环境系统分析3

1、第三章环境质量大体模型一.污染物在环境介质中的运动特点环境介质是指在环境中能够传递物质和能量的物质,典型的环境介质是空气和水,它们都是流体.污染物在空气中和水体中的运动具有相似的特点.污染物进入环境以后,作着复杂的运动,要紧包括：污染物随着截至流动的迁移运动,污染物在环境介质中的分散运动和污染物的衰减转化运动.1.推流迁移推流迁移是指污染物在气流或水流作用下产生的转移作用.推流迁移通量的计算：fxUxC,fyUyC,fzUzC式中,fx,fy,fzx,y,z方向上的污染物推流迁移通量；Ux,Uy,Uz环境介质在x,y,z方向上的流速分量；C污染物在环境介质中的浓度.推流迁移只能改变污染物的位置

2、,并非能改变污染物的浓度.2.分散作用污染物在环境介质中的分散作用包括分子扩散、湍流扩散和弥散.1、分子扩散.Fick第必然律-分子扩散质量通量与扩散物质的浓度梯度成正比：.1.1.1式中,|x,|y,|z-别离表示x、v、z方向上的污染物扩散通量;扩散系数,分子扩散系数在各个方向上相同,表示分子扩散是各向同性的,等式右边的负号表示污染物质点的运动指向浓度梯度的负方向Em11yEmizEmEm一分子2、湍流扩散.湍流流场中质点的各类状态的瞬时值相关于平均值的随机脉动而致使的分散现象.湍流扩散项是对取时刻平均值后所形成的误差的一种补偿.藉助分子扩散的形式表达湍流扩散：,2,2,2_式中,Ixy,

3、Izx、v、z方向上由湍流扩散所致使的污染物质量通量；C环境介质中的污染物的时刻平均浓度；Ex,Ey,Ez_八y、z方向上的湍流扩散系数.与分子扩散不同,湍流扩散是各向异性的,湍流扩散的方向是污染物浓度梯度的负方向.3、弥散.弥散是为了补偿由于采纳状态的空间平均值描述实际的空间散布所3C3C3CI3Dx,I3Dy,I3Dy一xyz3.污染物的衰减和简化进入环境中的污染物能够分为守恒物质和非守恒物质.守恒物质能够长时刻在环境中存在,它们随着介质的运动和分散作用而不断改变位置和初始浓度,可是可不能改变在就中的总333式中,b,1x、y、z方向上由于弥散作用所致使的污染物质量通量；C一环境介质中污染

4、物的时刻平均浓度的空间平均浓度；Dx,Dy,Dz_乂、y、z方向上的弥散系数.与湍流扩散相同,弥散作用是各向异性的,弥散作用的方向是污染物浓度梯度的负方向.在实际计算中,都采历时刻平均值的空间平均值.为了修正这一简化所造成的误差,引进了湍流扩散项和弥散扩散项,而分子扩散项在任何时候都是存在的,但就数量级来讲,略.符号C通常写作CoExEyEz产生的不同的补偿.一样藉助Fick定律来描述弥散作用:弥散项的阻碍最大,而分子扩散那么往往能够忽量,能够在环境中积存.非守恒污染物在环境中能够降解.非守恒污染物的降解有两种方式,一种是由于污染物自身的运动转变规律决定的,例如放射性物质的衰减,另一种是自环境

5、因素的作用下,由于化学或生物反映而不断衰减,例如有机物的生物化学氧化进程.环境的非守恒物质的降解多遵循一级反映动力学规律:*kC式中,k称为降解速度常数.小结： 推流迁移只改变污染物的位置,而不改变其散布； 分散作用不仅改变污染物的位置,还概貌其散布,但不改变其总量；衰减作用那么能够改变污染物的总量.二.大体模型的推导大体模型的概念： 反映污染物质在在环境介质中运动的大体规律的数学模型称为环境质量大体模型.所谓大体规律确实是指污染物在环境介质中的迁移、分散和降解.大体假定：污染物与环境介质彼此溶合,污染物质点与介质质点具有相同的流体力学特点.污染物在进入环境以后能够均匀地分散开,不产生凝聚、沉

