统计学第七章

1、第七章 平均数差异的显著性检验教 学 目 的掌握：1.相关样本的检验方法；2.独立样本的检验方法；3.总体方差为齐性条件下的各种检验方法；4.总体方差非齐性条件下的各种检验方法；5.方差齐性检验的方法。第一节 平均数差异检验的基本原理一、平均数差异检验的逻辑原理 双样本检验原理与单样本相同，即考察在以中心的抽样分布上出现概率的大小。若在其抽样分布上出现的概率较大（P0.05），则保留零假设HO，则两个总体平均数与无显著性差异；若在其抽样分布上出现的概率小于事先规定的水平，则拒绝HO而接受H1即与有显著性差异。二、平均数之差的标准误平均数之差的标准误是进行检验的重要指标，要进行检验要先求（的标准

2、误的估计量）。即：两个变量之差的平均数等于两个变量平均数之差。 因此，要求的标准误，关键是求D变量的总体标准差，欲求D变量的总体标准差；先求D变量的样本方差。D的离差：D的离差平方和： D的样本方差： 当r=0时： ：此处与教材（107页）略有不同。第二节相关样本平均数差异的显著性检验相关样本：两个样本内的个体存在着一一对应关系，数据是成对出现的。两种常见的相关样本形式：同一组被试先后两次测试结果；匹配组情况。一、相关大样本两总体为正态分布，两样本为相关样本，虽然总体未知，但n30时，可用Z检验（也可用t检验）。【例1】：某校将100名学生按匹配原则配成50对，将每对学生随机分入实验班和对照班

3、。实验班按新教学方法施教，对照班按传统教学方法施教。一学期后用同一套试题测验，实验班的平均分为82，标准差为6分；对照班的平均分为80.5，标准差为7分，两班成绩的相关系数为 0.70，问实验班的成绩与对照班的成绩有无显著性差异？检验： 假定两总体为正态分布，未知，两样本为相关样本，且n =5030，故采用Z检验。 3、确定检验形式没有资料说明新方法是否优于传统方法，故采用双侧检验。4、统计决断|Z|= 2.05*1.96=Z 0.05 P0.05因此，在0.05 水平上拒绝零假设，接受备择假设。结论为实验班的成绩显著高于对照班的成绩。【例2】： 32人的射击小组经过三天集中训练，训练后与训练

4、前测验分数已知（参看教材111页表7.2所示），问三天集中训练有无显著效果？检验：用D计算3、确定检验形式由于过去的资料表明三天射击训练有效果，即训练后射击得分的总体平均数与训练前射击得分的总体平均数之差大于零，故采用右侧检验。4、统计决断根据单侧Z检验统计决断规则，本例Z0.05=1.652.057*2.33=Z0.01，则0.01P0.05，于是在职0.05显著性水平上拒绝Ho而接受H1 。结论为：三天射击训练有显著效果。二、相关小样本的检验总体为正态，总体未知，相关样本，n30时，必须采用t检验。【例1】：某教师设计了一种开发学生智力的训练方法，并对15名学生进行了为期一个月的训练。在训

5、练前后分别用智力量表进行了智力测量。训练前的平均智商为 103，标准差为12；训练后的平均智商为105，标准差为13，两次测量的相关系数为0.65。试问该教师的训练方法是否显著地提高了学生的智力？检验： 假定两总体为正态，未知，两样本为相关样本，且n =1530，故采用t检验。3、确定检验形式：因题中问是否提高了学生的智商，故采用左侧检验。4、统计决断|t|=0.711.76=t(14)0.05 （单侧临界值）P0.05因此，在0.05水平保留零假设，拒绝备择假设。结论为该教师的训练方法对提高学生智力效果不显著。【例2】： 为了揭示小学二年级的两种识字教学法是否有显著性差异，根据学生的智力水平

