数学建模竞赛习题

1、第一题：解：问题分析与模型建立：用表示各位经理人的人寿保险额，用表示各位经理人的平均收入，由题目可以得到，经理的年收入和人寿保险额之间存在着二次关系，可以通过画对的散点图进行验证。用表示各位经理人的风险偏好度，它的数值越大，就越偏爱高风险。现在画出对和的散点图，观察各自的变化趋势，进行验证与趋势变化分析。图1 人寿保险额与平均收入的关系图2 人寿保险额与风险偏好度的关系观察图1，随着的增加，也有明显的线性增长趋势，可以建立线性模型观察图2，随的增加，也随之增大，且向上弯曲趋势增长，可以建立二次函数模型：将上面两点进行结合，建立一个中体的回归模型如下：以上各式中，叫做回归系数，叫做影响的主要因素

2、，主要因素是人能够进行控制的，同时还受到各种因素的影响，这些是人没有办法进行控制的，称为随机误差，记作。随机误差可以被看作是一个随机变量，在模型选择合适的情况下，大致服从均值为零的正态分布。所以，模型可以完整的记做：对回归系数是线性的，满足线性回归条件，所以建立线性回归模型。模型求解：在matlab中用命令regress解决线性回归问题。使用格式如下：b,bint,r,rint,stats=regress(y',x);其中，b为回归系数的估计值；bint是b各项的显著水平为的置信区间；stats是检验回归模型的统计量。其计算结果如下：b = -113.9272 4.4587 -6.74

3、32 1.1390bint = -153.5452 -74.3091 4.0434 4.8739 -16.6588 3.1723 0.2101 2.0678stats = 0.9920 580.5290 0.0000 61.5420画出的残差图如下：对数据整理如下：回归系数回归系数估计值回归系数置信区间-113.9272-153.5452 -74.30914.45874.0434 4.8739-6.7432 -16.6588 3.17231.13900.2101 2.06780.9920580.52900.0000表1 回归模型数据整理所以回归模型结果为：结果分析：由上表可以看出，=0.992

4、0指因变量（人寿保险额）的99.20%可以由模型确定；=580.5290远远大于检验的临界值；=0.0000远小于=0.05；综上，所建立的模型大致可以反映实际情况。回归系数的置信区间只有的自置信区间包含零点，表明回归变量对因变量的贡献是不显著的；而的置信区间不包含零点，表明回归变量对因变量的贡献是显著的，所以可以将仍保留在模型内，故得模型为：现我们可以认定题目中的假设是成立的，即经理的年收入和人寿保险额之间存在着二次关系，并有把握的认为风险偏好度对人寿保险额有线性效应。模型的改进与分析求解：（1） 假设风险偏好度（）对人寿保险额（）是否有二次效应，将原模型可以修改为： 进行模型求解，输出结果

5、如下：b = -60.8513 0.9230 4.4829 0.0360 0.1138bint = -72.5979 -49.1048 0.4293 1.4168 1.7085 7.2573 0.0310 0.0409 -0.1441 0.3717stats = 1.0e+003 *0.0010 8.2055 0 0.0033将stats中数据转化为长型：stats=0.9996 8205.5 0 3.2905画出的残差图如下：数据整理如下：回归系数回归系数估计回归系数置信区间-60.8513-72.5979 -49.10480.92300.4293 1.41684.48291.7085 7.

6、25730.03600.0310 0.04090.1138-0.1441 0.37170.999682050.0000表2 模型改进（1）数据整理由上表可以看出，=0.9996指因变量（人寿保险额）的99.96%可以由模型确定；=8205远远大于检验的临界值；=0.0000远小于=0.05；综上，所建立的模型大致可以反映实际情况。回归系数的置信区间只有的自置信区间包含零点，表明回归变量对因变量的贡献是不显著的；而的置信区间不包含零点，表明回归变量对因变量的贡献是显著的。相对而言，比显著，所以可以剔除求回归方程。进而说明风险偏好度对人寿保险额的二次效应不显著。所以的回归方程为：（2） 假设年平均