6、淀和挥发,能够将污染物质点看成介质质点进行研究.实际中的污染物,在进入环境以后,除迁移、 分散和衰减外,还会发生一些其它的物理、化学或生物学进程,这些进程将通过对大体模型的修正予以研究和表达.1.零维大体模型所谓零维模型是描述在研究的空间范围内不产生环境质量不同的模型.那个空间范围类似于一个完全混合反映器.零维模型是最简单的一类模型.依照质量守恒原理,能够写出：dCVQC0QCSrV出0式中,V反映器的容积；Qo,Q流入与流出反映器的物质流量；Co-输入反映器的污染物浓度；C-输出反映器的污染物浓度,即反映器中的污染物浓度；r一污染物的反映速度；S一污染物的源与汇.dCVdCQCoCrV假设S

7、=0,那么：出假设是污染物在反映器中的的反映复合一级反映动力学降解规律,即rkC,那么上式能够写作：dCVQC0CkCVdt本式确实是零维模型的大体形式.零维模型普遍应用于箱式空气质量模型和湖泊、水库水质模型中.2.一维大体模型微小体积元一维的质量平衡一维大体模型是指描述在一个空间方向上存在环境质量转变,即存在污染物浓度梯度的模型.通过对一个微小的体积单元的质量平稳进程的推导能够取得一维大体模型.上图表示一个微小体积元在x方向的污染物输入、输出关系.Ax代表体积元的长度.依照流场中微小体积元六面体内的输入输出关系,能够写出:假设是流场中的流速和弥散系数都是常数,那么:一维模型较多地应用于比拟长

8、而狭小的河流水质模拟.3.二维和三维大体模型与推导一维模型相似,能够成立起二维和三维大体模型.假设是在x方向和y方向存在污染物的浓度梯度时,能够写出x、y平面的二维UxCUxCuxCxxDx-CUxDxUxCDxUxCuxCDxkC2CukCx大体模型,二维模型较多应用于宽的河流、河口,也用于空气线源污染模拟.下式是二维模型的大体形式:假设是在xy、z三个方向上都存在污染物浓度梯度,那么能够写出三维空间的环境质量大体模型:空气点源扩散模拟、海洋水质模拟大多利用三维模型三.非稳固源排放的解析解实际的环境质量模型大多属于复杂模型,不易求得模型的解析解.只有在某些特定条件下,即假定介质的流动状态稳固

9、、污染物的排放复合某些特点是,采纳可能求解析解.1.一维流场中的瞬时点源排放a忽略弥散,即Dx=0：该方程能够用特点线方式求解,将其写成两个方程:前一个方程称为特点线方程,他表示污染物进入环境以后的位置x,后一个方程那么表示污染物在某一名置处的浓度.上式的解是:一一一kxCx,tCoexpktCoexpb考虑弥散,即DxW0:2Cx2xDUxuykCyXy2CDy2CC2CCCDzrUXUyzxyuzkCzCUx一xkc0dxdtdCdtUxkCUx2Cu-kCx该式能够通过拉普拉斯变换及其逆变换求解,其解析解为:Cx,tUxC0exp4Dxt,2xUxt4Dxtexpkt式中,C.一起点浓度

10、.在污染物瞬时投放时,上式能够通过拉普拉斯变换和逆变换求解,其解析解如下:Cx,yA.4expDxt,2xuxt4Dxtexpkt式中,M污染物瞬时投放量,A-河流断面面积.假设是污染物投放的延续时刻为At,那么污染物的浓度能够用下式计算:Cx,yuxCexp0.4Dxt,2xUxt4Dxtexpkt这是一个复杂的卷积计算进程.2.瞬时点源排放的二维模型瞬时点源二维模型的解析解为:Cx,y,texp4htDxDy,2uxt4Dxt,2Uytexpkt式中,h平均扩散深度.假设是污染物的扩散受到边界的阻碍右图,边界的反射作用能够通过一个假定的虚源实现.其解析解能够表达如下:4Dyt3.瞬时点源排

11、放的三维模型瞬时点源排放的解析解为:四.大体模型的稳态解1.零维模型2.一维模型典型一维模型是一个二阶线性偏微分方程:2CDxx该微分方程的特点方程为:Dx特点方程的特点根为UX1,2d4kDxm12式中,ux一维稳态模型的通解是:Cx,y,tMexpktt,DxDyexp,2xuxt句,2yt,2xuxt22byuyt可CoQkV/QCx,y,z,tMexpkt81t3EEyE-expz14,2xuxtExUyt21zuzt2EzkC0Ux关于保守或衰减物质,入不该取正值；同时假设给定初始条件为:=C0,那么一维稳态模型的解为：ccuxt/4kDXCCoexp1.122Dxux在存在推流的情

