经典学案三角恒等变换

1、经典学案 : 三角恒等变换三角恒等变换§3.1.1 两角和与差的余弦【学习目标】1 经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造 的过程，体会向量和三角函数间的联系。2 用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用。3 能用余弦的和、差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。 【重点难点】学习重点：理解并熟记两角和与差的余弦公式。 学习难点：两角差的余弦公式的推导，灵活应用几个公式来进行三角恒等变换 【学习过程】一、自主学习与交流反应：问题 1 设向量 a =(cos75 , sin 75 )， b=(cos15 , sin

2、 15 ),试分别计算?= B及?=x 1x 2+y 1y 2 ，比拟两次计算结果，你能发现什么？问题2 COS ( a -卩)能否用a的三角函数和 卩的三角函数来表示？问题3能否用a的三角函数与 卩的三角函数来表示 COS( a + 3 ) ?二、知识建构与应用：两角差的余弦公式： C (a-3)两角和的余弦公式： C ( a +3 )问题4：用“-3 代替3的换元方法表达在图形上具有什么几何意义？你能直接利 用向量的数量积推出两角和的余弦公式吗？三、例题剖析例 1 利用两角和(差)的余弦公式证明以下诱导公式：(1) cos(例 2(1)求值：cos 75 , cos 15 , sin 15

3、, tan 15; n2 - a ) =sin a; (2)Sin( n2 - a ) =COS a。(2) 求值： cos(x +27 ) cos(x -18 ) +sin(x +27 ) sin(x -18 )例 3(1) sin a =2 n 33,a (, n ) , cos 卩二-，卩 ( n , n ) 3252求COs( a + 3 )的值(2)：a ,3为锐角，且 COs a =416 ， cos( a +3 ) = - ，求 cos 3 的值 565例4设a ,3为锐角，且sin a =四、稳固练习1 利用两角和(差)的余弦公式证明：(1) cos(5 , sin 3 =，求

4、 a + 3 的值 5103n 3n - a ) = -sin a ( 2) sin(- a )=- cos a 222 利用两角和(差)的余弦公式化简：( 1 ) cos 58cos 37+sin 58sin 37(2) cos(60+ 0 ) -cos(60- 0)(3) cos(60+ 0 ) +cos(60 - 0)(4) cos( a - 3 )cos 3 -sin( a -3 )sin 3=3 利用两角和(差)的余弦公式，求 cos1054 化简( 1) cos100cos 40+sin80sin 40( 2) cos80cos55+sin10sin35)5 . cos B= -

5、,B(6 . sin a =+si n15 22 -cos15 2235 n 2, n )，求 cos( n3 - 9 )的值 1nnn,a (, n ),求 cos( a +)和 cos( a -)的值 3244§3.1.2 两角和与差的正弦(一)【学习目标】1 .能用两角余弦的和、差角公式推导出两角正弦的和、差角公式，并从推导过程中 体会到化归思想的作用2 .能用正弦的和、差角公式进行简单的三角函数的化简、求值及恒等式的证明【重点难点】学习重点：推导、理解并熟记两角和与差的正弦公式，并用公式解决相关的问题。 学习难点：辅助角公式的引入与应用及灵活用学过的公式进行三角函数的计算、化

6、简和证明。【学习过程】一、自主学习与交流反应：问题 1 ：sin15 ° = .问题2: sin( a + 3 )如何用a的三角函数和 卩的三角函数表示？怎样表示？二、知识建构与应用：问题 3：能否根据问题 1 中求 sin15 °值的解法将 sin( a +3 ) 用 a 的三角函数和 3 的三角函数来表示？问题 4：能否用两角和与差的余弦公式推导两角和与差的正弦公式？S (a+3) ：S (a -3) ：三、例题例 1 sin a =例 2 COS( a + 3 )=2 n 33 n , a (, n ), cos 3=-,卩 ( n ,)，求 si n( a + 3

7、)的值.325254 ,COS 3 =，a、3 均为锐角，求 Sin a 的值 135 思考：怎样求 a sin a +b cos a 类型？ 辅助角公式： a sin a +b cos a2222 =a +b (sin a cos 0 +cos a sin 0 )= a +b sin( a +0 ),其中 tan 0 =b。 a练习：( 1)： n i s a +c o s a =2)： sin a - cos a =(3)3cos x -sin x =例3求函数 y =1sin x +x 的最大值. 22思考：函数 y = 3sinx + cosx 是否为周期函数？ y 有最大值吗？四、稳

