2017届惠州高三一模数学理试题及答案

1、2017届惠州市高三年级第一次调研考试2016.7数学（理科）、选择题：本大题共12小题，每小题5分。只有一项是符合题目要求的。1、已知 A 1,2,4,8,16 , B y|y 10g2x,x A,则 AI BA. 1,2B . 2,4,8C. 1,2,41,2,4,82、若复数z满足z（1i)|1.,2 1 C.2 123x 23、函数f(x)210g3(x1) x2 口 .2，右f1,则a的值是（A. 224、将函数y （sin x cosx）图象上各点横坐标伸长到原来的 2倍，再向左平移一个单包,22所得函数图象的解析式是A. yx cos2. y sin；33、)C . y sin(

2、2x ) D . y sin(2x )4445、已知圆（x 2）2(y2)2a截直线xy 2 0所得弦长为A. 86、执行如图的程序框图，则输出S的值为A. 27、设a0, b 0,若应是4a和2b的等比中项,1 一一 ，一 .1的最小值为（）bA. 2叵B . 88、某几何体的三视图如右图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，则该几何体的表面积为（A. 19cm2一2,22 4 cmC. 10 6亚 4 cm2D . 13 6后 42 cm6,则实数a的值为（D9、某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表:广告费用x （万兀）1245销售额y （万元）10263549根据上表可得回归方程$

3、$x $的$约等于9,据 此模型预报广告费用为6万元时, 销售额约为（.57万元A. 54万元 B . 55万元 C . 56万元 D10、已知三棱锥S ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形,AB2 , SA SB SC 2 ,.33211、双曲线M : xya2 y b21(a 0,b0）实轴的两个顶点为A,B ,点P为双曲线M上除A、B外的一个动点，若QAPA且 QBPB ,则动点Q的运动轨迹为A.圆椭圆 C .双曲线12、已知f（x）是定义在R上的且以2为周期的偶函数，当0 x1时,f(x) x2则三棱锥的外接球的球心到平面 ABC的距离是（3、32如果函数g（x） f （x） （

4、x m）有两个零点，则实数m的值为A. 2k(k Z)B . 2k或2k 1(k Z)4.、1.2k或2k (k Z)4、填空题：本大题共4小题，每小题5分。, r r 一 r , r .二.r13、已知|a| 4 , |b| 2 ,且a与b夹角为120 ,则（ar2b)r(ar b)=14、已知（、.X35的展开式中含x2的项的系数为30,y x15、设m 1,变量x,y在约束条件 y mx下, x y 1目标函数zx my的最大值为2,则m116、已知数列 anMbn 酒足 a1 2a bn 1,bn1bn-r(nN ),贝U b20171an三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算

5、步骤。17、（本小题满分12分）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 3cos(B C) 1 6cosBcosC.（I）求cosA的值；（H）若a 3, ABC的面积为2后，求b,c边长.18、(本小题满分12分)4月23日是世界读书日，惠州市某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动。为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查。下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图，且将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”.(n)将频率视为概率，现在从该校大量学生中用随机抽样

6、的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“读书迷”的人数为X ,若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列、数学期望E(X)和方差D(X).附：K2 (a b)(；(a：)(：C)c)(b dN a b c d打肥话)0. 1000.0500.0250 0100.0012 71： 63.841S. 0246 63510.82B19、(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD中，PC 底面ABCD,底面ABCD是 直角梯形，AB AD, AB/CD, AB 2AD 2CD 2, E 是 PB 上的点.(I )求证：平面 EAC，平面PBC ；若E是PB的中点，且二面角P AC E的余

7、弦值为李求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.20、(本小题满分12分)已知点A( 1,0) , B(1,0),直线AM与直线BM相交于点M , 直线AM与直线BM的斜率分别记为kAM与kBM ,且kAM Kbm2 .(I )求点M的轨迹C的方程；(H)过定点F(0,1)作直线PQ与曲线C交于P,Q两点，OPQ的面积是否存在最大值?若存在，求出 OPQ面积的最大值；若不存在，请说明理由.21、(本小题满分12分)已知函数f(x) lnx a(X 1)(a R). x，一一 ，、一一，111 ,、(I)求函数f(x)的单调区间；(H)求证： x (1,2),不等式 包成立.ln x x 1 2(

8、I )求证:B,E,F, N四点共圆;（n）求证：AC2 BF BM AB请考生在第22、23、24题中任选一题做答。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。22、（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲如图，AB是。的直径，弦CD与AB垂直，并与AB相交于点E ,点F为弦CD上异于点E的任意一点，连接BF、AF并延长交。0于点M , N .23、（本小题满分10分）选修4 4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（ 1,0）,其倾斜角为，以原点0为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线 C的极坐标方程为(I)若直线1与曲线C有公共