12、形下,弥散作用在稳态矫健下往往能够忽略.因此:3.二维模型该模型的解析解为:式中,Q源强,即单位时刻内排放的污染物量.假设是忽略Dx和Uy,那么上式的解为:CAe1XBe2Xx=0时,C式中,Co是起点的浓度式中,Q河流的流量,水的污染物浓度.CC0exp关于一维模型:CoQCikxUxqC2q一污水流量,Ci河流的污染物本底浓度,C2污2C22xDy2c2yUxUykCCx,y/xexp4hx/UxDxDy4Dxx/uxkxexpUxcQCx,yexpUxhi4Dyx/Ux2Uxy4DyxexpkxUx假设是存在边界,那么需要反映边界的反射作用,现在模型的解为:Qexpkx/UxCx,y:U

13、xh、4Dyx/U4.三维模型三维模型在均匀流场中的解析解为:注意：本式忽略了Ex、Uy和Uzo五.污染物在均匀流场中的散布特点1.浓度场的正态散布(1)一维流场(瞬时点源)2Dxt2Uxyexp4Dyxexp2UxnBy4Dyxexp2UxnBy4DyxCx,y,zQ=4xFyEUx4x2yEy2zEzkxexpUxCx,tuxt4Dxtexpkt式中,B扩散环境的宽度.n1n1上式能够写成:这是一个典型的正态散布表达式,具有如下特点:令yV2Dyx,那么有:这是一个在y方向上存在正态散布的表达式,其最大浓度发生在x轴上,最大值为：QkxCx,yMaxexphUxy,.2Ux假设是概念扩散羽

14、的宽度为包括断面上95%的污染物总量的宽度,那么扩散羽的宽度为4y0Cx,tMexpAx.2xUxt4Dxt2一expkt断面处显现最大浓度的时刻是:xUxMCx,tMaxexpAx.2kt相应的最大浓度值为:依照正态散布规律,在最大浓度发生点周围2t的范围内,包括了大约95%的污染物后里.(2)二维流场中的散布(稳固源)-QCx,yexpUxh,4Dyx/Ux2Uxy4DyxkxexpUxCx,yQexpUxhy.22Uxy4DyxexpkxUx2.污染物抵达岸边所需的距离概念：在中央排放的条件下,当边界处的污染物浓度到达断面平均浓度的5%,那么称污染物抵达边界.由污染物排放点到污染物抵达边

15、界断面的最小距离称为污染物抵达岸边所需的距离.任意一个断面的污染物平均浓度能够表达如下:断面上任意一点的浓度与平均浓度的布置能够表达为:CMn0.05即：C,于是能够求出：x=.一一一一20.0137uxB2xxDy假设污染物在岸边排放,即y=B,那么:0.055uxB2xDy3.完成横向混合所需的距离C-Q-exphuxBkxUxx式中,DyxB2中央排放时,2yexp2expx4xBBy24xB2expBy24xB2y=B/2,代入上式,得:CMin12exp,.4x16x2exp916x依照卞S念,当边界浓度到达断面平均浓度的5%时,被以为污染物抵达边界,相应:概念：当断面上任意一点的污

16、染物浓度与断面平均浓度之比介于至之间时,那么称该断面已经完成横向混合.由污染物排放点至完全混合断面的最小距离称为完成横向混合所需的距离.依照断面上任意一点的浓度与断面平均浓度之间的关系,当CMin/C.95时,求得x=.同时,断面最大浓度发生在y=0处,当乂=时,能够求得：CMax/C1.0381.05.因此能够以为,当x=时,已经完成横向混合.在中央排放时,完成横向混合所需的距离为：0.1UxB2xDy在岸边排放时,那么有：20.4UxB2xDy六.解析模型的应用1.环境质量的模拟预测解析模型的形式比拟简单,应用比拟方便.一维解析模型被普遍应用于各类中小型河流的水质模拟,三维解析模型在空气环

