2020届贵州铜仁高三第二次模拟考试试卷理科数学试题解析版

1、铜仁市2020年高三第二次模拟考试试卷理科数学注意事项：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2 .作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的.请把答案填涂在答题卡上.）21 .设集合 A1,0,1,2,3 , B x|x 2x 0 ,则 A B =（）A. 3B. 1,3C. 2,3D. 0,1,2【答案】B【解析】试题分析：集合 B x X2 2x>0 = x|x（0或x

2、）2，又A 1,0,1,2,3 , A B 1,3 ,故选 B. 考点：集合的交集运算.2 .复数z满足z 一，则在复平面内复数 z对应的点位于（）1 iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算，化简复数，再利用复数的几何意义，找出对应点的坐标，即可进行判断-, i i 1 i 1 i【详解】因为z ,1 i 1 i 1 i 2 2故该复数在复平面内对应的点为1,4 ,2 2则该复数在复平面内对应的点位于第一象限故选：A.【点睛】本题考查复数的除法运算以及复数的几何意义，属基础题一 r - rr r r r 3.已知向量 m 1,1 , n

3、2,2 ,若 m n m n ,则 （）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】一 ,rr、， rr、， rr、 ， rr、八【详解】1 (mn)(mn) ,(mn) (mn)0.I w|:-n ；0,即(1)2 1 (2)2 4 0,3 ,故选 B.【考点定位】向量的坐标运算4.为了得到ysin 2x 一 函数的图像，只需把函数 3y sin2x的图像(A.向左平移C.向左平移【答案】DB.向右平移一个长度单位3D.向右平移一个长度单位6将目标函数解析式变形为y sin 2x 一 3sin 2 x ,结合三角函数图象变换规律得出结果.6【详解】Q y sin 2x -sin 2 x

4、 ,因此，将函数y sin 2x 6图象向右平移一个单位长度可得6到函数ysin 2x 的图象，故选D.3【点睛】本题考查三角函数图象的变换，在考查平移变换时，要注意以下两个方面：(1)函数名称一致，如果是异名函数，利用诱导公式化为同名函数；(2)平移是看自变量 x增加或减少了多少量.5.命题“ x R, x2 2x 1 0”的否定是()A.x R,x22x 10B.xR,x22x 1C.x R,x22x 10D.xR,x22x 1【答案】C【解析】特称命题的否定是全称命题，改量词，且否定结论，2故命题"xo R, x 2x 1 0"的否定是" x R,x 2x

5、1 0本题选择C选项.6 .麒麟是中国传统瑞兽.古人认为，麒麟出没处，必有祥瑞.有时用来比喻才能杰出、德才兼备的人.如图是客 家麒麟图腾，为了测量图案中黑色部分面积，用随机模拟的方法来估计.现将图案剪成长 5cm,宽4cm的矩形，则黑色区域的面积的估计值为（）cm2 .248A. 25【答案】A【解析】【分析】62B.125C.6312525D.248然后在图案中随机产生了500个点，恰有248个点落在黑色区域内,利用频率估计概率，再结合与面积有关的几何概型概率计算公式即可求解【详解】依题意，矩形面积S 5 4 20cm2，设黑色部分的面积为 s，24825248由几何概型的概率计算公式可得,

6、248,解得S500故选：A【点睛】本题考查利用与面积有关的几何概型概率计算公式估计不规则图形的面积；考查运算求解能力；熟练掌握几何概型概率计算公式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型7 .已知三棱锥A BCD的四个顶点A, B,C,D都在球O的表面上，BC CD,AC 平面BCD ,且AC 2 J2, BC CD 2 ,则球O的表面积为 （）A. 4B. 8C. 16D. 2 2【答案】C【解析】由题意可知CA,CB,CD两两垂直，所以补形为长方形，三棱锥与长方体共球，2R 22J2 2 22 22 16 ,求的外接球的表面积 S 4 R216 ，选C【点睛】求共点三条侧棱两两垂直的三棱锥

7、外接球相关问题，我们常用的方法为补形成长方体，转化为求长方体的外接球问题.充分体现补形转化思想.先判断函数的奇偶性，再取特殊值验证详解】解：Q f xx1 ex1 ecosx，xx1 ee 1cos x cosx1 ex1 ex函数f x为奇函数，故排除 B, D选项,11 e211 e21 cos-20.故排除A选项.故选：C.【点睛】本题考查函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值的特点，属于基础题229.设双曲线x2 4 i(a 0,b 0)的左、右焦点分别为F1，F2,过F1作倾斜角为一的直线与y轴和双曲 a2b23线的右支分别交于点uuvA、 B,若OA1 uuv uuuvOB

