2020届海南天一大联考高三年级第四次模拟数学试题解析版

1、天一大联考2019 2020学年海南省高三年级第四次模拟考试数学一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .已知集合 A x N| 1 x 4 , B 0,1,4,9，则图中阴影部分表示的集合为（）A. 0,1,2B. 1C. 1,2D. 0,1【答案】D【分析】由题意可得阴影部分表示AI B,求出集合 A后计算AI B可得答案.【详解】解：由题意可得阴影部分表示AI B,可得：A 0,1,2,3 , B 0,1,4,9 , ：. AI B 0,1 ,故选：D.【点睛】本题考查集合的交集运算，由题意得出阴影部分表示AI B是解

2、题的关键，相对简单.22 .复数1 i的虚部为（）A. -1B. -2C. iD. 2i【答案】B【分析】将原式子展开，求出复数的实部与虚部可得答案【详解】解：:1 i 2 1 2i i2= 2i ,复数的虚部为-2,故选：B.【点睛】本题考查复数代数形式的混合运算和复数的基本概念，考查学生的计算能力，属于基础题型3 . “ x 1,1, | x| a恒成立”的充要条件是（）A. a 1B. a 0C. a 2d. a 1【答案】A【分析】 根据已知可得|x|max 1 ,只需a大于|x|max即可，再根据充分条件和必要条件判断即可【详解】因为 x 1,1, |x| a恒成立，故只需 a |x

3、|max即可,因为x 1,1,所以| x |max 1,所以a 1 .反过来也成立, 故充要条件为a 1.故选：a本题考查充分条件和必要条件的判断，同时考查恒成立的处理方法，属于基础题r4.已知向量aA. 1【答案】Crrr r2,m , b1,2 , a 2ab1B.一2 r r,r _r求出向重2a b的坐标，由a 2arr【详解】Qa 2,m ,b 1,2r r r11Q a 2a b ,221斛得m .2故选：C.11,2C.则实数m的值为()D. -1r 11-rb 一，根据向量数量积的坐标表不，即求实数 2r r 2a b 3,2m 2 .3 m 2m 2112，【点睛】本题考查向

4、量的坐标运算及数量积的坐标表示，属于基础题,15.右函数 f(x) sinx2cosx在2 ,上单调递增，则2的最大值为(m的值.A. 35B.27C. 一3D.136【答案】D由三角恒等变换化简函数解析式，求出正弦函数的单调增区间，即可得出的最大值.【详解】由题意可得f(x) sin x 一，令2k x 3232k一,k Z25713.一.得2k x 2k , k Z ,令k 1 ,得 x，所以 的最大值为6666136故选：D【点睛】本题主要考查了利用正弦型函数的单调性求参数的范围，属于中档题6.某校图书馆最近购买了 6本不同的数学课外书，其中2本适合小学生，2本适合初中生,2本适合高中生

5、.一位老师随机借阅了其中 3本，则这3本书恰好分别适合小学生、初中生、高中生阅读的概率为（C.g1536本不同书中借阅 3本有C6 =20种方法，其中3本书恰好分别适合小学生、初中生、高中生阅读的结果数为c2c2c2=8,然后利用古典概率的计算公式可求得结果3解：根据题意，从 6本书中借阅3本的结果数为C6 ,这3本书恰好分别适合小学生、初中生、高中生阅读的结果数为c2c2c2,所以所求概率为pc2c2 c22C；故选：B道容易题本题考查古典概型的概率计算问题，考查学生的数学运算能力，是7.已知函数f Xx3, a10g2，4，bf 10g4一5c的大小关系为（）a. c b aB.C.D.

6、a由对数的运算性质得出log10g21：比较2 B ,3 4利用单调性即可得出a, b,c的大小关系12 ,的大小,结合募函数的性质得出 f X的单调性,10g2 4log 2因为f x在（）上单调递增16所以,2,3,4.所以 10g2 10g2 10g4 一，所以 c a b. 345故选：C【点睛】本题主要考查了利用募函数的单调性比较大小，属于中档题228.已知双曲线C：2 二 1 a 0,b 0的左、右焦点分别为 Fi, F2,点M为C的右支上一点，且 a bMFiMF2, MF2争MF1，则双曲线C的离心率的最小值为（A. 3B. , 3 1C. 3【答案】B【分析】D. . 5 1

