数模8 牙膏的销售量

1、佛山科学技术学院上 机 报 告课程名称 数学应用软件 上机项目 牙膏的销售量 专业班级 姓 名 学 号 一、问题提出根据牙膏销售量与价格、广告费等表格1中的数据，建立三个模型，要求：1）画出散点图：y对x1的散点图1；y对x2的散点图2；2）确定回归模型系数，求解出教程中模型（3）；3）对模型进行改进，确定回归模型系数，求解出教程中模型（5）；4）对模型进一步改进，求解出教程中模型（10）。 二、问题分析由于牙膏是生活必需品，对大多属顾客来说，在购买同类产品的牙膏是更多地会在意不同品牌之间的价格差异，而不是它们的价格本身。因此，在研究各个因素对销量的影响时，用价格差代替公司销售价格和其他厂家平

2、均价格更为合适。记牙膏销售量为y，其他厂家平均价格和公司销售价格之差（价格差）为，公司投入的广告费用为，其他厂家平均价格和公司销售价格分别为和，。基于上面的分析，我们仅利用和来建立y的预测模型。三、建立模型为了大致地分析y与和的关系，首先利用表1的数据分别作出y对和的散点图。散点图程序：y=7.38 8.51 9.52 7.50 9.33 8.28 8.75 7.87 7.10 8.00 7.89 8.15 9.10 8.86 8.90 8.87 9.26 9.00 8.75 7.95 7.65 7.27 8.00 8.50 8.75 9.21 8.27 7.67 7.93 9.26;x1=-

3、0.05 0.25 0.60 0 0.25 0.20 0.15 0.05 -0.15 0.15 0.20 0.10 0.40 0.45 0.35 0.30 0.50 0.50 0.40 -0.05 -0.05 -0.10 0.20 0.10 0.50 0.60 -0.05 0 0.05 0.55;x2=5.50 6.75 7.25 5.50 7.00 6.50 6.75 5.25 5.25 6.00 6.50 6.25 7.00 6.90 6.80 6.80 7.10 7.00 6.80 6.50 6.25 6.00 6.50 7.00 6.80 6.80 6.50 5.75 5.80 6.8

4、0;a=polyfit(x1,y,1);y1=polyval(a,x1);b=polyfit(x2,y,2);x3=5.00:0.05:7.25;y2=polyval(b,x3);subplot(2,1,1);plot(x1,y,'*',x1,y1,'r');title('图1 y对x1的散点图');subplot(2,1,2);plot(x2,y,'o',x3,y2,'r');title('图2 y对x2的散点图')散点图：从图1可以发现，随着的增加，y的值有比较明显的线性增长趋势，图中的直线是用

5、线性模型 拟合的（其中是随机误差）。而在图2中，当增大时，y有向上弯曲增加的趋势，图中的曲线是用二次函数模型综合上面的分析，结合模型（1）和（2）建立如下的回归模型（3）式右端的和称为回归变量（自变量），是给定价差，广告费用时，牙膏销售量y的平均值，其中的参数称为回归系数，由表1的数据估计，影响y的其他因素作用都包含在随机误差中。如果模型选择合适，应该大致服从值为0的正态分布。模型改进模型（3）中回归变量和对因变量y的影响是相互独立的，即牙膏销售量y的均值与广告费用的二次关系由回归系数和确定，而不依赖于价格差，同样，y的均值与的线性关系由回归系数确定，而不依赖于。根据直觉和经验可以猜想，和之间

6、的交互作用会对y有影响，不妨简单地用，的乘积代表它们的相互作用，于是将模型（3）增加一项，得到在这个模型中，y的均值与的二次关系为，由系数确定，并依赖于价格。模型的进一步改进 完全二次多项式模型：与和的完全二次多项式模型相比，模型（5）只少项，我们不妨增加这一项，建立模型（10）。这样做的好处之一是MATLAB统计工具箱有直接的命令rstool求解，并且以交互式画面给出y的估计值和预测空间。四、模型求解（2）确定回归模型系数，求解出教程中模型（3）；Matlab程序：x1=-0.05 0.25 0.60 0 0.25 0.20 0.15 0.05 -0.15 0.15 0.20 0.10 0.

