高考数学专题二十九--恒成立存在性问题

1、高考数学难点破解-恒成立存在性问题张振荣 201203知识点梳理1、恒成立问题的转化：恒成立；2、能成立问题的转化：能成立；3、恰成立问题的转化：在M上恰成立的解集为M另一转化方法：若在D上恰成立，等价于在D上的最小值，若在D上恰成立，则等价于在D上的最大值.4、设函数、，对任意的，存在，使得，则5、设函数、，对任意的，存在，使得，则6、设函数、，存在，存在，使得，则7、设函数、，存在，存在，使得，则8、若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方；9、若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象下方；例题讲解：题型一、常见方法1、已知函数，其中，1

2、）对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；2）对任意，都有恒成立，求实数的取值范围； 2、设函数，对任意，都有在恒成立，求实数的取值范围3、已知两函数，对任意，存在，使得，则实数m的取值范围为 题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)1、对于满足的所有实数p,求使不等式恒成立的x的取值范围。2、已知函数是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数，()求的值；()若上恒成立，求的取值范围；题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来）1、当时，不等式恒成立，则的取值范围是 .题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法）1、若对任意,不等式恒

3、成立，则实数的取值范围是_2、已知函数，在恒有，求实数的取值范围。题型五、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上；若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上的.1、存在实数，使得不等式有解，则实数的取值范围为_。2、已知函数存在单调递减区间，求的取值范围小结：恒成立与有解的区别恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一体。不等式对时恒成立，。即的上界小于或等于；不等式对时有解，。 或的下界小于或等于；不等式对时恒成立，。即的下界大于或等于；不等式对时有解，.。 或的上界大于或等

4、于；课后作业： 1、设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值集合为（ ）（A） （B） （C） （D）2、若任意满足的实数，不等式恒成立，则实数的最大值是 _ . 3、不等式有解，则的取值范围是 4、不等式在内恒成立，求实数a的取值范围。5、已知两函数，。（1）对任意，都有)成立，求实数的取值范围；（2）存在，使成立，求实数的取值范围；（3）对任意，都有，求实数的取值范围；（4）存在，都有，求实数的取值范围；6、设函数. （）求函数的单调区间和极值； （）若对任意的不等式成立，求a的取值范围。7、已知A、B、C是直线上的三点，向量，满足：.（1）求函数yf(x)的表达式；（2）若x0，证明：

5、f(x)；（3）若不等式时，及都恒成立，求实数m的取值范围8、设，且（e为自然对数的底数）(I)求 p 与 q 的关系；(II)若在其定义域内为单调函数，求 p 的取值范围；(III)设，若在上至少存在一点，使得成立, 求实数 p 的取值范围.参考答案：题型一、常见方法1、已知函数，其中，1）对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；2）对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；【分析：】1）思路、等价转化为函数恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决2）思路、对在不同区间内的两个函数和分别求最值，即只需满足即可简解：（1）由成立，只需满足的最小值大于即可对求导，故在是增函数，所以的取值范围是 2

6、、设函数，对任意，都有在恒成立，求实数的取值范围分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数以本题为例，实质还是通过函数求最值解决方法1：化归最值，；方法2：变量分离，或；方法3：变更主元，简解：方法1:对求导，由此可知，在上的最大值为与中的较大者，对于任意，得的取值范围是3、已知两函数，对任意，存在，使得，则实数m的取值范围为 解析：对任意，存在，使得等价于在上的最小值不大于在上的最小值0，既，题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)1、对于满足的所有实数p,求使不等式恒成立的x的取值范围。解：不等式即,设，则在-2,2上恒大于0，故有：或2、已

7、知函数是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数，()求的值；()若上恒成立，求的取值范围；O ()分析：在不等式中出现了两个字母：及,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将视作自变量，则上述问题即可转化为在内关于的一次函数大于等于0恒成立的问题。()略解：由()知：，在上单调递减，在上恒成立，只需，（其中）恒成立，由上述结论：可令,则，而恒成立，。题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来）1、当时，不等式恒成立，则的取值范围是 .解析: 当时，由得.题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法）1、若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范

8、围是_解析：对,不等式恒成立、则由一次函数性质及图像知，即。2、已知函数，在恒有，求实数的取值范围。分析：为了使在恒成立，构造一个新函数，则把原题转化成左边二次函数在区间时恒大于等于的问题，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。解：令，则对恒成立，而是开口向上的抛物线。当图象与x轴无交点满足，即，解得。当图象与x轴有交点，且在时，则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得：解得，故由知。小结：若二次函数大于0恒成立，则有，同理，若二次函数小于0恒成立，则有。若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。题型五、不等式能成立问题（有解、存在

