2020届江苏南京高三数学应知应会过关检测讲义3——数列

1、、考试说明要求:序号内 容要求ABC1数列的概念V2等差数列V3等比数列V二、应知应会知识和方法：1. (1)在公差为 2等差数列 an中，若a2+a4+a6 = 4,则ai+ aa+ as= 解：ai+a3+a5= 2.(2)设Sn为等差数列an的前n项和，S4= 14, S10S7=30,则Se=解：S9=54.、，一.1an an+1 _ , - +(3)已知数列an的首项为 a1 = 7,且满足 =5 (n N),则a6 =3an+1an解:a6=128说明：考查等差数列的概念，注意运用基本量思想(方程思想)解题.通项公式和前n项求和公式建立了基本量之间的关系.2. (1)在等差数列a

2、n中，若a+a2=4, a22+a23 = 24,则数列an的前23项和S23=.解：S23= 161(2)已知数列an的前n项的和Sn=n2-9n,第k项满足5ak0, Sl30当该数列的前n项和Sn取得最大值时，n =.解：n= 9 .(5)数列an的前 n 项和 Sn = n 2 + 2 n 1 则 a2 + a4+ a6 + + a00=.解：5150 .说明：注意等差数列的前n项和的特征在解题中的应用：小a1+ann (n - n Sn = -2-n a 1 +2 d其中ai + an = a2+an-1 = aa+ an-2- =,注意平均数的概念；公差不为0的等差数列的前 n项和

3、是关于项数 n的二次函数，且常数项为0；前n项和最大、最小的研究方法.4. (1)若等比数列an的前三项和 Sa= 1 ,且a3= 1,则a2=.解：a2= 1(2)等比数列an的前n项和为Sn,已知S1, 2s2, 3 S3成等差数列，则an的公比q为.一 1解：q=-3(3)各项是正数的等比数列 an中，a=3, S3= 21则a2+a4+a6=解：a2+ a4+ a6= 126 .(4)设正项等比数列 an的前n项和为Sn, &=1,与=17,则an =.1 一 ,解：an= 2 n L15(5)设等比数列an的前n项和为Sn,若a1=- 2, &=98,则a5的值为 .解：一32.(6

4、)等比数列an的各项均为实数，其前n项的和为已知S3= 7，S6=号，则as=.解：32.说明：等比数列的概念，注意运用基本量思想(方程思想)解题.通项公式和前n项求和公式建立了基本量之间的关系.等差和等比数列的简单综合.5. (1)设正项等比数列 an的前n项和为Sn,若Sn=2, S3n=14,则S4n =.解：S4n =30.(2)在等比数列an中，已知 aI+a2+a3=1, a4+as+a6 = 2则该数列前15项的和 Si5 =.解：11.(3)有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.解：0,

5、 4, 8, 16 或 15, 9, 3, 1 .说明：掌握等比数列的性质能提高解题的速度.这些性质主要有：若 n + m = p+q,则 anam =apaq；公比为q的等数列an中，其下标成等差数列的子数列也成等比数列；公比为q的等比数列an中，连续m项的和也组成等比数列，且公差为qm等.注意与等差数列的简单综合.6. (1)已知数列的通项 an= 2n 2 nl/Z 则 a2a3 =-解：a2a3 = 20.(2)已知数列an对于任意p, q GN+,有ap+aq=aq+p,若 a1 = T,则a36 =.9解：a36= 4.(3)数列an的构成法则如下：a1 = 1,如果an2为自然数

6、，且之前未出现过，则an+1 = an-2,否则 an + 1=3an,那么 a6= .解：a6= 15.说明：考查递推公式和归纳思想(寻找规律)，注意从等差、等比、周期等方面进行归纳.7. (1)数列15 39，51,，(2n 1) + =，的前n项和Sn的值等于24822解：Sn=n2+1-2n .(2)在数列an中,解：n=99.an =1Vn + n+1(3)等差数列an中,111an+i = 2 n + 1 贝1J Sn =+ +aa2 a2a23a2009a2010解:Sn =20094018(4)数列1, 1 + 2, 1 + 2 + 4,1 + 2+4+ 2n1前n项和为Sn,