7、40 0.45 0.35 0.30 0.50 0.50 0.40 -0.05 -0.05 -0.10 0.20 0.10 0.50 0.60 -0.05 0 0.05 0.55'x2=5.50 6.75 7.25 5.50 7.00 6.50 6.75 5.25 5.25 6.00 6.50 6.25 7.00 6.90 6.80 6.80 7.10 7.00 6.80 6.50 6.25 6.00 6.50 7.00 6.80 6.80 6.50 5.75 5.80 6.80'X=ones(30,1) x1 x2 x2.2;Y=7.38 8.51 9.52 7.50 9.33

8、 8.28 8.75 7.87 7.10 8.00 7.89 8.15 9.10 8.86 8.90 8.87 9.26 9.00 8.75 7.95 7.65 7.27 8.00 8.50 8.75 9.21 8.27 7.67 7.93 9.26'b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X);b,bint,stats（3）对模型进行改进，确定回归模型系数，求解出教程中模型（5）；Matlab程序：x1=-0.05 0.25 0.60 0 0.25 0.20 0.15 0.05 -0.15 0.15 0.20 0.10 0.40 0.45 0.35 0.30 0.

9、50 0.50 0.40 -0.05 -0.05 -0.10 0.20 0.10 0.50 0.60 -0.05 0 0.05 0.55'x2=5.50 6.75 7.25 5.50 7.00 6.50 6.75 5.25 5.25 6.00 6.50 6.25 7.00 6.90 6.80 6.80 7.10 7.00 6.80 6.50 6.25 6.00 6.50 7.00 6.80 6.80 6.50 5.75 5.80 6.80'X=ones(30,1) x1 x2 x2.2 x1.*x2;Y=7.38 8.51 9.52 7.50 9.33 8.28 8.75 7.

10、87 7.10 8.00 7.89 8.15 9.10 8.86 8.90 8.87 9.26 9.00 8.75 7.95 7.65 7.27 8.00 8.50 8.75 9.21 8.27 7.67 7.93 9.26'b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X);b,bint,stats（4）对模型进一步改进，求解出教程中模型（10）。Matlab程序：x1=-0.05 0.25 0.60 0 0.25 0.20 0.15 0.05 -0.15 0.15 0.20 0.10 0.40 0.45 0.35 0.30 0.50 0.50 0.40 -0.05 -

11、0.05 -0.10 0.20 0.10 0.50 0.60 -0.05 0 0.05 0.55'x2=5.50 6.75 7.25 5.50 7.00 6.50 6.75 5.25 5.25 6.00 6.50 6.25 7.00 6.90 6.80 6.80 7.10 7.00 6.80 6.50 6.25 6.00 6.50 7.00 6.80 6.80 6.50 5.75 5.80 6.80'y=7.38 8.51 9.52 7.50 9.33 8.28 8.75 7.87 7.10 8.00 7.89 8.15 9.10 8.86 8.90 8.87 9.26 9.0

12、0 8.75 7.95 7.65 7.27 8.00 8.50 8.75 9.21 8.27 7.67 7.93 9.26'x=x1 x2;rstool(x,y,'quadratic')五、模型结果（2）表2参数参数估计值参数置信区间17.32445.7282，28.92061.30700.6829，1.9311-3.6956-7.4989,0.10770.34860.0379,0.6594=0.9054 F=82.9409 p<0.0001 =0.0490 结果分析：表2显示，=0.9054指因变量y（销售量）的90.54%可由模型确定，F值远远超过F检验的临界

13、值，p远小于，因而模型（3）从整体来看时可用的。表2的回归系数给出了模型（3）中的估计值，即。检查他们的置信区间发现，只有的置信区间包含零点（但区间右端点距零点很近），表明回归变量（对因变量y的影响）不是太显著，但由于是显著的，我们仍将变量保留在模型中。（3）表3参数参数估计值参数置信区间29.113313.7013,44.525211.13421.9778,20.2906-7.6080-12.6932，-2.52280.6712 0.2538，1.0887-1.4777-2.8518，-0.1037=0.9209 F=72.7771 p<0.0001 =0.0426表3与表2的结果相比，有所提高，说明模型（5）比模型（3）有所进步。并且，所有参数的置信区间，特别是,的交互作用项的系数的置信区间不包含零点，所以有理由相信模型（5）比模型（3）更符合实际。（4）从上表可知，模型（10）的回归系数的估计值为回归模型为：剩余标准差为0.2083，说明此模型的显著性比较好。评注：从