6、、努力程度、识字量多少、家庭辅导力量等条件基本相同的原则，将学生配成10对，然后把每对学生随机地分入实验组和对照组。实验组施以分散识字教学法，对照组施以集中识字教学法，后期统一测验结果如教材108页表7.1。检验：用观察值的差数D表示在这里D表示观察值的差数，n表示差数的个数计算t值：3、确定检验形式没有资料可以说明两种教学方法哪一种效果好，故采用双侧检验。4、统计决断根据自由度df =n-1=10-1=9，得 t（9）0.05=2.262, t（9）0.01=3.250实际计算出来的| t |=3.456*3.250= t（9）0.01，则P0.01，根据检验统计决断规则，在0.01显著性水

7、平上拒绝H0,而接受H1。其结论为：小学分散识字与集中识字教学法有极其显著性差异。分散识字教学法的平均分数高于集中识字教学法的平均分数，即，所以分散识字教学法优于集中识字教学法。当r未知时可通过逐对计算差数D，再计算标准误：第三节独立样本平均数差异的显著性检验一、独立大样本条件下的检验当两总体为正态分布，未知，两样本为独立样本，n1和n2都大于30时，可用Z检验方法检验。标准误用：或【例1】：某校初二年级的数学考试中，150名女生的平均分为82分，标准差为12分，160名男生的平均分为83.5分，标差为11.8分，问初二年级男女生的数学成绩有无显著性差异？检验：假定总体为正态分布，未知，独立大

8、样本，故采用Z检验3、确定检验形式过去无资料表明男女生的数学成绩有差异，故采用双侧检验。4、统计决断|Z|=1.111.96=Z0.05 P0.05因此，在0.05水平上保留零假设，拒绝备择假设。结论为男女生的数学成绩无显著性差异。二、独立小样条件下检验n1、n2都小于30，或有一个小于30时的独立样本为独立小样。对独立小样进行检验时，要考虑总体方差是否为齐性。 （假定两个总体方差为齐性）我们用两个样本的离差平方和之和比上两个样本自由度之和，作为的最佳估计量（用S2表示），S2称作汇合方差。标准误的估计量：注：独立小样本，方差为齐性，用t检验。思考与练习：当时，【例1】：在一次数学竞赛中，A校

9、10名参赛者的平均分为78分，标准差为10分，B校12名参赛者的平均分为76分，标准差为11分（假定两总体方差为齐性），问A、B两校的成绩有无显著性差异？检验：两总体为正态分布，两总体方差为齐性，两样本为独立小样本，故采用t检验。3、确定检验形式过去无资料说明两校成绩有差异，故采用双侧检验。4、统计法断|t|=0.412.09=t（20）0.05 P0.05因此，在0.05水平上保留零假设，拒绝备择假设。结论为A、B两校成绩无显著性差异。【例2】：从高二年级随机抽取两个小组，在化学教学中实验组采用启发探究法，对照组采用传统讲授法，后期统一测验结果（教材117页表7.4所示），问两种教学法是否有

10、显著性差异？（已有经验：启发式优于讲授法） 检验：两组化学测验分数假定是从两个正态总体随机抽出的独立样本，而两个相应总体标准差为未知，经方差齐性检验两个总体方差相等，两个样本容量都小于30，其样本平均数之差与相应总体平均数之差的离差统计量呈t分布，故应当采用t检验。 3、确定检验形式4、统计决断根据自由度df=n1+n2-2=10+9-2=17，得t(17)0.01=2.567，t(17)0.005=2.898实际计算出|t|=2.835，t(17)0.01=2.5672.835*2.898=t(17)0.005，则0.005P3.090 = t0.01，则P7.49=F（17,6）0.01，则P0.01，于是在0.01显著性水平上拒绝Ho而接受H1。结论为：走读生与住宿生自学能力得分的方差不齐性，并有极其显著性差异。三、两个相关样本的方差齐性检验对两个相关样本检验时，需要用t检验，而不能用F检验。【例如】：用A、B两卷对36名学生的测验结果，其A卷的样本标准差，B卷的样本标准差，A、B两卷的相关系数=0.40，问A、B两试卷的方差是否齐性？检验:由于两组分数是用A、B卷对同一批学生的测验