2007-2017昆明数学中考压轴题含答案

1、昆明市2007-2017年中考压轴题1. (2007昆明)如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(一2, 0),连接OA,将线段OA绕原点O顺时针旋转120° ,得到线段OB.(1)求点B的坐标；(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点 存在，请说明理由；(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点， 时P点的坐标及 4PAB的最大面积;C,使BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不且在x轴的下方，那么FAB是否有最大面积？若有， 求出此 若没有，请说明理由.(注意：本题中的结果均保留根号 )解：（1）过点B作BD,x轴于点D,由已知可得：

2、OB=OA=2 / BOD=60在 RtAOBD, / ODB=90 , / OBD=30.OD=1 DB=、3:点B的坐标是(1, J3 )(2)设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,由已知可得:4a2b c 0解得：a=/,b='=0分;所求抛物线解析式为 y= -3 x2+2-l x(备注：a、b的值各得1分)(3)存在由y= eW+Zx配方后得:y=，)*:抛物线的对称轴为x=-1 (也可用顶点坐标公式求出).点C在对称轴x=-1上， BOC的周长=OB+BC+CO.,OB=2要使 BOC的周长最小，必须 BC+COft小，.点O与点A关于直线x=-1对称，有OC=CA

3、BOC勺周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA;当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时,BC+CAR小，此时 BOC勺周长最小.设直线AB的解析式为y=kx+b ,则有:2kb 0解得：k=3b=9;直线AB的解析式为y=3+22当 x=-1 时，y=3(4)设 P (x, y) , (-2<x<0 ,Q £B的坐标为 (-1y<0),则 y=lx2+迎_33过点P作PQL x轴于点Q, 由题意可得：PGL x轴于点G,过点A作AF，PQ于点F,过点B 作 BE，PQ?F点 E,则 PQ=-x, PG=-y,S PAB=S 梯形 AFEB-S

4、aAFP-SaBEP1 (AF+BE - FE- 1 AF - FP- 1 PE - BE21=(-y+ 百2将代入，化简得:Spab =-在 x2-立 x+_310-1 (x+1)938,1 .:当x=时， PAB的面积有最大值，最大面积为29.311此时，y=_k1+2_W. 343/)=-61点P的坐标为(-,2122. (2008昆明)如图，在直角坐标系中，以点M (3,0)为圆心,以6为半径的圆分别交 x轴的正半轴于点 A,交x轴的负半轴于点 B,交y轴的正半轴于点 C,过点C的直线交x轴的负半轴于点 D( 9,0).(1)(2)求A, C两点的坐标；求证：直线CD是e M的切线;(

5、3)若抛物线y x2 bx c经过M, A两点，求此抛物线的解析式;-y ) (1+2) - 1 (-y ) (x+2) - 1 (1-x ) (.3 -y )（4）连接AC ,若（3）中抛物线的对称轴分别与直线 CD交于点E ,与AC交于点F ,如果点P是抛物线上的动点，是否存在这样的点P,使得Sapam : Sacef若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果均保留根号）解：（1）连接 CM ,由题意得：OM=3 , OB=3 , OE=9,MC=6OA=OM+MA=3+6=9A (9, 0)QOC .MC2 OM 2 ,62 32 3.3.C (0, 373)（2）证法一：在 RtADC

6、O 中,Q DC DO2 CO2 92 (3、3)2 6 3在 DCM中,QCMDC262 (6 . 3)2 14473:3 ,若存在，请求出此时点 P的坐标;DM 2(DOOM )2(9 3)2 122 144CMDC2DM 2， DCM直角三角形。MC ±DC, CD 是O M证法二：在 RtACOM而MC是。M的半径的切线。Q sin MCO中，OMOCMCO 30在 RtADOC 中,Q tan DCODOCODCO 60ODCM MCO DCO 90OMC DC ,而MC中的。M半径。证法三：在 CMO和 DMC中CM 6OM 2c dm2,DO OMMCMCCM DMOM