7、收入（）和风险偏好度（）对人寿保险额（）有交互效应。将模型修改为：进行模型求解，输出结果如下：b = -119.7086 4.5624 -5.6875 -0.0261 1.2025bint = -171.2646 -68.1527 3.8576 5.2672 -17.4456 6.0706 -0.1663 0.1141 0.1790 2.2260stats = 0.9921 409.3697 0.0000 65.4612画出的残差图如下：数据整理如下：回归系数回归系数估计回归系数置信区间-119.7086-171.2646 -68.15274.56243.8576 5.2672-5.6875-

8、17.4456 6.0706-0.0261 -0.1663 0.11411.20250.1790 2.22600.9921409.369700000表3 模型改进（2）数据整理 从上表可知，当加入项后做的回归分析，得到项的置信区间为-0.1663 0.1141，包含零点，回归系数包含零点，因此可以得到假设年平均收入（）和风险偏好度（）对人寿保险额（）有交互效应是不显著的，所以此种假设是不成立的。（3） 由以上各模型的求解过程可知，和对人寿保险额的影响是不显著的，因此将模型改进为：进行模型求解，输出结果如下：b = -62.2609 0.8338 5.6919 0.0371bint = -73.

9、4460 -51.0758 0.3881 1.2796 5.2665 6.1173 0.0331 0.0412stats = 1.0e+004 *0.0001 1.1013 0 0.0003将stats中的数据装化为长型为：stats= 0.99958 11013 0 3.2689画出的残差图如下：数据整理如下：回归系数回归系数估计值回归系数置信区间-62.2609-73.4460 -51.07580.83380.3881 1.27965.69195.2665 6.11730.03710.0331 0.04120.99958110130.0000表4 模型改进（3）数据整理由上表可以看出，=0

10、.9996指因变量（人寿保险额）的99.958%可以由模型确定；=11013远远大于检验的临界值；=0.0000远小于=0.05。检查回归系数的置信区间可以发现： 所有回归系数的置信区间都不包含零点，所以所建模型是完全可靠的，即改进的模型为：附matlab程序如下：散点图1x1=66.290 40.964 72.996 45.010 57.204 26.852 38.122 35.840 75.764 37.408 54.376 46.186 46.130 30.366 39.060 79.380 52.766 55.916;y=196 63 252 84 126 14 49 49 266 4

11、9 105 98 77 14 56 245 133 133;plot(x1,y,*b)散点图2： x2=7 5 10 6 4 5 4 6 9 5 2 7 4 3 5 1 8 6; y=196 63 252 84 126 14 49 49 266 49 105 98 77 14 56 245 133 133;plot(x2,y,+r)模型求解：y=196 63 252 84 126 14 49 49 266 49 105 98 77 14 56 245 133 133;x1=66.290 40.964 72.996 45.010 57.204 26.852 38.122 35.840 75.76

12、4 37.408 54.376 46.186 46.130 30.366 39.060 79.380 52.766 55.916; x2=7 5 10 6 4 5 4 6 9 5 2 7 4 3 5 1 8 6;x3=x2.2;x=ones(18,1) x1 x2 x3;b,bint,r,rint,stats=regress(y,x);b,bint,stats,rcoplot(r,rint)模型的改进与进一步求解：（1）y=196 63 252 84 126 14 49 49 266 49 105 98 77 14 56 245 133 133;x1=66.290 40.964 72.996

13、45.010 57.204 26.852 38.122 35.840 75.764 37.408 54.376 46.186 46.130 30.366 39.060 79.380 52.766 55.916; x2=7 5 10 6 4 5 4 6 9 5 2 7 4 3 5 1 8 6; x3=x1.2; x4=x2.2;x=ones(18,1) x1' x2' x3' x4'b,bint,r,rint,stats=regress(y',x);b,bint,stats,rcoplot(r,rint)（2）y=196 63 252 84 126 14

14、49 49 266 49 105 98 77 14 56 245 133 133;x1=66.290 40.964 72.996 45.010 57.204 26.852 38.122 35.840 75.764 37.408 54.376 46.186 46.130 30.366 39.060 79.380 52.766 55.916; x2=7 5 10 6 4 5 4 6 9 5 2 7 4 3 5 1 8 6; x3=x1.*x2; x4=x2.2;x=ones(18,1) x1' x2' x3' x4'b,bint,r,rint,stats=regre

