第五章 太阳幅射压引起之轨道误差

1、第四章擾動力深入探討4-1 空氣阻力擾動模式4-1-1 Jacchia-Roberts 空氣密度模式大氣層的結構相當複雜，從海平面到高空3000公里左右，隨著高度的增加，空氣密度會成指數遞減（氣候動力研究室，2003），如圖4-1所示。以大氣層的高層和低層相比較，高層的密度比低層小得多，而且愈高愈稀薄。假如把海平面的空氣密度比作1，則在240公里的高空，大氣密度只有海平面的一千萬分之一，到了1600公里，更只有海平面的一千萬億分之一。Height (unit : m)Density圖4-1：空氣密度隨高度呈指數遞減（氣候動力研究室，2003）常見的大氣層密度模式包括：Harris-Priest

2、er Density Model(Harris and Priester，1962)；(Long et al.，1989)、Jacchia 1971 Density Model (Jacchia，1971)、Jacchia-Roberts Density Model (Roberts，1971)、Jacchia 1977 Density Model (Jacchia，1977)、Jacchia-Gill Density Model (Gill，1996)、MSIS-86 Thermospheric Model (Hedin，1987)及Drag Temperature Model-DTM (B

3、arlier et al.，1978)等。本論文計算程式中使用Jacchia-Roberts空氣密度模式。空氣密度會隨高度變化，其基本元素等在大氣層中分佈情況也會隨地理位置而變，以80-100公里為界，在此界限以下的大氣成分，以氮和氧分子為主，100公里到1000公里上下，則以氧為主，再往上到2400公里左右時以氦為主，再往上層則以氫為主要體體。大氣中各組成元素含量不同，會造成空氣密度產生變化，此外，空氣密度亦取決於許多地球物理和天體物理參數，主要的影響因素包括：（1）太陽活動變化（2）地磁活動變化；（3）每日變化；（4）半年變化（Jacchia，1977）、(GSFC，1976)。 Jacc

4、hia-Roberts密度模式基於以下兩個假設（Montenbruck and Gill，2001）：l 假設在高空100公里以上的大氣層中，各氣體是均勻混合存在。l 假設在高空100公里以上的大氣層中，須計算N2、O2、O、Ar、H2、He等基本原素造成之空氣密度變化。計算的步驟可分為三部分（Montenbruck and Gill，2001）： l 由太陽活動資料、地磁活動資料、及每日的大氣變化求算出大氣溫度。l 已知大氣溫度，由Jacchia公式求算標準空氣密度l 計算太陽活動變化、地磁活動變化、每日變化及半年變化對空氣密度造成之影響。詳細說明如下（Montenbruck and Gil

5、l，2001）： I. 大氣層溫度在計算大氣溫度之前，必須先取得地磁活動資料及太陽通量資料。地磁活動資料是指計算當天第6.7時到第9.7時間此3小時內的地磁指數值Kp（geomagnetic index）；需要的太陽通量資料有二種，一是計算當天10.7公分波長的平均太陽通量（solar flux）及27天的平均太陽通量（以計算當天為中心，前後等距相加共27天）。由太陽通量、所造成之全球平均大氣層溫度每日變化值為（Montenbruck and Gill，2001）：(4-1)（4-1）式得到的全球平均大氣溫度是假設地磁活動為零，故若再加上地磁活動資料，計算而得之全球平均大氣層溫度為（GSFC，

6、1976）：(4-2)式中(4-3) (4-4) (4-5)其中，：衛星大地緯度：太陽赤緯(declination)H：太陽地方時角（local hour angel），為衛星赤經減太陽赤經所後之夾正確的全球平均大氣層溫度為（GSFC，1976）： （單位：絕對溫度）(4-6)其中為全球平均大氣層溫度之改正量，計算公式見下式：(4-7)II. 標準密度Jacchia密度模式在計算空氣密度時，以高度125公里為界限，分上下兩部分探討，由於一般衛星高皆高於125公里，故本論文中僅探討高度大於125公里時之標準密度。在計算大氣密度之前必須先計算衛星所在高度之大氣溫度（單位：絕對溫度）（GSFC，19

