a的正方体ABCD AiBiCiDi内任取一点P,则点P到点A 的距离不大于 a的概率为.1【解析】满足条件的点在以A为球心，半径为 a的1球内，所以所求概率为 P =81X 438* 3兀a兀a3 =6.兀【答案】-6(2)有一个底面半径为 1,高为2的圆柱，点

8、O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机抽取一点 P,则点P到点O的距离大于1的概率为 .【解析】圆柱的体积V柱=7tR2h=2Tt,半球的体积V半球=；X ：兀r3 = 兀. 2 33圆柱内一点P到点O的距离小于等于1的概率为点P到点O的距离大于1的概率 3位 1 2为 1 一 二一3 3.【答案】2 3题型四 与角度有关的几何概jT-例4过等腰RtAABC的直角顶点C在/ ACB内部随机作一条射线，设射线与AB相交于点D,求ADAC的概率.【解析】在AB上取一点 E,使AE=AC,连接 CE(如图)，则当射线 CD落在67.5/ACE 内部时，ADAC.易知 / ACE= 67.5 ,

9、.ADAC 的概率 P=0 75900【答案】0.75每次试探究4 (1)解决概率问题先判断概型，本题属于几何概型，满足两个条件:每次试验的各种结验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域表示;果是等可能的.(2)对于两个区域 A、B,且A? B,当区域B为平面图形时，如果点 P在整个平面图形上或线段长度上分布不是等可能的，注意观察角度是否等可能，若与角度有关，则可以 选择角度作为区域的测度.当考查对象为线时，一般用角度比计算.思考题4 (1)如图所示，M是半径为R的圆周上的一个定点，在圆周上等可能地任取一点N,连接MN ,则弦MN的长度超过2r的概率是当弦MN的长度恰为42R时，

10、ZMON =-,如图.当点 N落在半圆弧NMN 上时，弦MN的长度不超过,2R,故所求概率为 P= 2.(2)在直角坐标系内，射线 OT落在60的终边上，任作一条射线OA,求射线OA落在/ xOT内的概率.【解析】以O为起点作射线 OA是随机的，因而射线 OA落在任何位置都是等可能的.射线OA是否落在ZxOT内只与ZxOT的大小有关，符合几何概型的条件.于是，记B = 射线OA落在ZxOT内,601,. AOT = 60 , P（B）=-.360。6【答案】1 6令之本课总结k1.几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限 个.它的特点是试验结果在一个区域内的分布，所

11、以随机事件的概率大小与随机事件所在 区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关.【自主练习】1.设x C 0 , 4,则x2W 4的概率是（）A2BA.3.4八1r 1C-D-32答案 D解析 由x2W4解得一2WxW2.因为xC 0, 4,取交集得20 14-0-2.2. （2014辽宁文）若将一个质点随机投入如图所示的长方形则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）口Oa*ax e 0 , 2,所以x2 4的概率是ABCD 中，其中 AB =2, BC=1,几何概型的“约会问题”已经是程序化的方式与技巧，必须熟练掌握兀A.-2答案解析由几何概型的概率公式可知质点落在以AB为直径的半圆内的概率

12、P =1半圆的面积 2兀兀 = 故选 B.长方形的面积 243.在长为12 cm的线段AB上任取一点并以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率为1A.4C.27答案 A解析 面积为36 cm2时，边长 AM =6 cm；面积为81 cm2时，边长 AM = 9 cm.9 6 31 D1212 4.4.如图所示，在圆心角为 90的扇形中，以圆心O为起点作射线 OC,则使得/ AOC和D.fP(A) =OC活动区域的圆心角度数60 / AOB的度数9023.5.已知菱形 ABCD的边长为 4, 四个顶点的距离大于 1的概率是（Z ABC = 150 ,若在

13、菱形内任取一点，则该点到菱形的/BOC都不小于15的概率为（）1A.4C.2答案 D解析 依题意可知ZAOC 15 ,75 , ZBOC 15 ,75 ,故OC活动区域为与 OA ,OB构成的角均为15的扇形区域，可求得该扇形圆心角为 （90 -30）= 60.7t兀B- 1-T兀D. 1-8答案 D解析p 4X4Xsin150 加 12 兀4X4Xsin1508.6.在棱长为2的正方体ABCD -A1B1C1D1中，点 O为底面 ABCD 的中心，在正方体ABCD AiBiCiDi内随机取一点P,则点P到点。的距离大于1的概率为（）兀C.6兀D- 1-T答案 解析 正方体的体积为 2X2X2

14、= 8,以。为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积2兀为2X 3兀r3=2x43 13=?,则点P到点。的距离小于或等于 1的概率为-8 = 12,故点2 3233812兀到点。的距离大于1的概率为1-行7. （2013陕西理）如图，在矩形区域 ABCD的A, C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分另J是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）.若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是兀B.y-1兀C. 2.- 答案 A兀兀解析 依题意知，有信号白区域面积为7x2=3,矩形面积为 2,故无信号的概率P兀2-2兀= 1-4.8. （2

15、013四川理）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮.那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（）A.437D.8答案 C解析 设通电x秒后第一串彩灯闪亮，y秒后第二串彩灯闪亮.依题意得0WxW4, 0y4, .6=4X4=16. . 1又两串彩灯闪亮的时刻相差不超过2秒，即|xy|W2,如图可知，符合要求的S =6-X2x2 1x2X2=12, . = = =32 2 2 S 16 4.9.若在区域x+ y-y20,内任取一点y 0P,则点P落在单位圆x2+ y

