2015年北京西城高三二模数学理科试题及答案

1、北京市西城区2015年高三二模试卷数学（理科）2015.5本试卷分第I卷和第n卷两部分，第I卷 1至2页，第n卷3至6页，共150分.考试时 长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷 和答题纸一并交回.1 .设集合 K= （无工1 0）,集合 B= W1Wa，则 AI B =（）A. （1? 3）B. （1? 3C. 1? 3）D. （ 1? 32 .已知平面向量不，右、Z ”（-匕1） , =（21 3）t g = （一2，后）r若（a+ 0/ g ,贝U 实数k =（）A. 4B.4C. 8D. - 83,设命题 p :函数（x）=白”在R上为增函数

2、；命题q ：函数/（lj = gs（汗十句 为奇函数.则 下列命题中真命题是（）乩 p八qB.C. （尹）八-ig）T p 八可：4 .执行如图所示的程序框图，若输入的星名（1, 2,药,则输出的s属于（）A. 1? 2B. 1? C. 2 ? 3D. 1? 3? 95 .某生产厂商更新设备，已知在未来x年内，此设备所花费的各种费用总和y （万元）与x满足函数关系 j = 4尸+四：，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为（）A. 3B. 4C. 5D. 66 .数列为等差数列，满足 时十/十+ a加=10，则数列与前21项的和等于（）21A. B . 21 C. 42D. 84

3、27 .若x 1是 不等式，2* 0-入成立”的必要而不充分条件，则实数 a的取值范围是（）A. a 3B. a v 3C. a 4 D. a 48 .在长方体RJCD4琼1与中，= i.= 1 ,点M为ABi的中点，点P为对角线ACi上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P , Q可以重合），则MP+PQ的最 小值为（）A. E.3C. -D. 1224第II卷（非选择题共110分）二、填空题：本小题共 6小题，每小题5分，共30分.9 .复数=3+i10 .双曲线c :的离心率为；渐近线的方程为.8411 .已知角 的终边经过点 （一3, 4）,则cos = ； cos 2 =12 .如

4、图，P为O。外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与QO相交于点B、C ,. .3且PC = 2PA , D为线段PC的中点， AD的延长线交。于点E .若PB = ，则4PA =； AD - DE =13 .现有6人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有种.（用数字作答）14 .如图，正方形ABCD的边长为2, O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺 时针方向旋转至OD,在旋转的过程中，记 乙且。户为五（五七口1）,OP所经过的在正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积 S = f （x）,那么对于函数f （x）有以下三个结论:任意芍，演工，年,且外忸

5、都有） 0时，证明：存在实数 m 0,使得对于任意的实数 x,都有| f （x） |的成立.19 .（本小题满分14分） 22设用，鸟分别为椭圆E：.y_ l（a b 0）的左、右焦点，点A为椭圆E的左顶点,a b点B为椭圆E的上顶点，且| AB | = 2. 若椭圆E的离心率为 五,求椭圆E的方程；3设P为椭圆E上一点，且在第一象限内，直线男产与y轴相交于点Q ,若以PQ为直径的圆经过点Fi,证明：20 .（本小题满分13分）无穷数列p ：、满足药已N 1且对W用/I tN”）,对于数列p ,记第（4二遍母|4全月eN）,其中学可表示集合舶G I中最小的数.（I ） 若数歹U P ：1? 3

6、? 4 ? 7 ?,写出&（尸），虫尸），冢户）；（n）若（F）=2氐7 ,求数列P前n项的和；（出）已知%）= 46,求G=的+七（+d加+方（F）+骂（尸）+/ （尸）的值.北京市西城区2（）15年高三二模试卷参考答案及评分标准高三数学（理科）2015.55. B6. B7. A8. C二、填空题:本大题共6小鹿,初小跑S分.共30分.10.II72513.28814.注:第 10, II,12即第一间2分，第二问3分；第14题多选、混选或貂选均不得分.本大通共8小题，小黝5分，共4。分.3. D2. D航答呼：木大题共6小器，共X。分.其他正确解答过程.请参照评分标准给分.15.（本小题

7、满分”分）解：在MBC中,由正弦定拜，一：/一 sin A sin B得-1 .即 S sin B = 3sin A . sin A sin B又因为 v 7 sin 8 + sin 1 = 2，解得Sid日（H）解：在UBC中,由余弦定理8$/-+ c -a2bcI 9 + c，一 7,群 1 =-,即 d-女+ 2 : 0.10分2 6c解得c-l或c = 2.当c二1时，因为cosB -V7 n =+ c = 2时,因为cos% =二七二也0 . HAe. ba.Zfc 14所以入/C为蜕旬三角肥,符合题急.所以的面长枇Sin1=；x3x2x5=3卓一13分 16.（本小网4分13分）（