7、设MF1F2MF1 2ccos , MF2 2csin ,由 MF2 |MF1 ,得出3 1的定义以及离心率公式得出c 11a cos sin 打，最后余弦函数的性质得出双曲线C的离2 cos4心率的最小值【详解】设 MF1F2,MF1 2ccos , MF2 2csin因为MF23|MFi ,且 |MF23MF1 ,所以tan3所以 MF1MF22ccos 2csin 2ac 11e ：所以 acos sin、2 cos - 4因为- 一，所以当 一时，J5 cos一 取得最大值-1242642所以e 旧 1 ,所以双曲线 C的离心率的最小值为君 1.故选：B【点睛】本题主要考查了双曲线的性

8、质和离心率，涉及了三角函数的性质，属于中档题二、多项选择题：本题共 4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得 3分，有选错的得 0分.9 .产能利用率是工业总产出对生产设备的比率，反映了实际生产能力到底有多少在运转发挥生产作用.汽车制造业的产能利用率的正常值区间为 79%83%，称为“安全线”.如图是2017年第3季度到2019年第4季度的中国汽车制造业的产能利用率的统计图.以下结论正确的是（）*时/A. 10个季度中，汽车产能利用率低于“安全线”的季度有5个B.10个季度中，汽车产能利用率中位数为78.75%C.2018年4个季度

9、的汽车产能利用率的平均数为79.9%D.与上一季度相比，汽车产能利用率变化最大的是2019年第4季度【答案】AC由统计图可知，产能利用率低于“安全线”的季度为图表中的大（或从大到小）排列后求第5个和第6个骷汽车产能利用率变化最大的是2018年第1季10个季度中，汽车产能利用率低于“安全线”的季共5个季度，A正确；10个季度中，汽车产能利5个季度,匀数由其中位I20185A正确；对这10个数据从小到利用平均定义直接求平散，由图可知79.6% 72季度至19年第479.由图可知，2018年4个季度的汽车产能利用率的平均数为80.7% 81.4% 79.6% 77.9% 79.9%, C正4确；与上

10、一季度相比，汽车产能利用率变化最大的是2018年第1季度，与上一季度相差 2.9% ,而2019年第4季度与上一季度相差 2.4% , D错误.故选：AC【点睛】本题考查统计中中位数、平均数等相关知识，考查学生识图能力，数据分析能力，是一道容易题6110 .对于 2X -2 的展开式，下列说法正确的是()XA.展开式共有6项B.展开式中的常数项是-240C.展开式中各项系数之和为1D.展开式中的二项式系数之和为64【答案】CD【分析】6 nA项，一项式 a b的展开式共有n 1项；B项，求出 2x12 展开式的通项Tr 1，令x的指数为0,求 x61出r ,代入Tr 1,即得常数项；C项，令x

11、 1 ,代入 2x2 ,即得展开式中各项系数之和；D项，二项xn式a b 的展开式中的二项式系数之和为2n.6.1, 一 ， 一 【详解】2x 3 的展开式共有7项，故A错误；x6r112x 的通项为 Tr 1 C；(2x)(1)r2 C6x6 ，xx令6- 3r = 0, r = 2,展开式中的常数项为(1)224C； 240,故B错误；令x 1,则展开式中各项系数之和为2 1 1 6 1,故C正确；612x 的展开式中的二项式系数N和为26 64，故D正确.x故选：CD .【点睛】本题考查二项式定理，属于基础题 *11.已知数列 an的首项为4,且满足2( n 1)an nan 10 n

12、N ，则()A.a为等差数列nB.an为递增数列C.n 1an的前n项和Sn (n 1) 24D.an2n1的前n项和Tn【分析】由2(nBD1)an nan 1亘2包，所以可知数列n 1 nan是等比数列，从而可求出n 1an n 2,可得数列an为递增数列,利用错位相减法可求得an的前n项和,由于n 1ann 22n 12n 1n ,从而利用等差数列的求和公式可求出数列aV的前 2n 1n项和.由 2(n 1)an nan 12包，所以nan是以亘1ai4为首项，2为公比的等比数列,A错误;an显然递增，故B正确;22 223 L2n 1 , 2Sn1 2324 L2 2n 2 ，所以Sn

13、12223 L2n 122 12nn 2n 2,故 Sn (n1) 2n2 4,故C错误；因为an2n 1n 2n2n 1故D正确.故选：BD卜的前n项和n!2本题考查等差数列、等比数列的综合应用，涉及到递推公式求通项，错位相减法求数列的和，等差数列前n项和等，考查学生的数学运算能力，是一道中档题212.已知抛物线C ： y 2px p 0的准线经过点M 1,1，过C的焦点F作两条互相垂直的直线l1，12,直线11与C交于A, B两点，直线l2与C交于D , E两点，则下列结论正确的是(A. p 2B.ABDE的最小值为16C.四边形 ADBE的面积的最小值为64D.若直线11的斜率为2,则A

