函数定义域值域求法总结

1、函数定义域、值域求法总结一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围。求函数的定义域需要从这几个方面入手：(1)分母不为零(2)偶次根式的被开方数非负。(3)对数中的真数部分大于00(4)指数、对数的底数大于0,且不等于1(5) y=tanx 中 乂*卜冗+九/2； y=cotx 中 xwk九 等等。另解：要使函数有意义，必须:例2求下列函数的定义域:(6 ) x0 中 x 0 f(x) _1一1Ax f(x) f (x),x23x42x 1(x 1)0,lx x常用的求值域的方法：(1)直接法(2)图象法(数形结合)(3)函数单调性法(4)配方法(5)换元法(包括三角换元)(6)反函数法(

2、逆求法)(7)分离常数法(8)判别式法(9)复合函数法(10)不等式法(11)平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。二、值域是函数y=f(x)中y的取值范围13 3x 7解：要使函数有意义，必须:，函数 f(x) -.j4x2 1即:x . 3三、典例解析要使函数有意义，必须:1的定义域为:3x13, 34或x13H x 11、定义域问题例1求下列函数的定义域：-11 f (x): f (x)<3x 2； f (x) 7x 1 x 22 x_r，一1 一一、解：.x-2=0 ,即x=2时，分式 无意义，x 21而x 2时，分式有意义，这个函数的定义域是x|x 2 .x 2,3

3、x+2<0,即x<-2时，根式v'3x 2无意义，3而3x 2 0,即x 2时，根式43x 2才有意义,312.这个函数的定义域是x|x -.3x 1 0且2 x 0,即x 1且x 2时，根式JT7和分式 同时有意义,2 x.这个函数的定义域是x|x 1且x 2，定义域为： x| x要使函数有意义，必须:.函数的定义域为：x|x要使函数有意义，必须: 定义域为：x | x要使函数有意义，必须:4R且 x0,1,x 23x 70x即x< 1或x> ，定义域为：x|x-3313例3若函数y2axax1，一的定义域是R,求实数 aa的取值范围.解：,一定义域是R, 1

4、_ 2axax1 0恒成立, aa等价于a204a 1 a例4若函数y f(x)的定义域为?11,求函数yf (x;)1,一f(x 一)的定义域.4解：要使函数有意义，必须:141454343454，函数yf(x4)f (x1 ,一-)的定义域为:4x|例5已知f(x)的定义域为1, 1,求f(2x 1)的定义域。分析：法则f要求自变量在1,1内取值，则法则作用在2x-1上必也要求2x-1 在1, 1内取值，即一102x101,解出x的取值范围就是复合函数的定义 域；或者从位置上思考f(2x 1)中2x1与f(x)中的x位置相同，范围也应一 样， 102x101,解出x的取值范围就是复合函数的

5、定义域。(注意：f(x)中的x与f(2x 1)中的x不是同一个x,即它们意义不同。)解：f(x)的定义域为1, 1,.- -1<2x-1<1,解之 0&x&1, .f(2x 1)的定义域为0, 1。例6已知已知f(x)的定义域为 1,1,求f(x 2)的定义域。答案：10x201 x2< 11<x<1练习：设f(x)的定义域是?3 ,<2 ,求函数f (Vx2)的定义域.解：要使函数有意义，必须:xx >00xx 2.20x64-. 2.函数f(Jx 2)的定域义为：x|0x 6 4.2例7已知f(2x 1)的定义域为0 , 1,求f(

6、x)的定义域因为2x1是R上的单调递增函数，因此由2x-1, x 0,1求得的值域1, 1 是f(x)的定义域。已知f(3x 1)的定义域为-1, 2),求f(2x+1)的定义域。(提示：定义域是自变量x的取值范围)练习：已知f(x 2)的定义域为1, 1,求f(x)的定义域A.已知函数x的定义域是0,2f 2x1,1A. A B2、求值域问题1的定义域是2)1D.1 xB B. B A的定义域为B,利用常见函数的值域来求(直接法)一次函数y=ax+b(ak反比例函数y -(k x二次函数f (x) ax20)的定义域为C. Ap BR,值域为RD. A0)的定义域为x|x 0，值域为y|y0