9、性）的处理方法若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上；若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上的.1、存在实数，使得不等式有解，则实数的取值范围为_。解：设，由有解，又，解得。2、已知函数存在单调递减区间，求的取值范围解： 因为函数存在单调递减区间，所以有解.即能成立, 设.由得, .于是,由题设,所以a的取值范围是小结：恒成立与有解的区别：恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一体。不等式对时恒成立，。即的上界小于或等于；不等式对时有解，。 或的下界小于或等于；不等式对时恒成立，。即的下界大于或等于；不等式对时有

10、解，.。 或的上界大于或等于；课后作业：1、设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值集合为（ ）（A） （B） （C） （D）答案：B。解析：由方程可得，对于任意的，可得，依题意得。2、若任意满足的实数，不等式恒成立，则实数的最大值是_。 答案：。解析：由不等式可得，由线性规划可得。3、不等式有解，则的取值范围是 解：原不等式有解有解，而，所以。xy034、不等式在内恒成立，求实数a的取值范围。解：画出两个凼数和在上的图象如图知当时，当，时总有所以5、已知两函数，。（1）对任意，都有成立，求实数的取值范围；（2）存在，使成立，求实数的取值范围；（3）对任意，都有，求实数的取值范围；（4）存在

11、，都有，求实数的取值范围；解析：（1）设，问题转化为时，恒成立，故。令，得或。由导数知识，可知在单调递增，在单调递减，在单调递增，且，由，得。（2）据题意：存在，使成立，即为：在有解，故，由（1）知，于是得。（3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意，都有成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，的取值在上具有任意性，要使不等式恒成立的充要条件是：。 ，在区间上只有一个解。，即.（4）存在，都有，等价于，由(3)得，点评：本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件。6、设函数. （）求函数的单调区间和极

12、值； （）若对任意的不等式成立，求a的取值范围。解：（）（1分）令得的单调递增区间为（a,3a）令得的单调递减区间为（，a）和（3a，+）（4分）当x=a时，极小值=当x=3a时，极小值=b. （6分） （）由|a，得ax2+4ax3a2a.（7分）0<a<1，a+1>2a.上是减函数. （9分）于是，对任意，不等式恒成立，等价于又7、已知A、B、C是直线上的三点，向量，满足：.（1）求函数yf(x)的表达式；（2）若x0，证明：f(x)；（3）若不等式时，及都恒成立，求实数m的取值范围解：(1)y2f /(1)ln(x1)0，y2f /(1)ln(x1)由于A、B、C三点共

13、线即y2f /(1)ln(x1)12分yf(x)ln(x1)12f /(1)f /(x)，得f /(1)，故f(x)ln(x1)4分（2）令g(x)f(x)，由g/(x) x0，g/(x)0，g(x)在(0，)上是增函数6分故g(x)g(0)0 即f(x)8分（3）原不等式等价于x2f(x2)m22bm3令h(x)x2f(x2)x2ln(1x2)，由h/(x)x10分 当x1，1时，h(x)max0，m22bm30令Q(b)m22bm3，则得m3或m312分8、设，且（e为自然对数的底数）(I)求 p 与 q 的关系；(II)若在其定义域内为单调函数，求 p 的取值范围；(III)设，若在上至

14、少存在一点，使得成立, 求实数 p 的取值范围.解：(I) 由题意得 而，所以 3分(II)由 (I) 知 ， 4分令，要使在其定义域 (0,+¥) 内为单调函数，只需 h(x) 在 (0,+¥) 内满足：h(x)0 或 h(x)0 恒成立. 5分 当时，所以在 (0,+¥) 内为单调递减，故； 当时，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为，只需，即p1时， h(x)0，f (x) 在 (0,+¥) 内为单调递增，故 p1适合题意. 综上可得，p1或 p0 9分另解：(II)由 (I) 知 f (x) = px2ln x f(x) = p + = p (1

15、+ ) 4分要使 f (x) 在其定义域 (0,+¥) 内为单调函数，只需 f(x) 在 (0,+¥) 内满足：f(x)0 或 f(x)0 恒成立. 5分由 f(x)0 Û p (1 + )0 Û p Û p()max，x > 0 = 1，且 x = 1 时等号成立，故 ()max = 1p1 7分由 f(x)0 Û p (1 + )0 Û p Û p()min，x > 0而 > 0 且 x 0 时， 0，故 p0 8分综上可得，p1或 p0 9分(III)g(x) = 在 1,e 上是减函数x = e 时，g(x)min = 2，x = 1 时，g(x)max = 2e即g(x) Î 2,2e 10分 p0 时，由 (II) 知 f (x) 在 1,e 递减 Þ f (x)max = f (1) = 0 < 2，不合题意。 11分 0 < p < 1 时，由x Î 1,e Þ x0f (x) = p (x)2ln xx2ln x右边为 f (x) 当 p = 1 时的表达式，故在 1,e