线性代数矩阵性及应用举例

1、个人收集整理-仅供参考华北水利水电学院线性代数解决生活中实际问题课程名称：线性代数专业班级：成员组成：联系方式：2022年11月7日个人收集整理-仅供参考关于矩阵逆地判定及求逆矩阵方法地探讨摘要：矩阵地可逆性判定及逆矩阵地求解是高等代数地主要内容之一.本文给出判定矩阵是否可逆及求逆矩阵地几种方法.关键词：逆矩阵伴随矩阵初等矩阵分块矩阵矩阵理论是线性代数地一个主要内容,也是处理实际问题地重要工具,而逆矩阵在矩阵地理论和应用中占有相当重要地地位.下面通过引入逆矩阵地定义,就矩阵可逆性判定及求逆矩阵地方法进行探讨.b5E2R定义1n级方阵A称为可逆地,如果n级方阵B,使得AB=BA=E(1)这里E是

2、n级单位矩阵.定义2如果B适合(1),那么B就称为A地逆矩阵,记作A.定理1如果A有逆矩阵,那么逆矩阵是唯一地.逆矩阵地根本性质：性质1当A为可逆阵,那么A,=二.网性质2假设A为可逆阵,那么A,kA(k为任意一个非零地数)都是可逆阵,且(A,)二A(kA)JA(k=0).k性质3(AB),=B/A,其中A,B均为n阶可逆阵.性质4(A)=(A,)1由性质3有定理2假设A1,A?An(n之2)是同阶可逆阵,那么A1,4An是可逆阵,且(AA下面给出几种判定方阵地可逆性及求逆矩阵地方法：方法一定义法利用定义1,即找一个矩阵B,使AB=E,那么A可逆,并且A,=B.方法二伴随矩阵法定义3设A=(a

3、0)是n级方阵,用Aj表示A地(i,j)元地代数余子式(i,j=n),个人收集整理-仅供参考A21An1A22An2称为A地伴随矩阵,记作A*.A2n定理3矩阵A可逆地充分必要条件是A#0,并且当A可逆时,有1A=A*.A定理证实见1.定理3不仅给出了判断一个矩阵是否可逆地一种方法,并且给出了求逆矩阵地一种方法,但是这种方法主要用在理论上以及2级或3级矩阵地情形,如果阶数较大,那么使用此方法计算量太大.p1Ean由定理3逆矩阵判定地方法还有：推论3.1n级矩阵A可逆地充要条件是矩阵A地秩为n.推论3.2矩阵A可逆地充要条件是它地特征值都不为0.推论3.3n级矩阵A可逆地充分必要条件是它地行或列

4、向量组线性无关.方法三初等变换法定义4对矩阵施行以下三种变换称为矩阵地初等变换：1交换矩阵地两行列；2以一个非零地数k乘矩阵地某一行列；3把矩阵地某一行列地k倍加到另一行列.定理4方阵A可逆地充分必要条件是A可表示为假设干个同阶初等矩阵地乘积.具体方法是：欲求A地逆矩阵时,首先由A作出一个nM2n矩阵,即Al,其次对这个矩阵施以行初等变换且只能用行初等变换,将它地左半部地矩阵A化为单位矩阵,那么原来右半部地单位矩阵就同时化为A,：DXDiT11矩阵A12A1n,八：LL行初等变换AE1(EA)个人收集整理-仅供参考Q31、例1求矩阵A地逆矩阵,A=013013010061110t一212500

5、130001-160t13;-16121616121613632161363216-113)413-11-3.如果在初等变换过程中发现或者解,j=1,2n.因此我们可以去解线性方程组AX=P,其P=(bj*bn)把所得地解地公个人收集整理-仅供参考式中地b,b2bn分别用1,00；0,1,030；0,00,1代替,便可求得A地第1,2-n列,这种方法在某些时候可能比用初等变换法求逆矩阵稍微简单一点.5PCzV310031求矩阵A=0030000000、0010地逆矩阵.3103,解：设X=(X1,X2,X3,X4,X5)TB=(b1,b2,b3,b4,b5)T解方程组AX=B3X1+X2=b1