16、2= 1内的概率为兀A.万兀B. 8兀D.7答案 D兀S半圆2兀解析 区域为4ABC内部（含边界），则概率为P=-=-,故选D.SABC 2 X 2亚 X 表 4兀）,及直线x= a,10 .如图所示，矩形 OABC内的阴影部分是由曲线 f（x）=sinx, xC（0, 1-aC（0,兀）与x轴围成，向矩形 OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为则a的值是（）D 5jt答案 B解析 图中阴影部分的面积为 S1 = asinxdx = cosx| 0= 1 cosa,矩形面积S=ag=6,则 a0S1 1 cosa 112 兀根据几何概型有P=?= 丁 =4,解得cosa=-2,所以a=

17、故选B.180粒落到阴11 . （2014福建文）如图所示，在边长为 1的正方形中随机撒 1 000粒豆子，有影部分，据此估计阴影部分的面积为答案 0.18解析 几何概型与随机模拟实验的关系.由题意知，这是个几何概型问题,S 阴1800.18.S 正=1, ，S 阴= 0.18.12.若在区间0, 10内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间0, 10内的概率是-L 一兀答案40解析 将取出的两个数分别用x, y表示，则0x10, 0WyW10.如图所示，当点（x, y）落在图中的阴影区域时，取出的两个数的平方和也在区间140, 10内，故所求概率为一TtX 10102兀= 40.13 .

18、如图所示，图 2中实线围成的部分是长方体 （图1）的平面展开图，其中四边形 ABCD 是边长为1的正方形.若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开一 1 一图内的概率是4,则此长方体的体积是 答案 3解析 设长方体的高为 h,由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展方2 + 4h1图内的概率 P=:，解得h= 3,故长方体的体积为1X1X3= 3.（2h+2） （2h+1）414 .（2016潍坊一模）甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中四个阴影部分均为扇形，且每个

19、扇形圆心角均为15。，边界忽略不计）即为中奖.乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出 2个球（球除颜色外不加区分）,如果摸到的是2个红球，即为中奖.问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？答案乙商场中奖的可能性大r2（r为圆盘的半解析 如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为兀径)，阴影区域的面积为60 3604X15tiR2ttR2求2所以，在甲商场中奖的概率为1=*=6.如果顾客去乙商场，记盒子中3个白球为ai,32,as,3个红球为bi,b2,b3,记(x,y)为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：(ai,32),(ai,as),(ai,bi),(ai,b

20、2),(ai,bs),(a2,a3),(a2,b)，(a2,b2),(a2,b3),(a3,b)，(a3,b2),(a3,b3),(bi,b2),(b1，b3),(b2, b3),共 i5种，摸到的2个球都是红球有(bi, b2), (bi, b3), (b2, b3)共3个，所以在乙商场中奖的概率为3 ip2=一P2 i5 5.由于PiP2,所以顾客在乙商场中奖的可能性大.15 . (20i6广东深圳)已知复数z=x + yi(x, yC R)在复平面上对应的点为M.设集合P=-4, 3, 2, 0, Q=0, i, 2,从集合P中随机抽取一个数作为x,从集合Q中随机抽取一个数作为y,求复数

21、z为纯虚数的概率；, i答案i6解析 记“复数z为纯虚数”为事件A. 组成复数 z 的所有情况共有 i2 个：4, - 4+i, -4+2i, 3, 3+i, -3+2i, 2, 2+i, 2+2i, 0, i, 2i,且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A包含的基本事件共 2个：i, 2i, 2i.所求事件的概率为P(A)=-.i6.张先生订了一份报纸，送报人在早上6: 307: 30之间把报纸送到他家，张先生离开家去上班的时间在早上 7: 008: 00之间，求张先生在离开家之前能得到报纸的概率.答案78解析 以横坐标x表示报纸送到时间，以纵坐标y表示张先生离家时间，建立平面

22、直角坐标系，因为随机试验落在正方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件.根据题意只要点落到阴影部分，就表示张先生在离开家前能得到报纸，即所求事件发生，则P(A) =1X1 1、/1、,一乂一乂2 278.1. (2016重庆一中期中)在-23上随机取一个数 x,则(x+1)(x 3)W0的概率为(A 2A. 5B.;3C.54D.5答案 D解析由(x+1)(x 3)W0,得一，一,，一一一 一，41wxw 3.由几何概型得所求概率为-.2. 一只蜜蜂在一个棱长为 3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体 6个表面的距离均大于 1,称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行

23、”的概率为4兀A. 8181 4 兀B.81 -C C.27答案解析由已知条件可知，蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型可得蜜蜂131“安全飞行”的概率为p=3= 27.R M 口1A3,3C.33.如图所示，在 ABC中，/ B=60 , / C = 45 ,高 AD = V3,在/ BAC内作射线 AM交BC于点M ,则BM1的概率为()25,3 1D. 2答案 B、,兀兀 兀 5 7t兀 5 7t 2解析由题意知/ BAD = 6, /BAC=4+6 = i2,所以BM1的概率为-12 = 5.4,已知实数 a满足3aP2B. P1=P2C. Pl0,得aw 2或a2.故Pi37.2 （一 3）4 24一（一 3）4一（- 3）若f(x)的定义域为 R,则A2=a2-40,得一2a2.54故 P2=7. .P1P2.5. (2016湖南澧县三校)假设在时间间隔T内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机.若这两条短信进入手机的间隔时间不大于t(0tT),则手机受到干扰.手机受到干扰的概率是()t 2t 2A.(T)2B. (1-)2t 2t