7、76）： (4-8)其中，Z：衛星之高度：全球平均大氣層密度，由式（4-6）計算而得(4-9)標準密度計算公式為（GSFC，1976）：(4-10)當高度不及500公里時，僅須考慮i到第五項，其中i等於1計算氮氣引起之空氣密度變化，i等於2計氬引起之空氣密度變化，i等於3計算氦氣引起之空氣密度變化，i等於4計算氧氣引起之空氣密度變化，i等於5計算氮氣引起之空氣密度變化：(4-11)而當高度大於500公里時，尚需考慮氫分子對大氣密度造成之影響(4-12)式中(4-13)(4-14)(4-15)(4-16)其中，R：世界氣體常數，該值為8.31432 Joules/。-mole ：地球半徑、：分別

8、代表分子質量、熱傳導係數及分子密度組成係數，i等於16，此三值列於表4-1中：定義於表4-2T(500)：由公式（4-8）計算而得A=6.02257*1023Gill（1996）推導出較簡單的標準密度計算公式（Montenbruck and Gill，2001）：(4-17)可適用於高度902500公里，大氣溫度範圍達5001900絕對溫度，Cij項係數見表4-3及表4-4 。表4-1：Jacchical-Roberts Model大氣主要組成成份及其相關常數(GSFC，1976)編號I成份(grams/mole)123456N2ArHeO2OH28.013439.9484.002631.99

9、8815.99941.007970.00.0-0.380000.781100.93432*10-20.61471*10-50.1617780.95544*10-1表4-2：Jacchia-Roberts Model高度125公里處大氣主要成份密度相關係數（GSFC，1976）J成份(i)1:N22:Ar3:He01234560.1093155*1020.1186783*10-2-0.1677341*10-50.1420228*10-8-0.7139785*10-120.1969715*10-15-0.2296182*10-190.8049405*100.2862822*10-2-0.33913

10、66*10-50.2909714*10-8-0.1481702*10-15-0.4837461*10-19-0.4837461*10-190.7646886*10-0.4383486*10-30.4694319*10-6-0.2894886*10-90.9451989*10-13-0.1270838*10-160J成份(i)4:O25:O01234560.9924237*100.1600311*10-2-0.2274761*10-50.1938454*10-8-0.9782183*10-120.2698450*10-15-0.3131808*10-190.0197083*1020.611874

11、2*10-4-0.1165003*10-60.9239354*10-10-0.3490739*10-130.5116298*10-170.0表4-3：500公里以下計算標準密度所需之係數（Montenbruck and Gill，2001）90公里<Z<180公里500K<<850Ki/j01234012345-0.3520856*102+0.1129210*104-0.1527475*105-0.2734394*106-0.2734394*106+0.3149696*106+0.3912622*100.1198158*104-0.3558481*105+0.36465

12、54*106-0.1576097*107+0.2487723*107-0.8649259*102+0.8633794*103+0.1899243*105-0.3290364*106+0.1685831*107-0.2899124*107+0.1504119*103-0.3577091*104+0.2508241*105-0.1209631*106-0.4282943*106+0.1111904*107-0.7109428*102+0.1970558*104-0.1968253*105+0.8438137*105-0.1345593*106+0.3294095*10490公里<Z<1

13、80公里850K<<1900Ki/j01234012345-5335412*102+0.1977533*104-0.2993620*105+0.2112068*106-0.7209722*106+0.9625966*106+0.2900557*102-0.7091478*103+0.5187286*104-0.4483029*104-0.7684101*105+0.2123127*106-0.2046439*102+0.4398538*103-0.1989795*104-0.1349971*105+0.1256236*106-0.2622793*106+0.7977149*10-0

14、.1568720*103+0.3643166*103+0.9510012*104-0.6805699*105+0.1337130*106-0.1335853*10+0.2615466*102-0.5700669*102-0.1653725*104+0.1181257*105-0.2329995*105180公里<Z<500公里500K<<850Ki/j01234012345+0.2311910*102-0.1057776*104+0.1177230*105-0.5827663*105+0.1254589*106-0.9452922*105+0.1355298*103+0