7、；bxc(a 0)的定义域为R,当a>0时，值域为 y 1y例1求下列函数的值域 y=3x+2(-1 x 1)小1y x (记住图像)x解：.一-1 x 1,-32(4ac b);当 a<0 时，值域为 y1y 4a2 f(x) ，(1x3) 3x3x 3,.-13x+2 5,即-1 y 5, .值域是-1 , 52(4ac b )4a略当a>0时，则当xB时，其最小值2aymin2(4ac b ).,4aD 当 x>0, y1 = (Vx ；)2 2 2 x , x当x<0时,) = (Jxx 1 )2 2x值域是(2+ ).(此法也称为配方法)当a<0时

8、，则当x-b时，其最大值v2aymax(4ac b2)4a若定义域为x a,b,则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间a,b.若x0再比较a,b,则f(xo)是函数的最小值(a>0)f(a), f (b)的大小决定函数的最大(小)值时或最大值(a<0)时,函数y x1 ，的图像为:x若x。a,b,则a,b是在f(x)的单调区间内,只需比较f (a), f (b)的大小即可决定函二次函数在区间上的值域(最值)：数的最大(小)值.例2 求下列函数的最大值、最小值与值域:注：若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大(小)值;当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关

9、系进行讨论Dy4x1；4x 1, x3,44x1,x 0,1； y x2练习:1、求函数y=3+V(23x)的值域4x1,x0,5；解：由算术平方根的性质，知， (2 -3x) >0,解：y4x 1 (x 2)2 3, 顶点为(2,-3),顶点横坐标为2.故 3+，(2 -3x)>3o，函数的值域为3,抛物线的开口向上，函数的定义域R,，x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是y|y-3 .2、求函数y2x 5 , x 0,5的值域.顶点横坐标 2 3,4当 x=3 时,y= -2 ; x=4时，y=1;y3I21解： 对称轴0,5.在3,4上,ymin =-2ymax

10、= 1；值域为-21.-2 -1 o-1-2-31时，叫，y miny max;顶点横坐标2 0,1,当 x=0 时，y=1; x=1 时,y=-2,.在0,1上,ymin =-2ymax = 1；值域为-2,1.,一顶点横坐标2 0,5,当 x=0 时，y=1; x=2 时,y=-3, x=5时,y=6,.在0,1上,y min =-3ymax=6；值域为-3 , 6.20值域为 4,20求函数y=4x V 1-3x(x < 1/3)的值域。解：法一：(单调性法) 设f(x)=4x,g(x尸-V1-3x ,(x < 1/3),易知它们在定义域内为增函数,从而 y=f(x)+g(x

11、)= 4x V 1-3x在定义域为xw 1/3上也为增函数，而且 yWf(1/3)+g(1/3)=4/3, 因此，所求的函数值域为 y|y W4/3 。小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增 减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。注：对于二次函数 f (x) ax2bx c(a 0),练习：求函数y=3+ V4-x的值域。(答案：yy >3)法二：换元法(下题讲)若定义域为R时,例4 求函数y x 25一x的值域解：(换元法)设、1x t ,则 y t2 2t 1 (t 0)对称轴t 10,，且开口向下当 t 1 时，y

12、max 2值域为 ,2点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函 数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习：求函数y=Vx-1 - x的值域。(答案：y|y w 3/4例5(选)求函数y JXF J5X的值域解：(平方法)函数定义域为：x 3,5y2 (x 3) (5x)2 .x28x15由 x 3,5 ,得x28x150,1y22,4原函数值域为2 ,2例6(选不要求)求函数 y x J x2的值域解：(三角换元法)1x1设x cos 0,例7 求y x 3 x 1解法一：(图象法)可化为观察得值域 y 4解法二：(零

13、点法)画数轴-1的值域4y 2 2x4y 4利用I a bx 11 x 3x 3表示实数a,b在数轴上的距离可得。解法三：(选)(不等式法)x 3 x 1 |(x 3) (x 1)4x 3 x 1 (x 1) 4 x 1 x练习：y x x 1的值域呢例8 求函数y 9x 3x 2 (x 0,1 )的值域同样可得值域4 x 14(1,)(三种方法均可)y cos sin cos sin<2sin()1,J24原函数的值域为1,、.2小结：(1)若题目中含有 a 1,则可设a sin ,(或设 a cos ,0)22若题目中含有a2 b2 1则可设a cos ,b sin ,其中02(3)