9、点，求的取值范围；(n)设M (x, y)为曲线C上任意一点，求x y的取值范围.24、(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设函数 f (x) | ax 1| .(I )若f (x) 2的解集为6,2,求实数a的值；(H)当a 2时，若存在x R,使得不等式f(2x 1) f (x 1) 7 3m成立,求实数m的取值范围.惠州市2017届高三第一次调研考试数 学(理科)参考答案与评分标准选择题：本大题共12小题，每小题5分题号123456789101112答案CAAABACCDACD1.C【解析】由已知可得 B (log 21,log22,log24,log28,log2l6 0,1,2

10、,3,4,所以 AI B 1,2,4,所以选C.2.【解析】由z(1 i) |1 i | i i ,得z史配伏1)邑 YL1i,则z的实部为包，故选A.1 i (1 i)(1 i) 222考点：复数的代数运算3 .【解析】若a 2,则由f(a) 1得,3a 2 1 ,a 2.此时不成立. 2右 a 2,则由 f(a) 1 得，log3(a 1) 1 , .a 2 ,故选 A.考点：函数的零点；函数的值.4 .【解析】将函数y ，(sinx cosx) sin(x 一)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，可得函数111.y sinx )的图象；再向左平移2个单包，所得函数图象的解析式为y si

11、n(-x -) cox,故选：A.考点：三角函数的图象变换.c2-2 2 2 L5【解析】圆(x 2)2 (y 2)2 a,圆心 2,2 ,半径石.故弦心距d 尸亚.再由弦长公、,2式可得a 2 9 11 ；故选B.考点：直线与圆的位置关系.6.【解析】k 1,s3;k 2,s11-；k 3,s -;k 4,s 2,以4作为一个周期，所以k 2016,s 2,故 23选A7.【解析】因为4a 2b 2 ,所以2a b 1 ,9.ba1当且仅当一a即a b 1时“二”成立，故选C. a b2考点：基本不等式；等比数列的性质.8【解析】几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，三棱柱的是一个底

12、面是腰为2的等腰直1 一一一一一 一角二角形，图是3,其底面积为：2 - 2 2 4,侧面积为：3 2723 2 6726；圆柱的底面半径21 .是1,图是3,其底面积为：2 - 1,侧面积为：33 ;2:组合体的表面积是 九+6夜+4+6+3兀=4兀+10+6应 故选C.12 4 59.【解析】Qx43,y10 26 35 49 30,中心点为 3,30 ,4代入回归方程得30 27 9x 3 x 6 时 $ 57考点：回归方程10.【解析】因为三棱锥S ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA SB SC 2,S在面ABC内的射影为AB中点H , SH 平面ABC , SH上任意一

13、点到A B,C的距离相等.MO ,则O为S ABC的外接球球心.QSH B CH 1 ,在面SHC内作SC的垂直平分线Q SC 2 , SM 1 , OSM 30 , SOC ,即为O到平面ABC的距离，故选A.3考点：球内接多面体；点到面的距离的计算.x211.【解析】设P(m,n),Q(x,y),双曲线M:三 a2 y b21,实轴的两个顶点A( a,0), B(a,0)QA ( x a, y), PA ( m a,n) v QAL PA a ny0 ,可得 m anyx a同理根据QBL PB,可得m a点P(m,n)为双曲线M上除A、B外的一个动点,2 m -2 a整理得 n2 by(

14、m2 a2)a2. 2 2x b y 2a a1故选：C.12.【解析】设1 xx 1, f( x)2 2n y2 n2x综上，f (x) x2 , x1,1 , f(x)2k 1,2k 1由于直线y x a的斜率为1,在y轴上的截距等于1a,在一个周期 1,1上，a 0时 满足条件，a -4f(x)的时，在此周期上直线和曲线相切，并和曲线在下一个区间上图象有一个交点，也满足条件.由于1.周期为2,故在定义域内，潴足条件的a应是2k 0或2k - , kZ,故选D.4二.填空题：本大题共4小题，每小题5分13. 1214.15.1J216.20172018r13【解析】Q ar4, b一 r

15、. r .2 ,且a与b夹角为120 ,r 216, bcos120r br4 , arrruur r r 22babaa b2b故答案为12.考点：1、平面向量模与夹角；2、平面向量的数量积.14.【解析】Tr1 C5(JX)5r( -ax)r, 23r 2,r 1 , C5( a) 30, a 615【解析】作出可行域如图所示，当直线1 m1考点：线性规划.三.：iymyz：my经过点B时，z后最大例,itO10.50.5所以m 1.5.1.61.41.21x 11 1 、bn 1 1 bn 1x+y=10.8点y=B的坐标为16.【解析】: anbnb)bn 1bn1 an2.4-0.6