14、MB 90【答案】ABD由准线的概念可得P ,设直线li的斜率为k k0得直线li的方程，与抛物线方程联立方程组消元后，应用韦达定理得x2, X”,由抛物线焦点弦长公式可得i”直线l2斜率为 一，同理可得 CD ,利用基本不等 k式可判断B,C，计算MAUULTMB ,代入xi x, xix2可判断D.由题可知1,所以P设直线li的斜率为k k 0 ,则直线l2的斜率为xi, yiX2,y2 ,D X3, y3,E m, y4 ,直线 li ： y k x.联立4xk(x,消去i)一一 2 2y整理得k x2k2x k2 0,所以xiX22k2 4k2xix2i .所以AB2k2 4同理从而因

15、为xix2DEABx3x4k2DEik2k2&g边形 ADBEi -AB2DE当且仅当ki时等号成立，故k24k2,i6 ,当且仅当C错误.i时等号成立,B正确.uuuv uuvMA MBxii, yiix2i,y2xx23,故选：ABD .ik2yy2i k2xi32x24代入上式,V1V2uuir ULUrMA MBViV2 i ,将0 ,所以 AMB 90，故D正确.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的焦点弦长，掌握抛物线的焦点弦长公式是解题关键.抛物线2 一、,A ，、 f ，、A fy 2px( p 0)的焦点弦 AB 的两端点为 A(xhy1)，B(x2,y2),则

16、 AB x x? p .三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共20分.21 -13.曲线y x -在点(1,2)处的切线万程为 .【答案】y x 11设 y f (x),则 f (x) 2x 所以 f (1) 2 1 1,x2 1所以曲线y x 在点(1,2)处的切线方程为y 2 1 (x 1),即y x 1 . x点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设P(%,yo)是曲线yf(x)上的一点，则以P为切点的切线方程是 y V。 f (%)(x %) .若曲线y f(x)3一，则 sin25在点P(x0, f(x0)处的切线平行于 y轴

17、(即导数不存在)时，由切线定义知，切线方程为x x0.14 .已知一 一,cos3 【答案】35【分析】由 5,得出22,所以 sin 2 sin 一 2,再利用诱导公式进行化简，即可得出答案【详解】解：由题可知,sin 2 sin 一 23cos 一5.3故答案为：3 .5【点睛】本题考查运用诱导公式进行化简求值，属于基础题15 .海南盛产各种名贵树木，如紫檀、黄花梨等.在实际测量单根原木材体积时，可以检量木材的实际长度(检尺长)和小头直径(检尺径)，再通过国家公布的原木材积表直接查询得到，原木材积表的部分数据如下所示：检尺径(cm)检尺长(m )2.02.22.42.52.6材积(m3 )

18、80.01300.01500.01600.01700.0180100.01900.02200.02400.02500.0260120.02700.03000.03300.03500.0370140.03600.04000 04500.04700.0490160.04700.05200.05800.06000.0630180.05900 06500.07200.07600.0790200.07200.08000.08800.09200.0970220.08600.09600.10600.11100.1160240.10200 11400.12500.13100.1370若小李购买了两根紫檀原木，

19、一根检尺长为根据上表，可知两根原木的材积之和为【答案】0.1112.5m，检尺径为20cm ,由图表找到对应的数据，直接求和即可0.019m3,检尺长为2.5m,检尺彳全为20cm【详解】根据图表，检尺长为2m,检尺径为10cm才积为的原木的材积为0.092m3,则材积之和为0.111m3.故答案为：0.111【点睛】此题考查了学生由统计表处理数据的能力，属于基础题16 .一个封闭的正方体容器的外接球的表面积为12 m2,则其棱长为 m；若该容器里面有 4m3的水，将该容器任意旋转，当容器里水面的高度最大时，水面对应的平面图形的周长为m .【答案】(1). 2(2). 62【分析】设该容器的外

