应用平面向量基本定理解题题型归纳

1、平面向量基本定理常用题型归纳何树衡X建一平面向量基本定理：如果1，月是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量Z,有且仅有一对实数4,%使得=41+41平面向量基本定理是正交分解和坐标表示的基础，它为“数”和“形”搭起了桥梁，在向量知识体系中处于核心地位.笔者对近十年高考有关平面向量基本定理题目作了系统研究，认为大致分为以下题型：一、基本题型随处可见L1直接利用4,4唯一性求解例1：在直角坐标平面上，巳知。是原点，。4=(2,-4),。3=(-2,2),若xOA+yOB=3AB,XX数xy的值解：xOA+yOB=x(2,-4)+y(-2-2)=(2x-2y9-4x-2y)AB=

2、OB-OA=(-A,2)2x-2y=-12(x=-3<.即x为一3,y为3.-4x-2y=61)?=31.2构建三角形，利用正余弦定理求解例2：如图，平面内有三个向量次，砺，无，其中M与刀夹角为120。，万与历的夹角为30。，丽H历卜1,|灭:卜，若反=及*+/万瓦4eR),则几=,=.解：过C作CD/OB交OA的延长线于D,在RtaODC中，2.1 感受平面内三点共线的结论在解题中简明快捷。常用结论：点。是直线/外一点，点A,B是直线/上任意两点，求证：直线上任意一点巳存在实数G使得万关于基底:OAQB同分析式为而=(17)3+/为反之，若丽=(1f)刀+/历则A,P,B三点共线111

3、(特别地令/不，。P+称为向量中点公式)乙乙乙'11例3：在AABC中，AN=NC,P是BN上的一点,3实数”的值为解：京=1近，.瓶=_L衣34/B,P,N三点共线，AP=niAB+(-ni)AN又AP=?A8+色AN,/.122=11112.2 感受向量数形二重性在证明平面几何中独特魅力例4：在平行四边形OACB中，BD=-BC,OD与BA相交于E,求证：BE=-BA34，11-*设。4=。，OB=b,BD=a,OD=b+a33O,E',D三点共线证明：如图，设E'是线段BA上的一点，且BE'=：BA,只需证E,E'重合即4.E,E重合，.BE=-B

4、A4三、区域问题渐成热点由平面内三点共线定理拓展可以研究区域问题，为解决线性规划问题画出可行域提供理论上依据和操作上的便利，也可以解决向量中类似于点所在位置问题.定理：设O,A,B为平面内不共线的三个定点，动点C满足OC=xOA+yOByR)9记直线OA,OB,AB分别为6人,幅，平面被分成如图7个部分(I卬)，得出结论表(1),表Aiv-充要条件动点c所在区府前朝一x,y满足条件Ix>0,y>0且x+y<lnx>0,y>0且x+y>linx>0,y<0且x+y>lIVx>O,y>OKx+y>l或xO,y>lVX&l

5、t;O,O<y<1VI0<x<l,y<0vnX<O,y<O表表充要条件动点c在线上j-一一一x,y所满足条件相同特征不同特征C在线段AB上x+y=lx>O,y>OC在线段AB的延长线上x<O,y>OC在线段BA的延长线上x>O,y<OC在线段OA上y=00<x<1C在线段OA的延长线上X>1C在线段AO的延长线上x<0C在线段OB上x=00<y<1C在线段OB的延长线上y>iC在线段BO的延长线上上y<0在近十年高考题中，区域问题常以下面两种题型出现.3.1动点所在位置

6、定，判断系数满足条件例5:如图，平面内的两条相交直线OP】和OP?将该平面分割成四个部分，i,n,ni,iv（不包括边界），若丽="丽+丽，且点p落在第m部分，则实数a,b满足（）A. a>0,b>0B. a>0,b<0C. a<0,b>0D. a<0,b<0答案：B例6:如图OMIIAB,点P在射线OM,射线OB及AB的延长线围成的阴影部分内（不含边界）运动，且加=工加+），。4,则x的取值X围是，当x=一；时，y的取值X围是.答案：x<0解：设OSNAB,过S作OB平行线交AB延长线于T,则方的终点P只能在=2线段ST上（不包

7、括端点）由区域V性质得A<O,O<y4l,当赤=,而=1（砺一次）=一,次222此时尸当T在AB的延长线上时，由表得C在线段AB延长线上时价0,广0且X+JU12/.0P=（74+yOB,+y=l二片二即Ly<二222223.2系数满足条件定，判断动点所在位置例7：平面上定点A、B满足网=网=。4。8=2,则点PpP=AOA+丽,用+1/|W1（人£R）所表示的区域面积是A.241B.2、回C.答案：D解：令砺与X轴的非负半轴重合，丽在第一象限内网=网=网网3zAOB=2丁./AOB=3.在第一象限，2>0,/>0:.OP=WA+pOBa2+/z<

8、1P点形成图形的面积为Saob=OAOB2sin/,AOB=X2X2Xsin2*OBSa，Brab=4J3巩固练习及参考答案1 .巳知a=(l,2),B=(3,4),c=(15,22),若。=丸。+/石，求4,/2 .巳知4ABC和点M满足MA+MB+MC=0，若存在实数”使得AB+AC=mAM成立，则尸(A.2B.3C.43 .如右图，在AABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC,AM与BN相交千点P,求AP:PM的值.4 .巳知平行四边形ABCD,点P为四边形内部或者边界上任意一点，向量AP=xAB+yAD,则OxVD. 5的概率是()A.13B.D,1参考答案：1.丸=3,=42