15、.6087979*103-0.3164132*105+0.2188167*106-0.5434710*106+0.4408026*106-0.8424310*103+0.8690566*104-0.1076323*104-0.2422912*106+0.8123016*106-0.7379410*106+0.1287331*104-0.1715922*105+0.6302629*105+0.2461286*106+0.5095273*106+0.5095273*106-0.6181209*103+0.9052671*104-0.4312459*105+0.6044096*105+0.50074

16、58*105-0.1154192*106180公里<Z<500公里850K<<1900Ki/j01234012345+0.4041761*102-0.8127720*103+0.5130043*104-0.1600170*105+0.2384718*105-0.1363104*105-0.1305719*103+0.2273565*104-0.1501308*105+0.4770469*105-0.7199064*105+0.4153499*105+0.1466809*103-0.2577261*104+0.1717142*105-0.5473492*105+0.828

17、4653*105-0.4793581*105-0.7120296*102+0.1259045*104-0.8441698*104+0.2699668*105-0.4098358*105+0.2377854*105+0.1269605*102-0.2254978*103+0.1518796*104-0.4870306*104+0.7411926*104-0.4310233*104表4-4：500公里以上計算標準密度所需之係數（Montenbruck and Gill，2001）500公里<Z<1000公里500K<<850Ki/j01234012345-0.1815722

18、*104+0.9851221*104-0.1822932*105+0.1298113*105-0.1533510*104-0.1263680*104+0.9792972*104-0.5397525*105+0.1002430*106-0.7113430*105+0.7815537*104+0.7265792*104-0.1831374*105+0.9993169*105-0.1784481*106+0.1106375*106+0.7037562*104-0.2092909*105+0.1385255*105-0.7259456*105+0.1145178*106-0.3825777*105-0

19、.4674636*105+0.2936094*105-0.3451234*104+0.1622553*105-0.1641934*105-0.1666915*105+0.3516949*105-0.1491676*105500公里<Z<1000公里850K<<1900Ki/j01234012345-0.4021335*102+0.4255789*103-0.1821662*104+0.3070231*104-0.2196848*104+0.5494959*103-0.1326983*103+0.3528126*103+0.7905357*103-0.2941540*10

20、4+0.2585118*104-0.6604225*103+0.3778864*103-0.2077888*104+0.3934271*104-0.3276639*104+0.1382776*104-0.3328077*103-0.2808660*103+0.1726543*104-0.3969334*104+0.4420217*104-0.2533006*104+0.6335703*103+0.6513531*102-0.4191477*103+0.1027991*104-0.1230778*104+0.7451387*103-0.1879812*1031000公里<Z<2500

21、公里500K<<850Ki/j01234012345+0.3548698*103-0.5370852*103-0.2349586*102+0.3407073*103-0.1698471*103+0.2497973*102-0.2508685*104+0.4182586*104-0.8941841*103-0.1531588*104+0.8985697*103-0.1389618*103+0.6252742*104-0.1151114*105+0.4417927*104+0.2179045*104-0.1704797*105+0.2820058*103-0.6755376*104+0

22、.1338915*105-0.6732817*104-0.8841341*103+0.1363098*104-0.2472862*103+0.2675763*104-0.5610580*104+0.3312608*104-0.1369769*103-0.3812417*103+0.7896439*1021000公里<Z<2500公里850K<<1900Ki/j01234012345+0.1281061*102+0.2024251*103-0.5750743*103+0.5106207*103-0.1898953*103+0.2569577*102-0.3389179*1

23、03+0.1668302*103+0.8259823*103-0.1032012*104+0.4347501*103-0.6282710*102+0.6861935*103-0.1147876*104+0.2329832*103+0.4851874*103-0.2986011*103+0.4971077*102-0.4667627*103+0.9918940*103-0.6503359*103+0.8214097*102+0.5423180*102-0.1404385*102+0.1029662*103-0.2430215*103+0.1997989*103-0.6527048*102+0.5