20、接球的半径为R.由外接球的表面积，可求出R.又正方体的体对角线的长为其外接球的直径，可求其棱长.正方体容器旋转的新位置的最大高度为正方体的体对角线的长，故容器里的水面平行于水平面，且水面10& ,即求水面对应的平面图过正方体的体对角线的中点 .分析可得，水面对应的平面图形为正六边形，边长为形的周长.【详解】设该容器的外接球的半径为R.由题意，4 R2 12 ，. R弗.设正方体的棱长为 a又正方体的体对角线的长为为其外接球的直径，即,3a 2,3, a 2.正方体的体积为8,水的体积是正方体体积的一半.又正方体容器旋转的新位置的最大高度为正方体的体对角线的长， 容器里水面的最大高度为正方体的体

21、对角线长的一半，且容器里的水面平行于水平面设正方体为ABCD ABiCiDi, O为BDi中点.把点B放在水平面上，且 BD1垂直于水平面.分别取 AAi , CCi, ABi , B1C1 的中点 G , H , E 和 F .对应于中档题骤c, a:平面GEFH即为水面所在的位置可证BD1 EF , BD1 GE ,进而可证BD1平面GEFH ,的平面图形的周长为6 2.故答案为：2； 6丘.将平面GEFH延展，与正方体的各个面相交，可得水面对应勺空间想象能力证明过程或演为线段AC上一点，C【点睛】本题考查几何体的外接球及空间几何体的截面，考查四、解答题：本题共 6小题，共70分，解答应写

22、出文字期有下列条件:c 2；b 2点；a2 b2由ab c2.17.已知VABC的内角A，B, C的对边分别为a,请从以上三个条件中彳J选两个，求CBF的大小和VABF的面积.【答案】CBF ； VABF的面积为14【分析】2若选，则a c 2, b 2J3,根据余弦定理即可求出ABC ，结合等腰三角形的性质和三角形的311内角和得出A C 一,再根据正弦定理求出6CBF ,通过三角形内角和关系求得4ABF AFB，则AF AB2 ,最后利用三角形面积公式即可求出VABF的面积;若选,a 2，b 2*, a2 b2 73abc2 ,可求得c 2 ,根据余弦定理即可求出内角和得出AF ABA C

23、 ,再根据正弦定理求出62 ,最后利用三角形面积公式即可求出CBF ,通过三角形内角和关系求得4VABF的面积；ABF AFB，则若选，贝Ua c 2, a2b2、3ab c2,由余弦定理可求出C ,由a c ,结合等腰三角形的性6质和三角形的内角和得出A C由三角形内角和关系得出6ABC-2 、一C ，再根据正弦定理3求出 CBF 一,通过三角形内角和关系求得4ABFAFB，则 AF AB2 ,最后利用三角形面积公式即可求出 VABF的面积.（解法一）选，则 a c2, b 2曲,由余弦定理可得：cos ABC2.2c b2ac又 ABC 0,ABC A C 6在VBCF中，由正弦定理可得C

24、Fsin CBFBFsin CCF 72BF，： sin CBF又 CBF ABC2ABF 一3则在VABF中,CBF12AFB12612ABF AF AB 2,sin（解法二）选，:2, b 2百，2 b2 、3abc2，12由余弦定理可得：cosC2,22a b c2ab A C6ABC在VBCF中，由正弦定理可得CF2W，BFsin CBFsin CCF 72BF，： sin CBF又 CBF CBA2ABF 一3CBF12AFB12612则在VABF中,ABFAFBAFAB（解法三）则：a2sin选,由余弦定理可得:又C 0,ABC在VBCF中,.3abcosC2,b23abc2，b2

25、2ab由正弦定理可得CFBFsin CBFsin C, CF v5bf，sin CBF又 CBFCBAABFCBF12AFB1212则在VABF中,ABF AF AB 213C1八八.,&abf 2 2 sin 1.26【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形和三角形的面积公式，还涉及三角形的内角和以及等腰三角形的性质,考查运算能力.218.已知数列bn的前n项和为Sn,且Sn n n,在等比数列an中，abi,adbg.(i)求bn与&的通项公式;(2)若bn中去掉 a 的项后余下的项按原顺序组成数列Cn ,求Cn的前20项和.【答案】(1) an 2n； bn 2n (2) 588【

26、分析】S,n 1(1)利用bn求得数列bn的通项公式.由匕也 求得a1，a4,由此求出数列an的公比，进& 1,n 2而求得数列 an的通项公式.先判断出gC2L Qobib2Lb25&a?La5,结合等差数列前n项和公式以及等比数列前n项和公式，求得cn的前20项和.【详解】(1) - Sn n2 n ,当 n 2且 n N 时 bn Sn Sn 1 2n.又匕 S1 2也符合上式，bn 2n. a1 n 2, a4 b8 16,.等比数列 an的公比为2, n, , an 2 .（2）& 2 4-38, a4 16, a 32,b2550 , C1C2LC20bb2Lb254a2L 注_1