8、OF1 ,则该双曲线的离心率为2A. 2c. 2 、. 3D. .3【详解】分析：由题意求出直线方程，再根据uuu 1 uuv uuuvOA OB OFi ,可得A为BF2的中点，根据中点坐标公式 2求出B的坐标，代入双曲线方程可得12c21,化简整理即可求出uuv1 uuuuuuv_详解： OAO OBOF1, A为BF2的中点，由题意可得直线方程为y J3(xc),当x 0时，y 辰 A(0,辰，QF2(c,0),设22B(x,y), 2 0 xc,2辰 y0,xc,y273c,B(c,2属),与 c-1,即a b仆 /22212c ca bb 42 222 22 24/21 2 1 二，

9、b 12a c,即(c a )12a c ,比理可信 e 14e 1 0,即b aaae2 7 4点(2向2,解得e 2石.故选C.点睛：本题考查了直线和双曲线的位置关系，以及直线方程，中点坐标公式，属于中档题10 .中国古代数学著作孙子算经中有这样一道算术题：今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？ ”人们把此类题目称为中国剩余定理”，若正整数 N除以正整数 m后的余数为n,则记为n NMODm ,例如2 11MOD3 .现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于A. 39B. 38C. 37D. 36【答案】B【解析】【分析】该程序框图的作用是求被3和5除

10、后的余数分别为 2与3的数，根据所给的选项即可得出结果.5除余【详解】由程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：被3除余2,被3,由已知中四个答案中的数据可得，输出的 n为38.故选：B【点睛】本题考查利用直到型循环结构计算并输出变量的值；考查运算求解能力和识图能力；熟练掌握循环结构 的执行过程是求解本题的关键；属于中档题。为标11 .已知抛物线y2 8x,过点M (1,0)的直线交抛物线于 A,B两点，F为抛物线的焦点，若I AF | 6,C 2.5C.D. 2 .5【答案】B【解析】【分析】利用抛物线的定义和焦半径公式求出点A的坐标，设 A , yi ,B X2,y

11、2 ,直线方程为 y k(x 1)(k 0),与抛物线方程联立，得到关于X的一元二次方程，利用韦达定理求出X2，代入抛物线方程求出y,利用数形结合求出VOAB的面积即可.【详解】由题意知，抛物线2y8x的准线方程为2,设 A Xi,yi , B X2, y2,过点A作准线的垂线AH由抛物线的定义可知，|AF|AHI 6,Xi4,把Xi 4代入抛物线方程可得,yi设直线AB的方程为y k(x1)(k，、 y0),联立方程2yk(x i)8x2 222得 k2x22k2 8 x k20,iXX2i , X2一i 4把X2i代入抛物线方程可得4y28 4,2,(4 2、2)手 i , iv0AB 的

12、面积 S OAB S AOM S bom2 |yii 21y2i【点睛】本题考查抛物线的定义及其性质、利用直线与抛物线的位置关系求三角形面积；考查运算求解能力和数 形结合的思想；熟练掌握抛物线的定义及其性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型i eX,x 012 .已知函数f (x) i 9，函数g(x) k(x i),若方程f(x) g(x)恰有三个实数解，则实数k-x2 2x,x 02的取值范围为()A. 15,0)【答案】D【解析】B. (0,1+ 5)C. (0,35D. (0,3/5)【分析】要使方程f(x) g(x)恰有三个实数解，则函数f (x),g(x)的图象恰有三个交点，再

13、分别作出函数 f(x), g(x)的图象，观察图像的交点个数即可得解.1 ex,x 0【详解】解：依题意，画出 f(x) 1的图象，如图.直线 g(x) k(x 1)过定点(1,0),由图x2 2x, x 02象可知，函数 g(x)的图象与f(x) 2x2 2x,x 0的图象相切时，函数f (x),g(x)的图象恰有两个交点.下面利用导数法求该切线的斜率.设切点为P(x0,y0),12由 f'(x) x 2,x 0,得 k f'(%) x 2 2x02x0 ,x0 1化简得x02 2x0 4=0，解得x0 1 而或 1而(舍去)，要使方程f(x) g(x)恰有三个实数解，则函数