24、039459*10+0.8450500*100III. 其它密度變化量（McCarthy，1993）l 地磁影響（Geomagnetic）在高度200公里以下，須考慮地磁活動所產生的密度變化(4-18)l 半年變化(semi-annual)半年變化所產生的密度變化可以式（4-19）表示(4-19)其中，：計算高度為Z時密度變化幅度，可由（4-20）求得：時間變化，由（4-21）式計算(4-20)(4-21)式中，(4-22)(4-23)l 低大氣層之季節緯度變化此項變化值僅需於高度160公里以下之大氣層中改正，若高度高於160公里，可忽略不計。(4-24)其中，為大地緯度，同於式（4-23）l

25、 氦氣之季節緯度變化當高度低於500公里，或高度位於500公里到800公里之間，但大地緯度小於15度時，此項變化值略而不計，此值最大約為0.88。(4-25)其中，為衛星大地緯度，為太陽之赤緯，黃道傾角IV. Jacchia-Roberts Density (4-26)其中，為全球平均大氣層標準密度，由式（4-10）計算而得 (4-27)4-1-2 空氣阻力係數空氣阻力係數與衛星形狀、大氣分子等因素有關，要得到精確的空氣阻力係數，必須知道大氣分子與衛星本體之間動量的傳遞（Herrero，1988），而此項可由調和係數(accommodation coefficient，)表示。調和係數是指氣體

26、在碰撞間，動能改變之比例，可以下式表示（Cook，1965）： (4-28)其中，i為入射動能，r為反射動能，s為平均動能根據直接碰撞理論(Head-on collision)，（4-28）式可改寫為下式：(4-29)根據aule理論，（4-29）式可改寫下式：(4-30)其中為入射氣體分子質量與衛星表面分子質量之比率，不同氣體會有不同值，如氫為0.037，氦為0.148，氧氣為0.593（Afonso et.al, 1985）。 空氣阻力係數的計算公式可定義為 (GSFC，1976) ：(4-31)其中，F：作用於衛星的力：空氣密度V：衛星速度 A：衛星參考面積根據4-31式，Schambe

27、rg（1959）推出空氣阻力係數的簡化公式列於表4-5中（Cook，1965），空氣阻力係數計算公式，與衛星橫截面積之計算息息相關，表4-5之公式僅成立於垂直於衛星對大氣之相對速度方向之衛星橫截面積，其中，r與入射氣體及衛星本體間動能傳遞有關，。表4-5：空氣阻力係數計算公式（Cook，1965）衛星形狀空氣阻力係數公式平面球形圓柱大氣的成分因應高度不同，各氣體所佔的比例亦不同，以80100公里的高度為界，在此界限以下的大氣，以氮和氧分子為主，此為一般我們熟知之空氣；在此界限以上，到1000公里上下，則以氧為主，再往上到2400公里時，則以氦為止，再往上直到3000公里左右，則主要為氫。中華衛

28、星三號軌道高度約800公里，在此高度以氧為主要氣體，因此假定以氧之調和係數計算，本體為圓柱型，配以直接碰撞理論，可得衛星本體之空氣阻力係數2.178；太陽能板為平面，配以直接碰撞理論，可得太陽能板之空氣阻力係數為2.340。    4-1-3 衛星橫截面積華衛三號於空中運行時，永遠以衛星本體扁平面向軌道前進，如圖4-2所示。 衛星軌道衛星軌道圖4-2：衛星於軌道運行之側面圖大氣速度、衛星速度及衛星對大氣之相對速度三者間之關係可由（4-32）式表達：(4-32)三向量關係見圖4-3，為及之夾角，可由（4-33）式計算而得。(4-33)圓柱軸軌道運行方向圖4-3：衛星

29、本體與三速度向量關係圖衛星橫截面積是計算衛星全部表面積投影在與垂直面上之面積（Kabelac and Sehnal，2003），圖4-4是衛星本體圓形面橫截面積表示圖，由圖中可看出衛星本體之橫截面積為衛星本體表面積的，實際計算時，衛星橫截面積為衛星總表面積的cos倍。衛星軌道太陽能板太陽能板衛星本體衛星本體之橫截面積圖4-4：橫截面積表示因為，比較大氣速度及衛星速度，得知大氣速度遠小於衛星速度，因此，這代表大部份的衛星橫截面積是由衛星行進時面向軌道的面所組成，如圖4-5所示，故可簡化簡化計算，假設只有該面投影在與垂直面上之面積才是衛星之橫截面積，此時ROCSAT-3衛星橫截面積的計算方式為：l