8、I）：根据茎叫图.得甲组数据的平均数为3 L）】 18，225 2F 30 41 4匕24 .1分10乙组数据的平均数为9U8.20二. .33二土空二26s2分10日茎叶图，知甲里号电楔机的“星级卖场”的个数用=S.3分乙型号电祝机的“果级卖场”的个数所以ntn . 4分（H）靖：由他意.*的所仃可施I仅值为0, I, 2, 5分且尸（,丫=。）=axl）=泮=.P（X-2）-1, 8分5。7j 、J 所以X的分布列为：X012252P-9999分所以必=0小吟+ 2110分（111） 当月中时一达到最小值，13分广木小题满分14分）（1 证明：w 为 DE 1 BE BEDC、 时以QJD

9、C, 分乂因为40，农，4。0 = /）, 所以QCJ.平面4DE. 2分高三数学（理 试电答案苏2页共8贝义因为 AE IDA.（H）解：因为A.E t面BCDE DE 1 BE .所以4, ZiF,麻加两里月以1B D- M分别为工地,j轴和m轴,如田北立中网百角举林系.易知 DE = 2x/J.幅 4(0,6 2),阳2、0,0). C(4、26、0) a(),2、5.0)所以祝二（一2.0.2）,威（2.26,0）.平面4BE的一个法向量为刀=（Q|,0） ,次平面4 5C的法向显为切三（- F,力.2x + 21=0, 2/2舟;0.令 y = 1 .再“1 二(-x/J,L-Vi)

10、.- 刁 y/l所以COS 肛与= 下一 二二|“小11 7由图，得二面加E-48-C的为钝二面角,所以二面角 48-C的余弦值为一程.10分（IB）结论：在线段6上不存在一点儿使平面4DP，平面4比二 II分解：假设在线段占8上存在一点使平面4QPJL平值48C-设。（人0,0）（0W/W2）,则人，二亿0,-2），4=（02万,2）， 12分设平面A。的法向最为。=（演凸）人T5 a 包26乂2z|=0, 由加皿仍皿得=0.令 Xj 3 2 ,得所以 13分图二:数学（J1）W5答案 第3贝夫g页记|，(、)|. /(i.)1|/(x:)| )为四数|/区)./(.)l中最大的教，然上，力

11、。0时行，!次数mw.W.*8).使用对任意的实数1.不等式恒成立.13分19.(本小题满分14分)(I)解：设一石匚.由超意.汨不，=4. tt- = . 2分a 3解得c = G，6 = 1. c=C.4分所以他俄E的方捏为;/ = 1.5分 11 ：内腿堂.0, 乂 0. a 4.由,就得乂 =2 1。所以 |O/*|Lx；+）： = 3，_2）、2.因为。+6= 42.所以|OP|戊.20.(本小胭滴分13分)解:7；(F) = 1. 7；(尸)=2 7；(2) = 2,。() = 3,彳() = 4.3 分II 5 帙：由即意.1(P) = I . 7式尸)=3. 7(/)*= 5.

12、 3(尸)=7.因为工(r) = 3. 117；(，)=【而1|5!/月，明以322, Il a2 3，且出 3.以此类推,符以24：。“八小.a2-2W| ,囚为 q%(/cW所以 q = % = I 。)=。4 M 2 a”.1 0。 n 6分当为奇骰打，3+为+%=2(1 + 2 +展)+ .嘤7分士为飞数时，a, + % +q=2(1 + 2+ )/ +24舄二数学（H）忒卷料案第6页共X见业.为蜀a所以散列4前项的和S.h n 4 In.为领匕（|解法-号察节含条件的数列尸eiw/wiMM。ra（p）.及3 =a + %+ag+，（/）+ K（PH十乙（尸）因为Z（产）=min5a户

13、灯.所以.（P） = i-I,F面将数列尸略作调整,仪索第a的值增加L具体如下X设a：=a,+l,对于（）-。可理数列及其对应效列小） 根枢数列。（尸）的定义，可得且（尸）=。（）0工4 + 1）.显然.）一】.所以、=4d+ + r（/）+4（/）+7；,（p）=% + a? +, + ”- + （q + 1）+ 化+ +。加QP） + 4（尸什+（7-1）+，】十+乙”）=al +生+ 4。+卜T】（P） + 6（。）=5即谢隹后的/一一如果数列9：还有存在相邻两项不相等，继续做以上的操作，不变,最终一定可以经过有限次的操作，使得q中的每一项变为相等.R操作中保持s的12分而当 n %=4t 46 时。（夕），?（/）=，6（P）=）,所以$ =。|