14、 f(x), g(x)的图象恰有三个交点，结合图象可知0 k 3 . 5，所以实数k的取值范围为(0,3 痢, 故选：D.【点睛】本题考查了方程的解的个数与函数图像交点个数的关系，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.第n卷(非选择题共90分)、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共20分.）113.已知 x 一 展开式中 x5的系数是 X【答案】36【解析】【分析】 利用二项展开式的通项公式，求得r = 2,从而可得答案.1 91 .【详解】因为 x 1 展开式的通项公式为 Tr 1C9x9 r（-）rC；x9 2r, r 0,1,2,K ,9 ,xx所以令9 2r 5,解得r =

15、 2,9.c 9 8所以X 1展开式中x5的系数是C； 9-8 36.x2 1故答案为36.【点睛】本题考查了二项展开式的通项公式，属于基础题.x 3 014.设不等式组y 2 0表示的平面区域为 M，若直线y kx经过区域 M内的点，则实数k的取值范围是x y 1 0【答案】2,2 3【解析】【分析】画出不等式组对应的可行域，由于函数y kx的图象是过点 O（0, 0）,斜率为k的直线I,故由图即可得出其范围【详解】作出可行域如图：因为函数y kx的图象是过点O (0, 0),且斜率为k的直线1,由图知，当直线1过点A (1, 2)时，k取最大值2,当直线1过点B (3, 2)时，k取最小值

16、2 ,3故实数k的取值范围是2,232故答案 ：2,23【点睛】本题主要考查了简单线性规划，利用线性规划的知识用图象法求出斜率的最大值与最小值，数形结合的思想，属于中档题.15.在 ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c, c 4, a 4j5sin A，且C为锐角，则 ABC面积的最大值为.【答案】4 4 2【解析】【分析】由c 4, a 4j2sinA，利用正弦定理求得 C .,再由余弦定理可得16 a2 b2 J2ab，利用基本不 4,16 C C C等式可得ab 产 8 2 J2 ,从而利用三角形面积公式可得结果.2 .2【详解】因为c 4 ,又 -a 4 J2 ,sinC si

17、nA所以sinC .，又C为锐角，可得C 一.24因为 16 a2 b2 2abcosC a2 b2 V2ab2 72 ab,1016_ _所以 ab 8 2 J2 ,2 ；2当且仅当a b48 26时等号成立，即 SABc 'absinC ab 4 4.2， 24即当a b ,8 2 应 时, ABC面积的最大值为 4 472 .故答案为4 4J2 .【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理以及基本不等式的应用，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形b2 c2 a2式：（1）a2 b2 c2 2bccosA； （2）cosA ，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，2bc在解与三角

18、形、 三角函数有关的问题时，还需要记住30o,45o,60o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.16.已知下列命题：2函数f（x） lg x 1在（，0上单调递减，在（0,）上单调递增；若函数f（x） 2x 1 a在r上有两个零点，则 a的取值范围是（0,1）；一 ，一一1 ,一，当x 1时，函数f（x） x 的年大值为0；x 15函数f（x） sinx cosx在一,上单倜递减； 2 4上述命题正确的是 （填序号）.【答案】【解析】【分析】根据复合函数的单调性即可判断；令函数g（x） 2x 1 ,确定当g（x） 2 1的图象与直线y a有两个交点时a的取值范围即可判断；利用基本不等式

19、求得函数的最大值即可判断；利用辅助角公式和整体对应法判断正弦型函数的单调性即可判断；【详解】根据复合函数同增异减的性质，令u x2 1，则u x2 1在（，0上单调递减，在（0,）上单调递增，又因为 y lgu为增函数，可知函数 f（x） lg x2 1在（，0上单调递减，在（0,）上单调递 增，故正确；11令g(x)2x 1，则函数f(x) 2x1 a在r上有两个零点等价于函数g(x)的图象与直线y a有两个交点，作图如下：根据函数g(x)的图象可知0 a 1,故正确;所以0,当x 1时，1 x2, (1 x) 1,1 x(当且仅当1 x即x 0时取等号)f(x)1 ，一 ,的最大值为11,

20、故不正确. f (x) sin xcosx72sin x 一,当 x4,此时f (x)单调递减,故正确;故答案为：【点睛】本题考查函数相关命题的辨析、复合函数单调性的判断、根据函数的零点求参数的取值范围、正弦型函数单调性的判断和利用基本不等式求最值；考查数形结合思想、转化与化归能力和运算求解能力；属于综合型强、难度大型试题.三、解答题(本大题共 6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)(一)必考题：共 60分.17.设an是公差不为0的等差数列，其前 n项和为Sn已知a1，a2, a§成等比数列，S5 25 .(1)求an的通项公式；设bn ( 1)nan 2an

