2017-2018学年高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2间接证明

1、2. 2.2 间接证明入门蓉科入门蓉科1 问题：在今天商品大战中，广告成了电视节目中的一道美丽的风景线，几乎所有的 广告商都熟谙这样的命题变换艺术.如宣传某种食品， 其广告词为： “拥有的人们都幸福，幸福的人们都拥有”.该广告词实际说明了什么？提示：说的是：“不拥有的人们不幸福”.2.已知正整数a,b,c满足a2+b2=c2.求证：a,b,c不可能都是奇数.问题 1：你能利用综合法和分析法给出证明吗？提示：不能.问题 2：a、b、c不可能都是奇数的反面是什么？还满足条件a2+b2=c2吗？2 2 2提示：都是奇数.若a、b、c都是奇数，则不能满足条件a+b=c.1. 间接证明不是直接从原命题的

2、条件逐步推得命题成立，这种不是直接证明的方法通常称为间接证明反证法就是一种常用的间接证明方法，间接证明还有同一法、枚举法 _2. 反证法（1）反证法证明过程反证法证明时，要从否定结论开始, 经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定（即肯定原命题），用反证法证明命题“若p则 q”的过程可以用下面的框图表示：（2）反证法证明命题“若p则q”的步骤1假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真.2归谬一一从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果.3存真一一由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立.归纳归纳升华升华麵悟麵悟、1.反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到

3、肯定命题的结论，完成命题的论 证的一种数学证明方法.2.可能出现矛盾的四种情况：（1）与题设矛盾；（2）与反设矛盾；（3）与公理、定理被证明了的结论矛盾；（4）在证明过程中，推出自相矛盾的结论.崙爲疋羔粗主它-字山点軌通对应学生用书P30思路点拨本题证明的命题是否定性命题，解答时先假设四个三角形都是锐角三角 形，再分情况去推出矛盾.精解详析假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，记这四个点为A、B(1) 如果点D在厶ABC之内(如图(1)，根据假设围绕点D的三个角都是锐角，其和小于270,这与一个周角等于360。矛盾.(2) 如果点D在厶ABC之外(如图(2)，根据假设/AZB,ZC/D

4、都小于 90,这 和四边形内角之和等于 360矛盾.综上所述.原结论成立.一点通(1)结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题 称为否定性命题，此类问题正面比较模糊，而反面比较具体，适于应用反证法.(2)反证法属于逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯 定”，其中：第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了 假设”.反证法属“间接解题方法”.1 .实数a、b、c不全为 0 等价于_(填序号).a,b,c全不为 0;a,b,c中最多只有一个为0:a,b,c中只有一个不为0;4a,b,c中至少有一个不为 0.解析：“不全为 0

5、”等价于“至少有一个不为0”.答案：用反证法证明否定性命题EEM1B A例 1已知平面上四点，没有三点共线，求证：以每三点为顶点的三角形不可能都是 锐角三角形.C D,考虑ABC点D的位置分为在ABC之内或之外两种情况.2.如图，正方体ABCBABCD中，点M是AD的中点，点N是CD的中点，用反证法证3明直线BM与直线AN是两条异面直线.解：假设直线BM与AN共面.则AD?平面ABND,且平面ABNDA平面ABCIBN由正方体特征知AD/平面ABCD故AD/BN又AiD/BC所以BIN/ BC这与BND BC= B矛盾，故假设不成立.所以直线BM与直线AN是两条异面直线.3已知三个正数a,b,

6、c成等比数列，但不成等差数列，求证：.a, b,. c不成等 差数列.证明：假设，a,b,c成等差数列，则a+c= 2b即a+c+2 _ ac= 4b,而b2=ac,即卩b=ac,.a+c+ 2ac= 4ac,所以（a叮c）2= 0.即a= ,c,从而a=b=c,与a,b,c不成等差数列矛盾，故，a,b,c不成等差数列.EXBI1用反证法证明惟一性命题例 2求证：两条相交直线有且只有一个交点.思路点拨“有且只有一个”的否定分两种情况：“至少有两个”、“一个也没有”.精解详析 假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不只有一个交点.若直线a,b无交点，则a/b或a,b是异面直线，与已知矛盾.若直线

7、a,b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B,这样同时经过点A, B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾.综上所述，两条相交直线有且只有一个交占八、一点通证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题， 即存在性和惟一性. 当证明结论以“有且只有”“只有一个”“惟一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其惟一性就较为简单明了.44证明方程 2x= 3 有且仅有一个根.证明：T2= 3,.x= log23，这说明方程有一个根.下面用反证法证明方程 2x= 3 的根是惟一的，假设方程 2x= 3 有两个根bi、bbiMb2), 则 2bi= 3,2b2=