17、境质量预测中被普遍采纳.在流畅均匀稳固的条件下,二维解析模型也能够用于模拟河流的水质.在采纳解析模型时必然要注意解析模型的定解条件.例：在流场均匀的河段中,河宽B=500m,平均水深h=3m,流速Ux=s,横向弥散系数Dy=1m2/s.岸边持续排放7亍染物,排放量Q=1000kg/ho试求下游2km处的污染物最大浓度、污染物的横向散布、扩散羽的宽度,和完成横向混合所需的时刻.解：污染物的源强Q=1000kg/h=so下游2km处的污染物散布方差：.2Dyx/Ux89.44m污染物的最大浓度发生在y=0处,能够由下式计算:Y(m)02550100150200250300400500C(mg/L)

18、扩散羽的宽度由下式确信:b2y178.88m完成横向混合所需的距离为：20.4uxB2Dyxt一27.78hUx2.估量弥散系数(1)作图法关于一维瞬时投放.在投放点下游某处测得一组时刻ti-浓度Ci进程数据Cx,y2Q岫、4DyX/u一12expXUxB2c4UxB22expDyx2exp蛆Dyx2277.780.53412000/0.3exp_20.5500120001.65mg/L污染物的横向散布能够通过计算不同的y值处的浓度值,然后作图考察.完成横向混合所需的时刻为：Cix,t.tiA、4DxexpUxti24Dxti50km将模型的解析解改写成：c1C2,Dy0.5m/sm(2)矩法

19、求解Dx、Dy关于函数y=f(x),能够写出：对等式两边取对数:2在直角坐标系上对lnCixi/i和XUxt/4ti作图,取得的直线斜率即为(-1/Dx)0例：在一河流岸边排放口下游处测量半江的COD横向浓度散布,取得如下数据：Yi(m)102030405070100150200300Ci(mg/L)100河流平均流速ux=s,流场在观看时刻内是稳固的,COD的降解能够忽略试用图解法求解河段的横向弥散系数2UxX解：第一列表计算纵坐标的数值lnCi与横坐标的数值4xY(m)102030405070100150200300lnCi-OO-OO2“yi4x依照计算结果作图(如左),由图能够计算直线

20、的斜率:lnCix,t,tiln-M-A,4Dxxuxti4tTDxm计算横向弥散系数：3.63.90八2.003.75一阶矩表示污染物重心的位置：M1xfxdx/M阶矩表示污染物散布的方差：M三阶矩表示散布曲线的对称程度：M3xM13fxdx/M02二阶矩M2表示散布的方差,关于一维瞬时排放,tM2同时,由于:xtUx和x闻I,能够取得：Dx：/2ft2u2/2f2M2x2/2t2关于二维稳态模型：2,Dyy/2tM2Ux/2x例：在一维河流中瞬时投放假设丹明染料假设干,在下游nmCiti4955.37gh/Li1nm1ttiCiti/m04.4476hi1nm2t2tit2Citm.0.0

21、1255h2i1ti(h)Ci(g/L)810669018000170006100870 53明的浓度进程线如下表所示.试用矩法求河流的纵向弥散系数Dx.解：第一计算染料云散布的零次矩、一次矩和二次矩:量：M0fxdx8km处测得假设丹22222-2tuxtx/t0.04037km最后计算纵向弥散系数:Dx2/2t0.04037/24.4470.004539km2/h1.26m2/s七.环境质量大体模型的数值解1.有限差分法大体模型的解析解所要求的条件超级严格,复杂的环境条件通常很难知足这些要求.因此解析解就成为环境模拟中经常使用的方式.有限差分和有限单元是经常使用的两种方式.(1)有限差分法

22、将一个空间和时刻持续的系统变成一个离散系统,形成空间和时刻的网格体系,然后计算各个网格节点处的系统状态值,用以代表节点周围的值,这确实是有限差分方式.有限差分法的核心是用一个差分方程近似代表相应的微分方程.有偏导数的概念可知：uxh,yux,yhuxh,y2ux,yuxh,yh状态对y的一阶导数ux,yhuxy2状态对y的二阶导数：Tuxyh2u：,yux,yhyh下面介绍几种经常使用的的差分解法.一维动态水质模型的显式差分解法：CC2CuxDxrkC一维动态水质模型的大体形式为：txxxx2,用向后差分表示,那么有:状态对x的一阶导数:状态对x的二阶导x2u-2x由本式能够取得:为了计算第i