15、ss(y',x);b,bint,stats,rcoplot(r,rint)（3）x1=66.290 40.964 72.996 45.010 57.204 26.852 38.122 35.840 75.764 37.408 54.376 46.186 46.130 30.366 39.060 79.380 52.766 55.916; x2=7 5 10 6 4 5 4 6 9 5 2 7 4 3 5 1 8 6; x3=x1.2; y=196 63 252 84 126 14 49 49 266 49 105 98 77 14 56 245 133 133;x=ones(18,1)

16、 x1' x2' x3'b,bint,r,rint,stats=regress(y',x);b,bint,stats,rcoplot(r,rint)第二题：解：问题的分析与模型建立：画出高压锅得销量与时间变化的散点图：图1 高压锅的的销售量相对于时间的散点图再对Logistic模型和Gompertz的增长曲线表达式进行化简。（1） 对表达式两边同时取倒数得：，即；两边同乘得：；再对两边同时取自然对数得：；令，。即可得一个线性表达式：。因此Logistic增长曲线是一个可线性化的模型。（2） 对表达式：两边同除以得：；两边同时取自然对数得：；再同时对两边取自然对数

17、得：；令。得线性表达式：。因此Gompertz增长曲线是一个可线性化的模型。模型求解：（1）利用matlab进行线性化拟合，并画出原数据与拟合曲线，如图2所示。图2 原数据与线性拟合曲线由线性表达式：，得，利用线性化模型给出参数和的估计值。在matlab中写入程序，计算结果如下:k = 0.4941a = 44.8463从图形可以看出，线性模型虽然简单，但是误差太大，并且当，而高压锅销售量是有限的，也就是说高压锅的销售量是一个有限的量，不可能是无限大的。所以，用线性模型不能完全反映高压锅的销售情况。必须找一个更好的模型去分析高压锅的销售情况。（2）由上所得到的线性表达式：，用matlab对Lo

18、gistic模型进行非线性回归。拟合Logistic模型，画出Logistic模型并与原数据比较，如图3所示。图3 Logistic模型的拟合图形因此Logistic增长曲线的非线性化方程为：（3） 由上所得到的线性表达式：。用matlab对Gompertz模型进行非线性回归。拟合Gompertz模型，画出Gompertz模型并与原数据比较，如图4所示。图4 Gompertz模型的拟合图形由线性表达式：，得，利用线性化模型给出参数b和的估计值。在matlab中写入程序，计算结果如下:k= 0.4941b= 30.4930所以拟合的Gompertz增长曲线方程为：分析总结：下来分析两种的拐点如下

19、: 。（其中r表示模型的增长率）Logistic模型转化为微分形式是：。（其中r表示模型的增长率）Gompertz模型转化为微分形式是：。在Logistic模型中是关于y的二次函数，很容易看出，当时增长率最大，即是模型的拐点。Logistic增长曲线模型就是我们在生态学中所熟知的“S型曲线”，它的最大值L就是环境容纳量，它的变化受环境的影响，主要用于对种群数量及变化率的研究。其一般形式为：（K为环境容纳量）其有个重要特征就是当y随着t的增加直至无穷大而趋向于K，K就是y的饱和值，反过来当t逐渐减小直至0，y的值也趋于0。主要用于对一种新技术或新事物的产生，主要是一个“新”，对以前从来没有过的东

20、西的趋势的研究。而Gompertz增长曲线主要有以下特征：初期增长缓慢，后期逐渐加快，当达到一定程度后，增长率有逐渐下降，最终达到一条水平线。Gompertz曲线通常用于描述事物的发展由萌芽、成长到饱和的周期过程。由此可见，Gompertz增长曲线与Logistic增长曲线还是比较相似的。附matlab程序如下：散点图：t=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12;y=43.65 109.86 187.21 312.67 496.58 707.65 960.25 1238.75 1560.00 1824.29 2199.00 2438.89 2737.71;plot(t,y,'*b')线性拟合:y=43.65 109.86 187.21 312.67 496.58 707.65 960.25 1238.75 1560.00 1824.29 2199.00 2438.89 2737.71; t=0:12; p=polyfit(t,y,1);yy=polyval(p,t,1)polt(t,y,'*&