弹性力学及有限单元基础试卷

1、第一题以平面应力弹性力学问题为例，说明弹性力学的所研究问题的数学模型，并导出弹性力学位移法与应力法的数学模型。（20分）答：（一）以无限薄板为例对平面应力弹性力学问题进行力学分析，如图1-1：1-1平面应力弹性力学问题 (1) 首先简化为平面弹性力学问题1.假设薄板的前后两个截面均为自由截面，因此在这两个截面上无应力，于是在这两个截面上有： 2.由于薄板很薄，可以近似认为应力不随厚度而变化，于是在整个弹性体有： 3.由第二步的结果可以看出，在给定的XOY坐标平面内，应力函数缩减为3 个二维函数。4.根据Hooked定理得，二维应力场产生的应变场也是二维的，对平面弹性力学问题弹性体中任意一点，其

2、位移场也在XY平面内，即:(2) 微元平衡方程的建立：（剪力互等原理）（3）物理方程（Hooke定理）： 其中，剪切弹性模量； E :Yang氏弹性模量；：Possion比。（4） 几何方程：X向正应变为X向单位伸长量同理可得： Y向正应变为Y向单位伸长量，切应变的位移表示：由于，的变化很小，所以：，且， 故：。（二）得平面应力弹性力学的数学模型为： （1）平衡方程： （2）物理方程： 其中，（3）几何方程： （三）弹性力学位移法的物理模型以位置函数作为基本未知量，消去其他未知量，其基本过程为：将 ， ， 代入，得：将平衡方程代入上式，得：（四）弹性力学应力法的物理模型 以应力函数为基本未知量

3、，消去其他未知量，其基本过程如下： （1）几何方程： （2）将物理方程代入上式得， （3）平衡方程： ； 第二题采用半逆解法求解下面薄壁梁（其参数为厚度t，高度h，长度为L,弹性模量E，泊松比等）的变形后的应力、应变和位移？（20分）答：根据实际模型建立图示的坐标系，应力边界条件和位移边界条件如图所示，F是一合力的形式给出的，其边界条件表示如图2-1图所示：（一）变形后的应力求解（1）推测应力函数表达式： 将上式代入得： （2）应力的求解（3）验证，引入应力边界条件（二）变形后的应变的求解（三）变形后的位移的求解第三题以平面应力弹性力学问题为例说明最小位能原理（能量法泛函极值）对问题的描述完全

4、等价于第一题中的位移法描述（微分形式）。（20分）答：以平面应力弹性力学为例，如图3-1图所示：由于能量变分法得到的最终结果是虚位移原理，那么上述问题就变换为证明虚位移原理同原来位移法微分数学模型等价。虚位移原理（最小位能原理）由于 所以有：由于（1）（2）+（3）所以+）+从而有：于是+结论：平面应力弹性力学模型微分法建立的数学模型位移解法微分模型（1）我们证明：上面两种描述方式是等价的。也就是说从弹性力学位移解法上说我们是要求解满足用位移法中的2个平衡方程，以及应力边界条件和位移边界条件；从能量法上说我们是要求解所有满足位移边界条件的位移函数中的使位能泛函取极值的极值位移宗量。两种提法是等

5、价的。（2）可以证明：上述求得的位移解（弹性体的实际位移）代入位能泛函使得位能取最小值（该极值是极小值并是最小值），所以该（位移）能量法又称最小位能原理。第四题说明有限单元法的基本思想与基本步骤。要求：必须准确说明采用有限元法解题的每一步（不必计算），如你认为有必要，可以结合例子说明。（20分）答：有限单元法的基础是变分原理。有限元解法就是把连续体离散化成小单元经过单元分析再集合，代替原连续体，再进行总体分析，求得近似值的方法。（一）基本思想：（1）将连续的结构分割成数目有限的小单元体，这些小单元体彼此之间只在数目有限的节点上相互连接。用这些小单元体组成的集合体来代替原来的连续结构。（2）再把

6、每个小单元体上实际作用的外载荷按弹性力学中的虚功等效原理分配到单元的节点上，构成等效节点力，并按结构实际约束情况决定受约束节点的约束。这一过程称为结构的离散化结构的离散化结构的离散化结构的离散化。（3）对每个小单元体选择一个简单的函数来近似地表示其位移分量的分布规律，并按弹性力学中的变分原理建立起单元节点力和节点位移之间的关系（即单元刚度方程）。（4）把全部单元的节点力和节点位移之间的关系组集起来，就得到了一组以结构节点位移为未知量的代数方程组（总体刚度方程）。（5）考虑结构的约束情况，消去那些结构节点位移为零的方程，再由最后的代数方程组就可求得结构上有限个离散节点的各位移分量。（6）求得了结

7、构上各节点的位移分量之后，即可按单元的几何方程和物理方程求得各单元的应变和应力分量。有限元法的实质就是把具有无限个自由度的连续体理想化有限个自由度的单元的集合体，使问题简化为适合于数值解法的结构型问题也可以这样理解：把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看

8、为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。（二）基本步骤：1.建立积分方程。根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。2.离散化。进行有限元分析的前提是离散化。离散化就是根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。3.选择单元基函数。根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值条件的插值函数作为单元基函数。有限元