7、 MC又 Q CMO DMCVCmo ： Vdmc COM DCM90OMC DC ,而MC DC ,而MCMC中的。M半径。中的。M半径。(3)由抛物线ybxC经过点M (3, 0)和点A (9, 0),可得:3b c 0819b c 0解得:12，抛物线的解析式为:2712x 27(4)存在。方法一：设直线CD的解析式为ykix bi,点C(0,3j3)和点D (9, 0)在此直线上，可得:/口ki解得：bi.J33,3,直线CD的解析式为:3、3设直线AC的解析式为k2x b2,点 A (9,0)和点C(0,33)在此直线上，可得:b23.3 到,日2解得:9 k2 b20k2b2、.3

8、33x3直线AC的解析式为:. 抛物线的对称轴为 x又点E是对称轴和直线2aCD的交点当x=6时，y近633.3 5.3点E的坐标为(6, 5内)双点F是对称轴和直线AC交点.当 x=6 时，y 6 3G 石3.点F的坐标为（6,聒）EF 5,3 x3 4,3过点C作CGEF于点G,则CG=6SVCEF若点SVPAM1EF£G 1 4.3 6 12,322P在轴的上方，设点 P坐标为（x, y）1c-AM gy 3yQ SVPAM:SVCEF3:33y:12 ,3,3:3解得：y=4当y=4时，即x2 12x27 4,解得 x 6 APi（6.13,4） , P2（6.13,4）10

9、分若点P在x轴上，则点P与点M或与点A重合，此时构不成三角形。若点P在x轴下方，设点P的坐标为（x, y）C1 八SVPAM- AM ay） 3 y2QSvPAM : SVCEF3:33y:12 ,3,3:3解得：y=4当y= 4时，即x2 12x27P3（65, 4） , P4（6.5,4）12分这样的点共有4个,Pi（6713,4） , P2（6 A,4）, P3（6 底 4） , P4（6 底 4）方法二：存在设抛物线的对称轴交 x轴于点H在（2）中已证:DCO 60O, CDO 30O抛物线的对称轴平行于y轴CEF DCO 60O OD=OA=9 CO垂直平分ADCAO CDO 300

10、在 RtAAFH 中， AFH 60OEFC 60O， CEF是等边三角形过点C作CGEF于点G,则CG=6可得：EF 4,31 1-SvCEF EF£G-4,3612 .32 23. (2009昆明)如图，在平面直角坐标系中，四边形B的坐标为(4, 3),点C在y轴的正半轴上.动点OABC是梯形，OA / BC,点A的坐标为(6, 0),点M在OA上运动,AB上运动，从A点出发到B点.两个动点同时出发，速度都是每秒从O点出发到A点；动点N在1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为 (1)求线段AB的长；当t为何值时，MN / OC ?(2)设4

11、CMN的面积为S,求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围;S是否有最小值?若有最小值，最小值是多少？(3)连接AC,那么是否存在这样的 请说明理由.t,使MN与AC互相垂直？若存在，求出这时的4yC解：(1)过点B作BD OA于点D ,则四边形CODB是矩形,BD CO 4, OD t值；若不存在,BNMCB 3, DA3.在 RtABD 中，ABJ32 42 5.当 MN / OC 时，MN AMN ADB ,/ BD,AN AN OMABt, AM 6AM.ADt, AD3,_1 _1 11 _S-CO(OACB)-COgOM-AM gEN-CBgFN22224 (63)1小、

12、4gt (6 t)414-t-34-t.5252t 52 t5乌516 t5124)2284时，S有最小值，且S最小282 3 一4. （2010昆明）在平面直角坐标系中，抛物线经过O （0, 0）、A（4, 0）、B 式）二点(1)(2)求此抛物线的解析式；以OA的中点M为圆心，OM长为半彳5作。M,在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P,过点P作O M的切线l ,且l与x轴的夹角为30° ,若存在，请求出此时点 P的坐标；若不存在，请 说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号）解：（1）设抛物线的解析式为:2.ax bxc(a 0)c 0由题意得：16a 4b9a 3b02.33

13、2 3解得：a J,b98.39 ,c，抛物线的解析式为:2.3 2x9（2）存在l抛物线y Ax2 Ax的顶点坐标是(2,曳3),作抛物线和。M (如图)， 999设满足条件的切线 l与x轴交于点B,与。M相切于点C连接MC ,过CCD ± x轴于D MC = OM = 2,/ CBM = 30° , CM ±BC ./BCM = 90° , Z BMC = 60° , BM = 2CM = 4 ,. B (-2, 0)在RtCDM 中，/ DCM = Z CDM - / CMD = 30 °DM = 1, CD = 7CM2DM