21、，数列bn的前n项和为Tn,求T2n.【答案】(1) an2n 1；(2)T2n 2n - 42n -3312【解析】 【分析】 2(1)根据题意得到ai dai ai 4d , S5 5a1 10d 25 ,计算得到答案(2) bn ( 1)n 2n 1 22n 1 ,利用分组求和法计算得到答案.2. 2.【详解】()a1，a2, a5成等比数列，故 a2aa5,即a1 da1 a1 4dS55a110d25 ,解得a1=1,d = 2,故an2n1.(2) bn ( 1)nan 2an ( 1)n 2n 122nl.142n22n2T2n1357.4n34n12 2n4-.1 433【点睛

22、】本题考查了数列的通项公式，前n项和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用18.如图，矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，ABE 60, G为BE的中点.(I)求证：AG 平面ADF ;(n )求AB J3，BC 1,求二面角 D CA G的余弦值【答案】(I)详见解析(n)21【分析】(I)由矩形 ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，AD AB ,进而证得 AD 平面ABEF ,证得AD AG ,再根菱形ABEF的性质，证得AG AF ,利用线面垂直的判定定理，即可证得AG 平面ADF(n)由(I)可知 AD , AF , AG两两垂直，以 A为原点，AG为x轴，AF为y轴

23、，AD为z轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面ACD和平面ACG一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解【详解】(I)证明：.矩形 ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，AD AB ,.矩形 ABCD 菱形 ABEF AB，: AD 平面 ABEF , AG 平面 ABEF，: AD AG ,.菱形 ABEF 中， ABE 60 , G为 BE 的中点， AG BE , AG AF , AD AF A , AG 平面 ADF .13(n)由(i)可知 AD, AF , AG两两垂直，以 A为原点， AG为x轴，AF为y轴，AD为z轴,建立空间直角坐标系, AB 3,_3BC 1,则 AD

24、1, AG2故 A 0,0,0 ,旦，D 0,01 2,0,0 ,2Luur 则AC3,12uuur ,ADuuur0,01 , AG,0,0 ,2设平面ACD的法向量urn1Xi,y, zunr ur ACn13 2x1 ulut ur AD 1nlz1 0取y1-/口 uTv3 ,得 n11, 30 ,设平面uuACG的法向量n2 x2,y2, z2 ，则uiur uu 3AC nu - x2 2uUT uuAG n2z1 0.3. 八-2- y2 1z203x2 02取y2设二面角D CA G的平面角为8,则 |cos 9LT Hu| 必？2 |LTuu2.321小.n2由图可知8为钝角

25、，所以二面角 D CA G的余弦值为, 21C意在考查学生的空间想象能本题考查了立体几何中的线面垂直的判定与证明和直线与平面所成的角的求解问题,力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.1000名患者的相关信息，得到如下表格:19.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区14潜伏期（单位：天）0,2(2,4(4,6(6,

26、8(8,10(10,12(12,14人数85205310250130155（i）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述 I。名患者中抽取200人，得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期 6天潜伏期 6天总计50岁以上（含50岁）10050岁以下55总计200（3）以这1000名患者 潜伏期超过6天的频率，代替该地区 1名患者潜伏期超过 6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否

27、超过 6天相互独立.为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，设潜伏期超过6天的人数为 X,则X的期望是多少？15较即可;(3)由题可知，随机变量X B 20,2 ,利用二项分布的数学期望公式进行求解即可5【详解】(1)根据统计数据，计算平均数为：1x (1 85 3 205 5 310 7 250 9 130 11 15 13 5) 5.4 天1000(2)根据题意，补充完整的列联表如下：22(65 45 55 35)2 20025以木主 /曰 22 2.083,经查表，得 K2120 80 100 100122.083 3.841,所以,没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关.(3)由题

28、可知，该地区每 1名患者潜伏期超过6天发生的概率为f001000设调查的20名患者中潜伏期超过6天的人数为X ,则X服从二项分布:潜伏期 6天潜伏期 6天总计50岁以上(含50岁)653510050岁以下5545100总计12080200k 20 k2,，20,P(X k) C：0 23, k 0, 1,552则E(X) 20 8,所以，X的期望为E(X) 8.5【点睛】本题考查利用频率分布表求平均数、独立性检验思想的运用和二项分布数学期望公式；考查运算求解能力和数据分析能力；熟练掌握独立性检验K2的计算公式和二项分布的数学期望公式是求解本题的关键；属于中档题.2一 x20.已知过椭圆C :