8、3.两式相除得：2bib2= 1.如果bib20,贝U2bib2l，这与 2bib2= 1 相矛盾.如果bib20,贝U2bib21.求证：a,b,c,d中至少有一个是负数.思路点拨 本题要证a、b、c、d中至少有一个是负数， 具体有一个负数？两个负数？ 三个负数？还是四个负数？都有可能，谁是负数也都有可能. 所以正面证明很复杂，可考虑用反证法.精解详析假设a、b、c、d都不是负数，即a0,b0,O0,d0./a+b=c+d= 1,b= 1 a0,d= 1 c0. ac+bd=ac+ (1 a)(1 c) = 2ac (a+c) + 15=(aca) + (acc) + 1 =a(c- 1)

9、+c(a-1) + 1.a(c1)w0,c(a1)w0.a(c1)+c(a1)+1w1,即ac+bdw1.与ac+bd1 相矛盾.假设不成立a、b、c、d中至少有一个是负数.一点通(1)对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时, 常用反证法.(2)常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个反设词一个也没有(不存在)至少有两个至多有n 1 个至少有n+ 1 个(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a不能都大于 扌证明：假设(1 a)b, (1 b)c,a,b,c (0,1),-1 a 0,1 b 0,1 c 0,+a1 2.

10、三式相加，得 -2+b+1b+c+12+a3即 23，矛盾.1所以(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a不能都大于 才7.用反证法证明：若函数f(x)在区间a,b上是增函数，那么方程f(x) = 0 在区间a,b上至多只有一个实数根.6.已知a,b,c (0,1)，求证:1(1 c)a都大于 4.同理1 14= 2.1a+ba b6证明：假设方程f(x) = 0 在区间a,b上至少有两个根，7设a,3为其中的两个实根. 因为a3，不妨设a3 ,又因为函数f(x)在区间a,b上是增函数，所以f(a)f(3).这与f(a) = 0=f(3)矛盾.所以方程f(x) = 0 在区间a,b上至多只

11、有一个实根.方法方法规律规律小结】小结】一一1反证法证明的适用情形(1) 一些基本命题、基本定理；(2) 易导出与已知矛盾的命题；(3) “否定性”命题；(4) “惟一性”命题；(5) “必然性”命题；(6) “至多”“至少”类命题；涉及“无限”结论的命题.2用反证法证明问题应注意以下三点(1) 必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必然罗列出各 种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2) 反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条 件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3) 推导出的矛盾可能多

12、种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾 等，推导出的矛盾必须是明显的.丨、”1一、填空题1 +b1 +a1. 命题“，中至多有一个小于 2”的反设为a b1 +b1 +a答案：匚，亍都小于 232. (山东高考改编)用反证法证明命题“设a,b为实数，则方程x+ax+b= 0 至少有应益.卫燧辽紅上乡在轨羔矣庇对应学生用书 P328一个实根”时，要做的假设是 _ .解析：至少有一个实根的否定是没有实根.答案：方程x3+ax+b= 0 没有实根1.用反证法证明命题“若a1 2+b2= 0，则 a,b全为 0（a、b为实数）”，其反设为解析：a,b全为 0”即是“a= 0 且b= 0

13、”，因此它的反设为“a0或b*0”. 答案：a,b不全为 04.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：1/冊/B+ZC= 90+ 90+/ 0180,这与三角形内角和为 180矛盾，故假设 错误.2所以一个三角形不能有两个直角.3假设ABC中有两个直角，不妨设ZA= 90,/B= 90.上述步骤的正确顺序为 _ .解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为答案：5 .用反证法证明命题“若x2 （a+b）x+ab* 0,贝Ux*a且x丰b”时，应假设为解析：对“且”的否定应为“或”， 所以“x*a且x*b”的否定应为“x=a或x=b”.答案：x=a或x=b、解答题6.（陕西高考）

14、设an是公比为q的等比数列.推导an的前n项和公式；设q* 1,证明数列an+1不是等比数列. 解：设an的前n项和为S,当q= 1 时，$=a+a1+a1=na；2n1当q* 1 时，$=a+ag+aq+aq，qS=ag+ag2+ +agn，一得，（1 q）S=a1aqn,1 q1 q9na1,q=1,-S= ia1 q证明：假设an+ 1是等比数列，则对任意的2(ak+1+ 1) = (ak+1)(ak+2+ 1),2ak+1+ 2ak+1+1 =akak+2+ak+ak+2+ 1,2 2kkk-1k+1k-1k+1aq+ 2a1q=agag+aq+aq,k k-1k+1/a1丰0,. 2q=q+q.2Tqz0,二q- 2q+ 1 = 0, q= 1,这与已知矛盾.假设不成立，故an+ 1不是等比数列.27.设f(x) =x+ax+b,求证：|f(l)| , |f(2)|1 1 1证明：假设 |f(1)| 2，|f(2)| 2，|f(3)| 2,-111 +a+b2,1 1 -29+3a+b2.3 4.-字 3a+b-17由、得一 4a 2，由、得一 6a 4.4、显然相互矛盾，所以假设不成立，所以原命题正确.&已知P?直线a.求证：过点P和直线a平行