23、个节点处第j+1个时刻节点的水质浓度值,必需明白本空间节点i和前2个空间节点i-1和i-2处的前一个时刻节点 S 处的水质浓度值Cij,Cij1和C；2因此,采纳向后差分时,依照前两个时刻层的浓度的空间散布,就能够够计算当前时刻曾的浓度散布.对i+1个时亥1J层:对ii,CijIICij2CLCiji1,2,n在Dx、k、5x和t均为常数时,、和均为常数,即:Dxtxuxt2DXt,ktxxIIUx_JDxt12xx式中x,t别离为空间网格的步长和时刻网格的步长.显式差分是有条件稳固的,x和t的选择应该知足下述稳固性条件:Gj1GjtCijCij1UxxCij2Cij1Cij2kCijiCij

24、1Cij2Dxt2xjUxtCi1x2DtCijuxtxDxt2x式中,i表示空间网格节点的编号,j表示时刻网格节点的编号.该式说明,c:oj1 11 1.Jj2.Jj2UxtDxt12x和x2依照差分格式的慢慢求解进程,能够写出:Cj1ACj式中,0000A00000一维动态模型的隐式差分解法显式差分是有条件稳固的,在某些情形下,为了保证稳固性必需去很小的时刻步长,从而大大增加了计算时刻.隐式差分是无条件稳固的.隐式差分能够采纳镶嵌差分的格式.注早人.2Dx2xDx2Cij1,C2jC1j,C2j,C,2122121 1,J1j2,J1j2cckk1 12 2以X2X2JoJoc2 21 1

25、jjY YDj2j2c-X jj1 1j2j2c-J-Jc2 21 1-J-JckJJc1 10 0JJ2C2C-J-Jex-J-Jcc1 1-J-JUxGjx34.Cij14从那个地址能够写出隐式差分求解的一样格式:j1j1j1Ci1CiCi1关于第一个i=1和第二个i=n方程,Cj1和比1rj1rj1rj1rj1orj1rj1Cn1CnCnCn12cnCn1关于第j+1个时刻层的浓度空间散布,能够由下式解出:j11CjB1I是上下边界的值,假设令:C1j1C21GTCij1Ciji1nCnj11nCnj1由此能够写出矩阵方程:BCj1式中,Cj11rj1T),CnTn式中,1C01采纳隐式

26、有限差分格式时,计算Cj1的表达式中,显现了GT的值,由此方程组不可能递推求解,而必需连理求解.隐式差分尽管是无条件稳固的,但为了防止数值弥散,应该知足uxt/X1的条件.二维动态某些的差分解法二维动态模型的一样形式为：r2C-2CCC.八DxTDy-2UxUykCxyxy该模型的求解能够借助P-R(Peaceman-Rachfold的交替方向法.P-R方式的差分格式如下:x方向上求解,后者是在y方向上求解.(2)有限单元法2.有限单元法有限单元法又称有限容积法,在一维问题中也称为有限段法有限单元法的大体思路是将一个持续的环境空间离散为假设干个单元(段)每一个单元(段)都能够视为一个完全混合的

27、子系统,通过对每一个单元成立质量平稳方程,从而成立起系统模型.依照质量平稳原理,对任何一个单元都能够写出:Ci2k1Ci2kDx2Ci2k1Ci2j11,kCi2k1Dy-2Ci2kCi2k1c2j12j1Ci1,kCi,kuy2j2jCi,k1Ci,kkn2j14Ci,kCi2；：2j22jci,kci,kDx2j12jCi1,k2ci,k12j1Ci1,k2j22j22j2cci,k12ci,kci,k1Dy2y2j12j1ci1,kci,kUxxuy2j22j2ci,k1ci,kk2j2ZCi,k2j2i1,k在相邻两个时刻层(2j+1和2j+2)中交替利用上面两个差分方程,前者是在dCjV-GHSJJIJIJdti式中,VJ第j个有限单元的体积；S第j个有限单元的污染物的来源源与消减汇；Gji第j单元和第i单元之间由推流作用引发的污染物质量互换；Hji第j单元和第i单元之间由弥散或扩散作用引发的污染物质量互换.推流作用引发的质量互换项能够表达如下：GQjijiCj1jiCi式中,Qji