30、 主體：圖環的截面積為（單位：平方公尺）l 單片太陽能板瞬間：，其中為太陽能板轉動的角度。長期：取軌道平均值，假設太陽能板轉換的角度固定為(2/)度，則其平均橫截面積為0.18公尺1.08公尺1公尺圖4-5：中華衛星三號橫截面積4-1-4 大氣速度向量在高空中可大致假設空氣會隨地球自轉而轉動，但仍有速度變化，依King-Hele and Walker（1993）之研究，在150700公里之間，空氣角速度為：(4-34)其中為地球自轉平均角速度，此值約等於，h為氣體子離地表之高度，而大氣速度在慣性坐標系中則為： (4-35)其中（x，y）為衛星慣性坐標 4-2 太陽幅射壓擾動模式4-2-1地球陰

31、影函數衛星在高空中運行時，並不是任何時刻都會完全接收到太陽照射，衛星可能受到地球或月球的遮蔽而位於半影區或全影區，本論文計算時採用圓錐形陰影模式，如圖4-6所示，衛星座落之區域可以陰影函數(Shadow function)表達，當衛星位於全影區 ；衛星位於太陽完全照射區時；衛星位於半影區時。圖4-7表達衛星、太陽與遮掩體關係，由此說明陰影函數計算，其中A、B分別為太陽及遮掩體質心，M為衛星，由圖中可知被掩蓋的面積CFCD為ACFC加上ACDC， 陰影函數所計算的是未被遮掩的面積佔全部太陽面積的比例。s太陽地球ae半影區半影區全影區衛星完全照射區完全照射區圖4-6：圓錐形陰影模式(Montenb

32、ruck and Gill,2001) 遮掩體衛星太陽bac圖4-7：太陽與遮掩體關係圖(Montenbruck and Gill,2001)令，及為遮掩體半徑，本論文中假設遮掩體為地球，及同為太陽半徑，在AMD中，距離可以AMD表示：(4-36)在BMF中，距離可以BMF表示：(4-37)在AMB中，距離可以AMD表示，利用餘弦定理得：(4-38)其中，Rs及ae為太陽及地球之半徑，為太陽及衛星之慣性坐標位罝向量，由（4-36），（4-37）及（4-38）式可組成ABC之三邊長，當時，太陽質心與地球質心之間的距離小於太陽半徑加地球半徑，ABC無法組成，對衛星而言，此時代表太陽與地球間無重疊部

33、份，此時衛星位於太陽完全照射區；當時，太陽質心與地球質心之間的距離小於太陽半徑與地球半徑之差值，代表太陽必定完全在地球的遮掩之下，此時衛星位於全影區；最後一種案例是 ，此時衛星位於半影區，須計算未被遮掩的部份佔太陽全部面積的比例以求得陰影函數：(4-39)(4-40)其中A為被遮掩的面積。假設、，則可推導得下式：(4-41)由ABC中可推得：；(4-42)故陰影函數的計算公式可綜寫為 （Montenbruck and Gill，2001）：(4-43)4-2-2 太陽通量10.7 cm solar flux (unit:10-22 W/m2/Hz)歷史上第一個觀測太陽通量的是加拿大的Arthu

34、r Covington，他利用二次大戰剩下的雷射架設電射望遠鏡，使用2800MHz的無線電頻率（波長為10.7公分）觀測木星、銀河、北極光、太陽等。在觀測的過程中，Covington發現太陽的觀測數據變化相當大，經過一連串的分析比較，確定此觀測量是反應太陽黑子的活動情況。此觀測值被命名為：10.7公分太陽通量（10.7cm solar flux），在每天17:00UTC由渥太華的雷射天文望遠鏡觀測記錄，太陽通量值通常介於70300之間，圖4-8記錄從1946年到2000年之間的變化，共有5個波峰，最高到最低的波動周期是11年，此即為太陽黑子的活動周期（DRAO，2003）。Time (unit