6、X1=3(34bl-33b2+32b3-3b4+b5)3X2+X3=b2X2=3(33b2-32ba+3b4d)即3X3+X4=b3解得X3=3132b3-3b4+b)3X4+X5=b4X4=3,(3b4-b5)1.3X5=b5X5=3b然后把B=(4加2加3加4加5)歹U,分别用皆=(1,0,0,0,0)%=(0,1,0,0,0)1.名3=(0,0,1,0,0)为=(0,0,0,1,0)名5=(0,0,0,0,1)代入得到矩阵A地第1,2,3,4,5行,分别用XI=(3,-3：3;-3,3)X2=(0,3、-3：3：-3)X3=(0,0,3,-3：3)X4=(Q0,0,3,-3,)X5=(0

7、,0,0,0,3)3,-303即A=0000003-3“-33工3-303003-334-323这种方法特别适用于线性方程组AX=Bfe解容易求解地情形方法五分块求逆法当一个可逆矩阵地阶数较大时,即使用初等变换求它地逆矩阵仍然计算量较大.如果把该矩阵分块,再对分块矩阵求逆矩阵,那么能减少计算量.而且形如jLBHrA12个人收集整理-仅供参考A1X11=Er,AIX19=0得一个线性方程组为0112A21X11A22X21=0A21X12A22X22=EsX11=AnX12=011X21-A22A21A11X22=A22A：0.11A二一A22A21A11A22方法六利用哈密尔顿一凯莱定理求逆矩

8、阵法项式,贝uf(A)=An-(41a22ann)An,:(1)nAE=0.如果A可逆,那么A地特征多项式地常数项an=(-1)nA00,由定理知f(A)=An-：1An,+；nJ1A.：nE=01于是_,(An,、An,+一+.4J)A=Eotn因此得A,=-上(An,-LAn+Q-E)(.)OtnIA11A12VA210M4A2、A22)地分块矩阵,使用分块矩阵较方便.现用M1为例,来说明求逆矩阵地方法,其它地矩阵可依此类推设有n阶可逆矩阵M11,其中A11,A22为r,s阶可逆方阵,求M1解：设M1X1121X121X22J,那么M11,与M1有相同分法,那么M1MlX1121X12、X

9、22JA11X11A11X12EEn七n矩阵,f(九)=|九EA是A地特征多个人收集整理-仅供参考此式给出了A地多项式计算方法.110、例3A=|430,求A.I102,解：矩阵A地特征多项式为：f()=|九EA=Z34九2+5九-2因口3=2#0,所以矩阵A可逆,由(*)式知16-20、二121A=(A-4A+5E)=-8-2022311方法七“和化积法A+B地可逆性并求逆矩阵,此时可将A+B直接化为1(A+B)C=E,由此有A+B可逆,且(A+B)=C,或将方阵之和A+B表为假设干个地可逆阵之积,再有定理2知A+B可逆,并可得出其逆矩阵.xHAQX例4证实：假设Ak=0,那么EA是可逆阵,

10、并求(EA).证实：(E-A)(EAA2Ak)E,E-A是可逆矩阵且(EA),=E+A+A2+Ak总之,矩阵可逆性地判断及求逆矩阵地方法很多,不仅仅只是以上列举地几种方法,大家在做题过程中,可根据题目地需要灵活选用方法来求解.LDAYt参考文献：1丘维声.高等代数M.高等教育出版社,1985.2北京大学数学系.高等代数M.高等教育出版社,1988.3杨明顺.三角矩阵求逆地一种方法.渭南师范学院学报,2022.4杨彗.矩阵地非奇异性判定及求逆矩阵地几种方法.云南师范大学学报,2022.Theonesthatgoagainstmatrixjudgeandaskthediscussion有时遇到这样

11、地问题：要求判断方阵之和Zzz6Z.goingagainstthematrixmethod个人收集整理-仅供参考ABSTRACTJudgingreversiblyandagainsttheaskingandsolvingoneofthemaincontentsthatishigheralgebraofmatrix.Thistextprovidesandjudgeswhethermatrixisreversibleandasksseveralkindsofmethodstogoagainstmatrix.dvzfv.KEYWORDSnversematrixAdjointmatrixElement

12、arymatrixrqyn1.Partitionedmatrix版权申明本文局部内容,包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有Thisarticleincludessomeparts,includingtext,pictures,anddesign.Copyrightispersonalownership.Emxvx.用户可将本文地内容或效劳用于个人学习、研究或欣赏,以及其他非商业性或非盈利性用途,但同时应遵守著作权法及其他相关法律地规定,不得侵犯本网站及相关权利人地合法权利.除此以外,将本文任何内容或效劳用于其他用途时,须征得本人及相关权利人地书面许可,并支付报酬.SixE2

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