7、那么 & =解：Sn=2n+1-n-2.(5)设数列an是等差数列，bn是各项为正数的等比数列，且a1=b1, a3+b5=21, as+ b3 = 13,求数列an、bn的通项公式；求数列 后的前n项和Sn.解： an = 2 n - 1, bn=2n 1 Sn = 6 2n+ 32口-11(6)已知数列an满足a1 = 2,an=2nn，设数列bn满足2an+2bn=2+ n，求b+b2+ bn的值.1(n+1) 2n+1 -解析：bn =2 (n+2)n+21n + 2=/, y、c+ 2 n ( n+ 1)22n+1 n (n+ 1)2“+1，一 1解：一211 n+2(n+1) +

8、1n n+ 1 n 2n 1(n+1) 2n + 111 _ 1 _11 _12n+1+n 2n2n+1 (n+1) 2n + 1=n - 2n- (n+1) 2n+1j所以 b1+b2+bn =1 21 2 22 + 2 22 3 23 + n 2nn 1) 2n+112(n+1) 2nl.说明：掌握等差数列和等比数列的求和方法；掌握一些能转化为等差和等比数列的求和；掌握错位相减 求和；知道一些典型的裂项求和方法.38. (1)如果数列an的前n项和为Sn,满足 &=2an3,那么这个数列的通项公式是 解：an =2X3n.(两种思路：一是归纳，二是转化)1 -(2)数列an中，已知a1 =

9、 2且白u n项和Sn= n2an,则an=.解:1n (n+ 1)(3)数列 an中，已知a1= 1,a +2a2+ 3 a3+nan= 2 n 1 , 则an =解:2, n2 an= n1, n= 1 .(4)已知数列an的前n项和Sn = -an-(2)n 1+2 (n为正整数).令bn=2nan,求证：数列 bn是等差数列,并求数列an的通项公式解：an=2(5)设数列an的前n项和为Sn,且满足：an0,Sn=(an+p)2(nC N*, p R).若a1，a2,a3成等差数列，求数列an的通项公式.解:an =2n 14解析：设等差数列ai,a2,a3的公差为d.因为Sn= (a

10、n+p)2(n 6 N*,p6R),所以ai=(ai+p)2,ai+ a2= (a2 + p)2, ;ai+a2+ a3=(a3+p)2.一，得 a2= (a2+ p)2(ai+p)2,即d(ai + a2+2p),一，得 a3= (a3+ p)2(a2+p)2,即 a3= d(a2+a3+2p), 一，得 a3a2=d(a2+ a3+2p) (ai+a2+ 2p),即 d = 2d2.i右 d= 0,则 a2= a3= 0,与 an0 矛盾，故 d = 2.，一一1i ii代入得 ai + 2 = 2 ai + ai + 2+2p ,i 一.于ZE p=4.因为一 _ , iSn= an+

11、42*(n6 N ),所以S + iian+i + 742,所以a n+ ii 2Sn+ i - Sn = an+i +4an + ；i 2 一即 an+i + an+i 4ian十 二 4=0,整理得an+i 4an+：0,于TH (an+ i + an)ian+i an- 2=0.i 2iai+4，所以 ai.ii 一.因为 an0,所以 an+ian2=0,即 an+i an=3.因为 ai,、一一，ii ,所以数列an是首项为4,公差为2的等差数列.EUi i2n-1*因此，an=4+(n i)=-4(n6 N ).(6)已知各项均为正数的无穷数列an的前n项和为Sn,且满足ai =

12、a(其中a为常数)，nSn+i=(n+ i)Sn+ n(n+ i)(n N*).求an的通项公式.解：an=2n-2+aSn+i SnSn解析：因为 nSn+i = (n+i)Sn+n(n+i),所以彳=+ i，又& = ai=a,则数列 是以a为首项，i 为公差的等差数列，因此Sn=n i+a,即 S=n2+(ai)n.当 n2 时，an= Sn-Sni = 2n- 2 + a,又ai= a也符合上式，故an=2n2+a(n6 N*),故对任意n6N*,者消an+i-an=2,即数列an 是以2为公差的等 差数列.说明：利用数列an的前n项和为Sn与通项an的关系求解数列的通项公式an =f