14、2 = V3C (1, 73)设切线1的解析式为：y = kx+ b（k? 0）,点b、C在1上，可得:k b 32k b 0解得:切线BC的解析式为:.32.3y x 33点P为抛物线与切线的交点2.3 2 8.3x x993 2 sx 33解得:XiViX2V2.点 P 的坐标为：R( 1,y-),P2(6,8)23 2 83'抛物线y x x的对称轴是直线 x 299此抛物线、O M都与直线x 2成轴对称图形于是作切线1关于直线x 2的对称直线1'（如图）得到B、C关于直线x 2的对称点Bi、Ci1'满足题中要求，由对称性，得到 Pi、P2关于直线x 2的对称点:

15、8.3.,P4( 2,)即为所求的点.3这样的点 P共有4个：R( 1,), P2(6,83), P3(9, ), P4( 2,鼠3) 12分2 232 235. （2011 昆明）如图，在 RtAABC 中，/ C=90°, AB=10cm , AC : BC=4 : 3,点 P 从点 A 出发沿 AB 方 向向点B运动，速度为1cm/s,同时点Q从点B出发沿B-C-A 方向向点A运动，速度为2cm/s,当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动.(1)求AC、BC的长；(2)设点P的运动时间为x (秒)，4PBQ的面积为y (cm2),当4PBQ存在时，求y与x的函数关系

16、式, 并写出自变量x的取值范围；(3)当点Q在CA上运动，使PQXAB时，以点B、P、Q为定点的三角形与 4ABC是否相似，请说明 理由；(4)当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点 M,使4BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不 存在，请说明理由. AP=xBP=10-H L解：(1)设 AC=4x, BC=3x,在 RtABC中，aC+bC=aB 即：(4x) 2+ (3x) 2=102,解得：x=2, 1. AC=8cm BC=6cm(2)当点 Q在边BC上运动时，过点 Q作QHLAB于H, x, BQ=2x ,. QHBAACB . QH- QBQH=8x, y=1BP?QH=1

17、 (10 - x) ? 8 x= - 4x2+8x (0 vxW 3),AC AB '52255当点Q在边CA上运动时，过点 Q作QH LAB于H',1 .AP=x.BP=10- x, AQ=14- 2x, . AQHs ABCAQABQH 14 x-一，即：BC10QH .，解得：QH6(14 x),2 .y= 1PB?QH= 1 (10 x)? 3 (14x) = x2- 36x+42 (3vxv7); 225105，y与x的函数关系式为:y=4 2-x53 2一 x108x(0 x3)36 x 42(3 x 7)5. PQLAR .APQAACtBAP AQAC ABPQ

18、x 14 x PQ，即：BC810614一334一9c C BA当点Q在CA上运动，使 PQLAB时，以点坐标，若不存在，请说明理由解得：x=56 , PQ=14,PB=10- x=34 ,-PQ939 PBB、P、Q为定点的三角形与 ABC不相似;AIM)(4)存在.理由： AQ=14- 2x=14- 10=4, AP=x=5, AC=8 AB=10, .PQ是 ABC的中位线，PQ/ AB, PQLAC.PQ是AC的垂直平分线，PC=AP=5,当点M与P重合时， BCM的周长最小， .BCM 的周长为：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5)=16 BCM 的周长最/、值为 16.

19、16. (2012昆明)如图，在平面直角坐标系中，直线 y -x 2交x轴于点P ,交y轴于点A ,抛物 31 2线y-x bx c的图象过点E( 1,0),并与直线相交于 A、B两点.2求抛物线的解析式(关系式)； 过点A作AC AB交x轴于点C ,求点C的坐标； 除点C外，在坐标轴上是否存在点 M ,使得 MAB是直角三角形？若存在， 请求出点M的小1 23-2 yxx2 ；C( 一,0)；223。、小 7、 t A 65 -、.1165 -、 一92 八、一小 92、(0,)、或(,0)、或(,0)、或(,0)、或(0, )9662791解： 如图，因为一次函数 y-x 2交y轴于点A,