9、方法中的基函数是在单元中选取的，由于各单元具有规则的几何形状，在选取基函数时可遵循一定的法则。 4.单元特性分析：（1）依照应变与位移之间的几何关系，根据所选择的单元位移函数，建立单元应变与单元节点位移之间的关系式。在求出节点位移后，可以求得单元应变。（2）依据物理关系，建立单元应力与单元节点的位移之间的关系式。在求出节点位移后，可以求得单元应力。（3）根据虚位移原理或最小势能原理建立单元刚度方程，即建立单元节点力与单元节点位移之间的关系式。5.外载荷处理。把结构离散为有限个单元，并经过单元特性分析以后，将各个单元联系在一起的是节点。因此需要将外载荷等效移植到节点上。6.总体合成。在得出单元有

10、限元方程之后，将区域中所有单元有限元方程按一定法则进行累加，形成总体有限元方程。7.边界条件的处理。一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件、自然边界条件、混合边界条件。对于自然边界条件，一般在积分表达式中可自动得到满足。对于本质边界条件和混合边界条件，需按一定法则对总体有限元方程进行修正满足。8.解有限元方程。根据边界条件修正的总体有限元方程组，是含所有待定未知量的封闭方程组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值。第五题谈一谈你对有限元法的认识，说明有限单元法在工程上的应用，并举出两个以上的你有兴趣的工程实例。说明今后有限元法的发展趋势与方向。（20分）答：（一）我对有限元法的认

11、识：1960年，Clough在求解平面弹性问题时，第一次提出了“有限单元法”的概念，从此，有限元诞生并成为一门新兴的学科。有限元法是计算力学中的一种重要的方法。有限元法最初应用在工程科学技术中, 用于模拟并且解决工程力学、热学、电磁学等物理问题。对于过去用解析方法无法求解的问题和边界条件及结构形状都不规则的复杂问题, 有限元法则是一种有效的分析方法。有限元法作为一种离散化的数值解法，也已成为应用数学的一个新的分支。有限元法概念浅显容易掌握，可以在不同的水平上建立起对该法的理解，既可以通过非常直观的物理解释，也可以建立基于严格的数学分析的理论。它不仅对结构物的复杂几何形状有很强的适应性，也能应用

12、于结构物的各种物理问题，如静力问题、动力问题、非线性问题、热应力问题等。还能处理非均质材料、各向异性材料，以及复杂边界条件等难题。因此，有限元法已经被公认为是工程分析的有效工具，受到普遍重视。有限元法作为一种求解偏微分方程的数值计算方法。它具有通用性和实用性。有限元数值计算方法有：位移有限单元法、应力有限元法和杂交有限元法。最传统的有限元法为位移有限单元法，以位移作为基本求解。对于一个力学问题的描述有两种方法：（1）微元分析法；（2）能量法（即虚位移原理）。弹性力学数学模型的求解问题可以等价为求解某个泛函指标的极值宗量问题。有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数

13、值模拟。到目前为止，有一大批的有限元分析软件，如ANSYS，ABAQUS等。现在这些大型有限元通用软件已经可以解决比较复杂的问题了。（二）有限单元法在工程上的应用1. 利用有限单元求其位移、应力与应变。例如：已知如附件图5-1图所示的L形工件，其材质为45号钢，厚度为t（较小），所受面力载荷为黄色区域的均布载荷，q1KN/m；考虑重力。求其位移、应力与应变。2. 利用有限单元分析连杆的受力状态。例如：如附件图5-2图所示为汽车连杆的几何模型，连杆的厚度为0.5in，和在小头孔的内侧90度范围内承受P=1000psi的面载荷作用，试利用有限元分析该连杆的受力状态。连杆的材料属性为：杨氏模量E=3

14、0X100000psi,泊松比为0.3。元算法才能解决。3.增强可视化的前置建模和后置数据处理功能 早期有限元分析软件的研究重点在于推导新的高效率求解方法和高精度的单元。随着数值分析方法的逐步完善,尤其是计算机运算速度的飞速发展,整个计算系统用于求解运算的时间越来越少,而数据准备和运算结果的表现问题却日益突出。因此，目前几乎所有的商业化有限元程序系统都有功能很强的前置建模和后置数据处理模块。在强调可视化的今天,很多程序都建立了对用户非常友好的GUI,使用户能以可视图形方式直观快速地进行网格自动划分,生成有限元分析所需数据,并按要求将大量的计算结果整理成变形图、等值分布云图,便于极值搜索和所需数

15、据的列表输出。4. 与CAD软件的无缝集成当今有限元分析系统的另一个特点是与通用CAD软件的集成使用,即在用CAD软件完成部件和零件的造型设计后,自动生成有限元网格并进行计算,如果分析的结果不符合设计要求则重新进行造型和计算,直到满意为止,从而极大地提高了设计水平和效率。今天,工程师可以在集成的CAD和FEA软件环境中快捷地解决一个在以前无法应付的复杂工程分析问题。所以当今所有的商业化有限元系统商都开发了CAD软件的接口。 5. 在Wintel平台上的发展早期的有限元分析软件基本上都是在大中型计算机上开发和运行的,后来又发展到以工程工作站为平台,它们的共同特点都是采用UNIX操作系统。PC机的出现使计算机的应用发生了根本性的变化,工程师渴望在办公桌上完成复杂工程分析的梦想成为现实。因此，当前国际上著名的有限元程序研究和发展机构都纷纷将他们的软件移植到Wintel平台上。为了将在大中型计算机和EWS上开发的有限元程序移植到PC机上,常常需要采用Hummingbird公司的一个仿真软件Exceed。这样做的结果比较麻烦,而且不能充分利用PC机的软硬件资源。所以最近有些公司开始在Windows平台上开发有限元程序,称作Native Windows版本,同时还有在PC机上的Linux操作系统环境中开发的有限元程序包。 在