27、25S2522 L 21422 1 252525 1 2650 62 588.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式与前n项和，属于基础题.19.近几年，中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚,种植和销售红玫瑰和白玫瑰.该农户从去年的销售数据中随机抽取了红玫瑰10天的销量数据如下(单位：枝)615 575 625 590 600 600 570 615 580 630. )(1)求这10天红玫瑰销量的平均数;和方差s2;X 7(2)若这个大棚红玫瑰的日销量 X服从正态分布 N2可分别用(1)中的x和s2代替,2白玫瑰的日销量 Y服从正态分布

28、N 280,40,又已知红玫瑰的售价为2元/枝，白玫瑰的售价为4元/枝，预计今年哪种玫瑰的日销售额超过1280元的天数更多.【答案】(1) X 600, s2 400. (2)预计今年白玫瑰的日销售额超过1280元的天数更多(1)根据平均数和方差的计算公式，计算出平均数和方差2(2)由(1)求得X N 600,20,首先求得 X,Y的范围，然后根据正态分布的对称性以及3原理，判断出 P(X 640) P(Y 320).【详解】(1)由条件可知,一 1x (615 57510625590 600 600 570 615 580 630)600,212_ 2s 1525102522_22_2_21

29、00 0 30152030400.(2)由(1)可知X600,202若红玫瑰的日销售额超过1280元，贝IJ需X 640 600 2 20.若白玫瑰的日销售额超过1280元，贝IJ需Y 320 280 1 40.根据正态分布的特征可知P(X 640)P(Y 320),即白玫瑰的日销售额超过1280元的概率更大，故预计今年白玫瑰的日销售额超过1280元的天数更多.【点睛】本题考查样本的数字特征和正态分布，属于中档题1520.如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是菱形， BAP BAD 60 , E是棱BC的中点,uuiruuuAF 2FP .(1)证明：PC /平面DEF ;(2)设O

30、是线段 AB的中点，且 PO 平面ABCD ,求二面角F DE A的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)5而37【分析】(1)连接AC ,交DE于点G ,连接FG ,通过证明PC/FG ,证得PC/平面DEFA的余弦值(2)建立空间直角坐标系，通过平面DFE和平面AED的法向量，计算出二面角 F DE【详解】(1)如图，连接AC ,交DE于点G ,连接FG .AG AD易知AGDCGE ,所以、 2.GC EC,uurn uur AF o 由AF 2FP可信-2 ,FP所以 PC/FG .又FG 平面DEF , PC 平面DEF ,所以PC/平面DEF .(2)因为PO 平面ABCD,所以

31、PO AB,又O是线段 AB的中点，所以 PA PB .因为 BAP BAD 60，故ABP，4ABD均是等边三角形连接 OD ,易知 PO OD , OD AB.如图，以o为原点，OA，Ouu5 Ouu分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系不妨设 AB 2,则 A 1,0,0 , D 0,右,0 , P 0,0, 43 , B 1,0,0 , F ,0,基 33,uuur uuin由 AD BC , 得 C 273,0 ,16所以BC的中点Euuur,所以DE设平面DFE的一个法向量为urniXifuuuv DF uuuvuvni13X1,3yi 等 zi 0得方程组的一组解为X

32、iyiZiur,即niDE n1uu又平面 AED的一个法向量为 n20,0,i ,5 J37373. 3 c uuur 1 o 2 /3不，二Q DF 二，v3一丁2233所以二面角F DE A的余弦值为E37.37【点睛】本题考查线面位置关系及二面角的计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题2i.已知函数 f x xlnx ax a R .(i)讨论f x在i,上的单调性；3(2)当a i时，求F x f xcosx在 , 上的零点个数.2 2【答案】(i)当a I时，f x在i, 上单调递增；当a I时，f x在i,eai上单调递减，在ea i 上单调递增(2)有i个零点I7【分析】(1)求得f x的导函数f x ,对a分成a 1和a 1两种情况，分类讨论f x的单调性.(2)当a 1时,利用F x的二阶导数判断出一阶导数 F x的单调性，结合零点存在性定理求得零点，由此判断出F x的单调区间，再结合零点存在性定理，判断出F x在区间上的零点个数.(1)因为f xxln x ax,所以In x因为1,所以Inx 0.当a 1 时，f x0,所以x在1,上单调递增.当a 1时，令f xln xa 1,1,e 时,0