20、所以，Xa 0,Ya 2 ,3即 A(0, 2).又，一次函数交 x轴于点P ,所以,yP0,xp6,即 P(6,0).由A(0,2)、E( 1,0)是抛物线y1 2x bx c的图象上的点,2C 2,3b1 八2b C 02C 2所以，抛物线的解析式是：1 23y x x 222如图，Q AC AB、OA OP在 Rt CAP 中，QOA CP2AO2 CO OP22“ AO2222COOP 632. 点C的坐标：C( ,0) 3设除点C外，在坐标轴上还存在点M ,使得 MAB是直角三角形,即 AMB Rt 或 ABM RtI.在Rt MAB中，若 AMB Rt ,那么M是以AB为直径的圆与

21、坐标轴的交点，这时M会在X轴的正半轴上和 y轴的正半轴上则有,i .若交点在y轴的正半轴上(如图)m YB(B点的纵坐标)1 -x31 2x211 7%，9),设 M (0, m),7M(0,9)ii .若交点在x轴的正半轴上(如图)，设M(n,0),此时过B作BD垂直x轴于点D ,则有 AOM : MDB , 于是：AO OMMDDBJ1n(一 n)3OM MD AO DBni11651165116551165此时，M (,0)或 M (,0)66n .在 Rt MAB 中，若 ABMRt ,即过B作BM轴的负半轴上i . M在X轴的正半轴上,如图,设M (t,0),同样过B作BD垂直x轴于

22、点D ,在Rt PBM中，有2BD2 MD DP7 2(9)1111(3 忧6 3)92一,27,92此时，M (,0)27ii . M在y轴的负半轴上,如图，设 M(0, q),(q0)，过B作BF垂直y轴于点F ,则在Rt ABM中，有_2 11 27 792BF AF FM ,即：(力(2 -)(- q) q 39 9992此时，M (0,) 9综上所述，除点 C外，在坐标轴上还存在点M ,使得MAB是直角三角形，满足条件的点M的坐标是：(0,二)、9T/1165 -1165、 9292、或(,0)、或(,0)、或(,0)，或(0, )66279共五个点.AP ,这时M会在x轴的正半轴上

23、和 y7. (2013昆明)如图，矩形 OABC在平面直角坐标系 xoy中，点A在X轴的正半轴上，点 C在y轴的正 半釉上，OA=4, OC =3,若抛物线的顶点在边 BC上，且抛物线经过 O、A两点，直线AC交抛物线于 点D。(1)求抛物线的解析式；(2)求点D的坐标；(3)若点M在抛物线上，点 N在x轴上，是否存在以 A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 N的坐标；若不存在，请说明理由。CDOA*xyB设抛物线的解析式为由抛物线的顶点坐标为解：（1）由题意知：A（4 , 0）, C（0, 3）, BC=4。BC的中点坐标为（2, 3）由对称性可知：抛物线的顶点坐标为（2

24、,3） y=a (x h) 2+k,(2, 3),贝U h=2, k=3将O （0, 0）代入得:0=a (0 2) 2+3,解得:3 a=4抛物线的解析式为y= - 3 x2+3x（2）解:设直线AC4的解析式为y=kx+b ,将 A(4,0),C(0 ,3）代入解析式可得:4k b解得:直线AC的解析式为3x 343x43 2x43xx24y209 一AC的交点的坐标为（1,-)(4, 0)49.点D的坐标为（1,-）4（3）存在。若点M在x轴的上方如图（1）,过点D作DM / x轴交抛物线于点 M , DM=2 ,要使以A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，须有 AN=2Ni（2,

25、0）, N2（6, 0）若点M在x轴的下方M4M3图2如图（2）所示，要使以 A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形,须有 |Dy|=|My|=9 ,且 MN / AD4“9 M y= 一 一4丁点M在抛物线y= x2+3x h 4.一+3x= 944解得：xi=2+，7, x2=2 N,此时 M3（2+, 9）, M4（2S, 9）44I .当 M3（2+S, - 9）, M3N3/ AD 4设直线M3N3的解析式为y=x+b,把M3（2山7, 一 ：）代入解得：b=一直线M 3N3的解析式为 y= 3x+ 3汨-44令 y=0,解得:x=J1,，N3(* 7 1, 0)n.当 M4(2