35、:Year)圖4-8：10.7 公分太陽通量每月平均值（DRAO，2003）4-2-3 幅射壓係數幅射壓係數(Cr)可表為，其中為衛星的反射率，與衛星構造元素有關，當入射能完全反射時，入射能完全吸收時，一般反射的情況介於01之間。Motenbruck and Gill（2001）將衛星本體分為三個部份：太陽能源板、天線及衛星本體，定義出反射率及幅射壓係數見表4-6。表4-6：衛星結構與幅射壓係數（Motenbruck and Gill，2001）衛星結構反射率（）幅射壓係數()太陽能源板0.211.21天線0.301.30衛星本體（鋁材質）0.881.884-3 海潮擾動模式4-3-1 海潮擾

36、動模式公式推導在不考慮負載的情況下，海潮引起地球位之變化為：(4-44)其中G為牛頓萬有引力常數，s為衛星與潮汐元素的距離，dm為潮汐元素引起之質量變化，計算方法見圖4-9(4-45)(4-46)則(4-47)haes衛星 M地球r放大ae面積dr質量dmh密度圖4-9：海潮引力位計算示意圖其中，：為海水密度ae：為地球平均半徑：海潮經緯度h：潮高，與函數有關，t為世界時(GMT)由Bettadpur及Eanes（1994）可將潮高以球諧函數展開為：(4-48)其中，s、n、m：為海潮種類與球諧展開的階數與次數：海潮幅角（argument）：Schwiderski（1983）振幅表示，為海潮之

37、相位(phase)，為一固定常數，與海潮振幅有關，的計算見表4-7（McCarthy，1992）。表4-7：長期潮、整日潮及半日潮之值（McCarthy，1996）潮汐Hs > 0Hs < 0長期潮整日潮半日潮/200-/2將（4-48）式展開：(4-49)令(4-50)將（4-50）式代回（4-49）式得：（4-51）合併整理後：(4-52)由McCarthy（1992）得知：(4-53)其中，為海潮係數，將（4-53）式展開：(4-54)比較（4-54）等式前後項：(4-55)將（4-55）代回（4-52）後可將（4-52）式改寫為：(4-56)令(4-57)再考慮負載(plu

38、s loading)之影響，則潮高之球諧函數表示式為(4-58)其中（Loading Love number）負載變形係數。此外，衛星與潮汐質量元素間距離s的倒數可以球諧函數展開表示如下（Heiskanen and Moritz，1967）：(4-59)其中為衛星經緯度坐標，將（4-58）及（4-59）式代回（4-47）式，則可將引潮力位以球諧函數型式展開為：(4-60)利用正交性質（Heiskanen and Moritz，1967）將（4-60）式展開(4-61)（4-61）式整理成地位引力位型式(4-62) 須將（4-61）轉換為：(4-63)比較（4-62）及（4-63）式：(4-64

39、)海潮係數須進行正規化(Normalized)處理：(4-65)(4-66)最後將n，m分開寫為(4-67)此即為（3-17）式之推導過程4-3-2 海潮幅角與幅角數在潮高計算中，須知海潮之幅角(argument，) （cCarthy，1992）(4-68)其中含六個Doodson number，在海潮模式中，該向量可表示成海潮之幅角數以之作為各分潮之命名。幅角數為連續的六個數字，表示為（郭俊義，2001）：(4-69)含六個天文角，分別為（cCarthy，1992）：(4-70)其中，為月亮之平異常角(mean anomaly of the moon)(4-71)為太陽之平異常角(mean

40、anomaly of the sun)(4-72)為月亮升交點之平黃經(mean longitude of the ascending node of moon)(4-73)(4-74)(4-75) 在（4-71）到（4-75）式中，1r=360，t為儒略世紀數，採用J2000.0時間系統。(4-76)其中，J2000.0為西元2000年1月1日中午之儒略日，TDB為太陽動力時。4-3-3 CSR3.0海潮模式本論文計算海潮擾動力時是採用CSR3.0海潮模式，此模式是利用TOPEX/POSEIDON 衛星89個週期（2.4年）的測高資料計算而得（Eanes，1996），由德州大學Center for Space Research （CSR）建構，Eanes, R.及S.Bettadpur製作。在CSR3.0中，考慮233種分潮效應，最高考慮階數為30乘30，由於有些分潮的高階項影響