16、10.8 bn 11 ,2b21.41.51bi 1是以一2为首项,1为公差的等差数列,1 nbn 1卷则瑞.故答案为:20172018考点：数列递推式.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（本小题满分12分）【解析】（I ）由3cos（B C） 16cosBcosC ,彳43(cosBcosC sin BsinC) 1r- _ -1即 cos(B C)-3在 ABC 内，cosAcos(BC)3(n) v 0 a,cosA1一, sin A 322，3由 Sabc 2 夜，得 :bcsinA 2衣，即 bc 66由余弦定理，得a2 b2 c2 2bccosA, 72_2_

17、9 (b c) 2bc(1 cos A) (b c) 16 ,b c 5bc 612考点：1、三角恒等变换；2余弦定理、；3、正弦定理的应用.18.（本小题满分12分）【解析】（I ） 2X2列联表如下:非读书迷读书迷合计男401555女202545合计6040100易知 Y 的观测值 k 100 (40 25 15 20)2 8.2494分60 40 55 45因为8.2496.635 ,所以有99%勺把握认为“读书迷”与性别有关5（R）由频率分布直方图可知从该校学生中任意抽取1名学生恰为“读书迷的概率为2、由题意可知X : B（3,）, X的所有可能取值为0,1,2,3,7分5P(X 0)

18、 c%3 2 2 2 336p(x 2) C32(-)2-诟 5 5 125P(X 1) C3(|)(|)2 纂5 5125P(X 3) C：(|)3 29分5125X0123P2712554125361258 125X的分布列为10E(X) 3 2 611分5 5 2218D(X) 32(12)-12分552519.（本小题满分12分）【解析】（I ）证明： PC 平面ABCD AC 平面ABCD AC PC ,AB 2, AD CD 1 ,AC BC 2n （x, y,z）为面EAC的法向量，则n CA n CE 0,y Qy az 0则 n (a, a, 2),os m, nm nm|n

19、a、a2 2于是 n (2, 2, 2)10pA设直线PA与平面EAC所成角为,则sincos PA, nAC2所以x2工2 BC2 AB2, AC BC2分又 BC PC C , PC 面 PBC , BC 面 PBC 3分AC 平面PBC，4分AC 平面EAC , 平面EAC 平面PBC 5分(n)以C为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则 C (0, 0, 0), A (1, 1,0), B (1, 1, 0)、一一 一.1 1a设 P (0, 0, a) (a 0),WJE (q,-, 2),，11a.八CA(1,1,0) , CP(0,0,a), CE(-, L), .6分取 m=(

20、1, 1,。), _ . .LT则m CP m CA 0 , m为面PAC的法向重12 2即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为 320.（本小题满分12分)【解析】（I ）设M x,y ,则 kMA, , k|MB所以（未写出范围扣一分）（n）由已知当直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程是y kx 1, 5联立22 y .x 12y kx 1,消去 y 得 k2 2 x2 2kx 1 0,因为设 P x,y1，Q X2,y2 ,x1x22k1k2 2, x1x2k2 2C19 L IS OPQ2 OF | |x1x22kx1 x24X x2, 2 2k 210当且仅当k 0时取等号,OPQ面

21、积的最大值为 巨.212考点：1、求曲线的方程;21.(本小题满分12分)2、椭圆的方程；3、利用基本不等式求最值.【解析】(I) f(x)的定义域为(0,), f/(x) Jax若 a 0, f/(x)0, “刈在(0,)上单调递增4k2 4 k2 28 k2 1 0 ,所以 k R,(0,a)时，f/(x) 0, f(x)在(0,a)单调递减.当x (a,)时,f/(x)0, f(x)在(a,)单调递增.(II) Q1 x 21ln x11 z菊2等价于(x1)ln x 2(x 1) 0令 F (x) (x 1)ln x2(x1),则 F，(x) ln x(x 1)12lnx xx1 时 fmin(x)f(1) 0,f(x) f (1),即 lnx1 1 010x所以F，(x) 0,则F(x)在(1,2)上单调递增，所以F(x) F(1) 0,一11112分即有1 x 2时1ln x x 1 2考点：导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值、最值及分类讨论、转化与化归的数学思想22.(本小题满分10分)【解析】证明 (I )连接BN ,则AN BN ,又CD AB,则 BEF BNF 900, .4分即BEF BNF 180,则B,