14、若题目中含有41x2,则可设xcos,其中0(4)若题目中含有41x2,则可设xtan,其中一一22(5)若题目中含有 x y r (x 0, y 0, r 0),则可设 x r r cos2 , y dr sin2解：(换元法)设3xt ,则1 t 3原函数可化为1y t2 t 2,对称轴 t 1,32t 1 时，ymin 2 ; t 3 时，ymax 8值域为2,8x2 2 x1例9求函数y 一 的值域3解：(换元法)令tx2 2x (x 1)2 1 ,则y1由指数函数的单调性知，原函数的值域为一，3其中0，一2例10求函数y 2x (x 0)的值域解：（图象法）如图，值域为 0,1原函数

15、的值域为1,1解法二：（换元法）设x2 1 t ,则t 10-21 y 1t原函数值域即得解法三：（判别式法）原函数可化为 （y 1）x2 0 x y 1 01） y 1时不成立2） y 1 时， 00 4（ y 1）（ y 1） 01 y 1x 1例11 求函数y 的值域x 2解法一：（逆求法）解出x,x L_2y观察得 原函数值域为y y 11 yx 2 33解法二：（分离常数法） 由y1 1 ,可得值域 y y 1x 2 x 2ax b小结：已知分式函数y （c 0）,如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，cx d一a. .值域为 yy ；如果是条件定义域（对自变量有附加条件）

16、，采用部分分式法将原函c数化为.ad bc (adcx d例12 求函数y3x3x 1的值域解法一：（逆求法）3x 一 01 ybc）,用复合函数法来求值域。1)、2)值域y |解法四:（三角换元法）1tan原函数的值域为0,1tan2小结：如果自变量或含有自变量的整体有确定的范围，可采用逆求法。1 tan2cos2cos21,1解法二：（换元法）设3x 13x 1 13x 113x原函数的值域为01练习：y=272x1-、一;(ye(-1 ,1).例13函数yx2 1x2 1的值域解法一:（逆求法）例14yt10 1t1 + t1 1 t原函数的值域为y| 11求函数y2x2 4x 3的值域

17、1) y0时，不成立2) y0时，0得(4y)8y(3y 5) 00y 5解法一：（判别式法）0 y 5化为2 yx2综合1）、2）值域y |0y 54yx (3y 5)解法二：（复合函数法） 令2x2 4x 3 t ,则y 5t_2t 2（ x 1）1 1值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为（选）y的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最0 y 51. .例15 函数y x 1的值域X解法一：（判别式法）原式可化为所以，值域y |0 y 5大最小值;如果不满足用基本不等式的条件,转化为利用函数yax - （x 0）的单调性去解。x练习：x2 (1

18、 y)x 1 00(1 y)2 4 0 y 3或 y 1原函数值域为，13,1解法二：(不等式法)1)当x 0时，x 1 2 y 3x11八.2) x 0时，x -( x)2 y 1x( x),211、y x 9(x 0);x一111 . 9斛：, x 0, y x 丁 9 (x )xx另外，此题利用基本不等式解更简捷：y11 , y 11.21x 9 2 9 11（或利用对勾函数图像法） x综合1） 2）知，原函数彳1域为，13,y 2 2x 4x 30<y 5.3、求函数的值域例16 （选）求函数yx2 2x 2 / (xx 1 y 2 . 4x x21）的值域解：令u 72 x 0

19、,则x 2 u2,解法一：（判别式法）原式可化为 x2 （2 y）x 2 y 00（2 y）2 4（2 y） 0 y 2 或y 2x 1 y 2舍去原函数值域为2 ,原式可化为y 2 u2 u (u -)2 -, 24. u 0, y 9 ,.函数的值域是(-,X .44解法二：（不等式法）原函数可化为2(x 1)1 d 1y x 1 2 ( x 1)x 1x 1解：令t=4x? x2 0得0 x 422.在此区间内(4x? x ) max=4, (4x? x ) min =0当且仅当x 0时取等号，故值域为 2 ,例17 （选）求函数y2_-x 2x 2 ( 2x 1x 2）的值域，函数y 2 v4x x2的值域是