29、2a24 1ab b20的四个顶点与坐标轴垂直的四条直线围成的矩形ABCD ( D是第象限内的点)的面积为8.3,且过椭圆C的右焦点F的倾斜角为60o的直线过点 D .16(1)求椭圆C的标准方程b2(2)若射线OP,OQ与椭圆C的交点分别为P,Q .当它们的斜率之积为当时，试问 POQ的面积是否为a定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由.2y ，_1 ； (2)3poq的面积为定值732【答案】(1)4(1)根据矩形面积、直线 DF斜率和椭圆a,b,c关系可构造方程组求得 a,b,c,进而得到椭圆标准方程;(2)当直线PQ斜率存在时，设方程为 y kx m,与椭圆方程联立得到韦达定

30、理的形式，利用弦长公式求得一c11yly23PQ，点到直线公式求得点O到直线PQ距离d ,进而表示出S poq ；根据kop koQ -,代入韦达X|X24定理形式化简可得2 m23 4k2,代入S POQ中化简得到SPOQJ3；当直线PQ斜率不存在时，可求得P,Q两点坐标，进而求得 S POQ J3 ； 综合两种情况可知 S POQ 为定值.3 .【详解】(1)由题意得：D a,b , F c,0 , 2a 2b 8/3，ab 273 .b 0 b-.Q直线DF的斜率k tan60o73, bJ3a c ,a c a cab 23a 2由b 石a c得：b B 椭圆2. 22a b c c

31、1(2) POQ的面积为定值理由如下：设 P X1, % , Q X2,y2 ,当直线PQ斜率存在时，设方程为 y kxy kx m由 x2 y2 得：3 4k2 x2 8kmx 143则64k2m2 4 3 4k2 4m2 1222C的标准方程为 1 .4324 m2 12 0,48 4k2 m2 30 ,即 m2 4k2 3,178km4m 122， x1x2 23 4k21 2 3 4k2PQ22,1 kx1 x24x1 x24、3、1 k2 4k2 m2 34k2又点O到直线PQ的距离d1 k2S 1S POQ 2Q kOP kOQPQ d3 4km2 32YiY2x1x2,2,k x

32、1x2 km x1X2k2X1X2一 228k2 m222 m3 4k24m2 123 4k2化简可得:22 m2 34k2,满足S POQ2.3 m 4k2 m2 32 .3 m| 2m2 m2当直线3 4 k22m2PQ斜率不存在时,3Q Qp kOQ且 k0P4可设koP-32则点P,Q的坐标分别为P2, T此时S POQ综上所述:【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆中三角形面积定值问题的求解；求解定值的关键是能够将所求面积 利用变量表示出来，根据变量之间的关系化简可求得定值，属于常考题型x ln x21.已知函数f(x) e a(1)若f(x)在1,2上是减函数，求实数a的最大值;

33、若 0 a 1,求证：f(x) 2 lna a1【答案】(1) 士(2)证明见解析2e18【分析】(1)根据函数单调性可将问题转化为1,2上恒成立问题，通过分离变量的方式将问题转化为x，一 一,，一 一一X /xe ,利用导数求得 g x xe 1max的最大值，进而得到结果;(2)将问题转化为f X min2 ln a n的证明;a利用f x单调递增和零点存在定理可确定存在Xo02，a使得xX00,从而得到e1一；根据导函数正负可确定ax0单调性，进而得到min化简后,结合基本不等式可证得结论由函数解析式可知,X定义域为 0,(1)f xex xax在1,2上是减函数,1,2上恒成立，即x

34、, xe恒成立Xxe 1 x0,1,2上单调递增,max g 22e2,-2e2,解得:L2e2“»1a的最大值为一、.2e2由（1）知:x 1e ax0，则12axX在0,上单调递增.1;a一 e a0时,x 0,由零点存在定理可知，存在X0X0lnlnaX0ln aaX00,X00,X0min f时,时,X0aX10,-,使得 aln X0.X00,即exax0eX00;X0,时,0,单调递减；当X0,时,单调递增,X0ln aaX0aX0X。aln a2J二 ,ax0 aln a2 lna(当且a191X0仅当，即X0 1时取等号） axo a2 ln a当 0 a 1 时，f x a【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到根据函数在区间内的单调性求解参数范围、利用导数证明不证明不等式的关键是能等式的问题；根据单调性求解参数范围的关键是能够将问题转化为恒成立问题进行求解;够将问题转化为函数最值的求解问题.（二）选考题：共 10分.请考生在第 22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分.选修4 4 :极坐标与参数方程22.在平面直角坐标系 xOy中，直线l的参数