26、9), .M4N4/AD4同理可得直线 M 4N 4的解析式为y= x+一-44令 y=0,解得：x= - t'7 i,N4(-47 i,0)综上所述，满足条件的点 N有四个：Ni(2, 0), N2(6, 0), N3-1, 0), N4(-<7i, o)8. (2014昆明)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ax2 bx 3(a 0)与x轴交于点A ( 2, 0)、B (4, 0)两点，与y轴交于点C。(1)求抛物线的解析式；(2)点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向 B点运动，同时点Q从B点出发， 在线段BC上以每秒1个单位长度向C点运动。其中一个点到

27、达终点时，另一个点也停止运动。当4 PBQ存在时，求运动多少秒使 PBQ的面积最大，最多面积是多少？(3)当 PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点 K,使SzxCBK: SAPBQ 5:2,求K点坐 标。6，B史s!. 0 55 s 南JU>BOCE 。 "QJS，2L4>«IK=H QHA8.ABHQABOCmSWJ 期Xoc iX - 8 mQO4>ndocsni 2号 RJCK. N8HIN>NABCWW:-,Doc/Nc N A ow:K0O28- 1 !.:!.«> 牛 OSK- 8H>n:*>c*oo

28、8ss5$ sr- *w s l：；im -巾 Rco，KDOC.K :iMA R.CK>08IK>5Qxwa>QW>(ZDOC.ZA>>A8S>3>>9ol9>r8- $ 0rDmB OD*取 8JAC:-AC»0o $9ft54) 2*:、： MT>08l>l8>.002lu>ODC-&g88:?*3l*3/口法BC3«SKX>“帽百1EB4, OL C (0 Is4syb+c3B4*?。0*;l3Sacm3:江Km，笛笛门»K0*rx(»如 K*KE、

29、揖»BCT肌 EX m - im 3J>30 3a2s2139. (2015昆明)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+x+c (aw。与x轴交于A、B两点(点 A在点B的右侧)，与y轴交于点C,点A的坐标为(4, 0),抛物线的对称轴是直线 x1.(1)求抛物线的解析式；(2) M为第一象限内的抛物线上的一个点， 过点M作MG，x轴于点G,交AC于点H ,当线段CM=CH 时，求点M的坐标；(3)在(2)的条件下，将线段 MG绕点G顺时针旋转一个角 a (0°V aV 90 ),在旋转过程中，设 线段MG与抛物线交于点N,在线段GA上是否存在点P,使彳导以P

30、、N、G为顶点的三角形与BC 相似？如果存在，请求出点 P的坐标；如果不存在，请说明理由.月用图解：(1) x=-2a 2 a=-可得(y=ax +x+c,把 A (4, 0), a=-)X42+必+c=0, 22解得c=2,则抛物线解析式为y= - -1x2+|x+2 .(2)如图1,连接CM ,过C点作CEMH于点E,y= - Ax2+x+2 , 22当 x=0 时，y=2,，C点的坐标是（0, 2）,设直线AC解析式为y=kx+b (kw。，把 A (4, 0)、C (0, 2)代入 y=kx+b,可得j，解得：i 2,，直线AC解析式为y= - Ax+2 ,2二点M在抛物线上，点 H在

31、AC上，MG轴，;设点 M 的坐标为(m, - -m2-H|m+2), H (m, -,m+2),Il 9 311111 9 MH=-工/+5+2 - ( - m+2) = m +2m,1 2恸叵v CM=CH , OC=GE=2 ,MH=2EH2 2 - (- m+2) =m ,1 9又 v MH= - -gm2+2m,1 2- -m +2m=m ,2即 m (m - 2) =0,解得m=2或m=0 （不符合题意，舍去）当m=2时，y=-1 X22+ & X2+2=3,22:点M的坐标为(2, 3).(3)存在点P,使以P, N, G为顶点的三角形与BC相似，理由为:;抛物线与x轴交于A、B两点，A (4, 0), A、B两点关于直线x=q成轴对称,2V AC=Jq2 + 22=2, BC=J2=/, AB=5 ,. ac2+bc2 ='=25, AB2=52=25,. AC2+BC2=AB 2=25,ABC为直角三角形,线段MG绕G点旋转过程中，与抛物线交于点N,当NP，x轴时，Z NPG=90 °,设P点坐标为(n, 0),则N点坐标为(n,n2+|n+2),如图2,./ NiPiG=/ACB=90 ,NiPiGA ACB ,2V5 正，解得：ni=3, n2= - 4 (不符合题意，舍去) 当