13、(n)或者其他类似问题是常考题型和热点问题，解决这类题目的主要方法是对Sn与an的关系式递推(可前推也可以后推)后，两式相减，消去和Sn,得到相邻两项(或者是相邻三项)关系后求解，有时也将an表示成Sn-Sni(n2, n6N*)后，消去项an后求解.9. (i)已知an+i = 一毁，ai=2求证：数列2的等差数列；求数列 an的通项公式. an + 2an一 一22解：略；an = n .(2)已知数列an满足 ai = i, a2 = 3, an+2 = 3an+i 2an ( n 6 N) 证明：数列 an+i-an 是等比数列；求数列an的通项公式.解：略；an = 2n1 .(3)

14、根据下列条件，分别确定an的通项公式：an+in + i/ai=i, an+i = an+2n ；ai = i, .= -； ai = i, an+i = 3an + 4.ann解： an=n2n+1. an=n. an=3n 2.说明：理解由数列的递推公式求通项公式的方法.掌握常见递推数列的通项公式的求法，如an+i-an = f(n),史=f (n), an+i=pan+q (其中p、 q为常数)其主要想法是将其转化为等差或等比数列. an10. (1)数列an的通项公式an=n2+入(nc Nj,若数列an为递增数列，求实数 人的取值范围.解：(-3, +00).(2)已知数列bn满足b

15、n = 2X-1)n-n2,若数列bn是单调递减数列，求实数 人的取值范围.解:-1,10an2+2*(3)已知各项是正数的数列an的前n项和为&.若Sn+Sn-1 = -(n N , n2),且a = 2.3求数列an的通项公式；若Sn2 时，由 Sn+Sn-1=, (*),则 Sn+1 + $ = -, (*)33(*)(*)得 an+1 + an= (an + 12- an2),即 an+1an=3, n2, 3a22+ 2当 n= 2 时，由(*)知 a1 + a2+ a1 =,即 a2 3a2 10=0,解得 a2= 5 或 a2 = 2(舍去),3所以a2-a1 = 3,即数列an

16、为等差数列，且首项a1 = 2,所以数列an的通项公式为an= 3n 1.由知,an=3n1,所以 Sn =n (3n 1+2) 3n2+n22由题意可得归 -STy = 3nn+2n对一切 n 6 N*恒成立，2n 12n 23n2+ n3 (n1) 2+ ( n1)j己 Cn = 2n+ 2 ,贝!J CnT =2n+ 13n2+ 11n 4n 2 ,所以 Cn Cn-1 =2n+ 213-1571n2.当 n4 时，Cn an怛成立；若对于给定的正整数 k, an-k+ an+ k=2an对于任意的正整数 n(nk)恒成立，则称数列an是 R(k)数列”.2n 1, n为奇数，已知an=

17、判断数列an是否为“ R(2)数列”，并说明理由;2n, n为偶数，已知数列bn是R(3)数列”，且存在整数p(p1),使得b3P-3, b3p-1, b3p+1, b3P+3成等差数列，证明： bn是等差数列.解：是；见解析斛析： 当 n 为可数时，an+1 an=2(n+1) 1 (2n 1)=20,所以 an+ian.an-2+an+2=2(n 2) 1 + 2(n+2)1 = 2(2n1)= 2an；当 n 为偶数时，an + 1 an = 2(n+1) 2n= 20,所以 an+1 an.an 2+ an+2= 2(n 2) + 2(n+2) = 4n = 2an.所以数列an是 “

18、R(2)数列”.由题意可得bn3+ bn+3=2bn,则数列b1，b4,b7,是等差数列，设其公差为d1，数列b2,b5,bs,是等差数列，设其公差为d2,数列b3,b6,b9,是等差数列，设其公差为d3,因为bnbn+1,所以b3n+ 1b3n+2b3n+4,所以 b1+ nd1 b2+ nd2 b1 b2, (*)n(d2d) b1 b2+d1. (*)4 .b1 b2, 一一右d2-d1.了时，(*)不成立；d2 d1若 d2-d10,则当 nb1 ; b2：d1 时，(*)不成立. d2 d1若 d2d1 = 0,则(*)和(*)者B成立，所以 d = d2.同理得 d1=d3,所以 d = d2=d3