8、固练习1 .以下等式中恒成立的是 A. cos( a - 3 ) =cos a cos 3 -sin a sin 3 B . cos( a +3 ) =cos a sin 3 -sina cos3Ca sin. sin( a +3 ) =sin a sin 3 +cos a cos 3 D . sin( a - 3 ) =sin a cos 3 -cos32 . sin 13cos 17+cos 13sin 173 . sin 200cos 140-cos 160sin 404 .化简(1) sin 11cos 29+cos 11sin 292) cos 24cos69+sin 24sin 6

9、9(3) sin 22. 5-cos 22. 5(4) 2sin 15cos 155 求值：( 1)sin 105; ( 2) cos 1656 . cos B= - ,B(7 . sin( B +8 .求函数 y =2 2 35 n 2, n )，求 sin( 9 + n 3)和 cos( 9 - n 3)的值 n 4) =1 n,B (, n ), 求sin 9 321cos x -sin x的最小值和最大值 22§3.1.2 两角和与差的正弦(二)【学习目标】 进一步稳固两角和与差的正弦、余弦公式，通过逆用公式研究三角函数图象和性质.【重点难点】 学习重点：两角和与差的正(余)

10、弦公式的应用 . 学习难点：灵活应用公式进行化简、求值 .【学习过程】一、自主学习与交流反应： 问题 1：写出以下各式的最大值及最小值：13 (1)y = cosx + sinx ， y max = ， y min = ； 22(2) y = sinx cosx , y max = , y min = ；( 3) y = sinx + 3cosx ， y max = ， y min = ；( 4) y = sin2x - 3cos2x ， y max = ， y min = .问题2:设a、卩都是锐角，试比拟大小：(1)sin( a + 3 )sin a +sin 卩； (2) cos( a

11、+卩)cos a +cos 3二、知识建构与应用：3 问题 2： a 是第一象限角且 cos( a + 30°) = sina 的值. 53) +3 =常用关系式：a二、例题 a + 3 a - 3 + 22sin(2A +B ) sin B -2cos(A +B ) =例 1 求证： sin A sin A2cos10 ? -sin 20 ?例 2 求的值 . cos 20 ?例 4 关于 x 的方程 cos x -x =四、稳固练习 3-2m 有解，求实数 m 的取值范围 . m -11531 . a、3 都为锐角，sin a = , COS( a + 3 ) = . 714(1

12、) 试用a与a + 3表示角3；(2)求sin 3与cos 3的值.2 .求证：(1)(2)113 . sin a + sin 3 = , cos a - cos 3 =，求 cos( a + 3)的值.234 . sin( a+5 . sin a-cos 3 = -,cos a+sin 3 = , 求 sin ( a-3) 的值.sin(A +B ) =tan A +tan B cos A cos B sin(a+3) +sin( a -3)=tan acos( a + 3 ) +cos( a - 3 ) n 3n 4) =,sin( a -)=, 求 sin a ,cos a 禾口 tan

13、 a 的值. 45452313§3.1.3 两角和与差的正切( 1)【学习目标】 1.掌握 T (a3)， T (a3 ) 的推导及特征，能用它们进行有 关求值、化简； 2 .体高简单的推理能力，培养应用意识，提高数学素质.【重点难点】学习重点：两角和与差的正切公式的推导及特征；学习难点：灵活应用公式进行化简、求值 . 【学习过程】一、自主学习与交流反应 复习回忆sin (a + 3)= sin a cos 3+ cos a sin 3( S (a + 3) sin (a 3) =sin a cos 3 cos a sin 3( S (a 3) cos (a + 3)= cos a

14、cos 3 sin a sin 3( C (a + 3) cos (a 3)= cos a cos 3+ sin a sin 3( C (a 3)二、知识建构与应用：1 两角和的正切t cos( a + 3 )工 0, tan( a + 3 )=sin( a + 3 ) sina cos 3 +cos a sin 3cos( a +3 ) cos a cos 3 - sin a sin 3当cos a cos 3工0时,分子分母同时除以 cos a cos 3得：tan a +tan 3 即：(T ( a + 3 ) ) tan( a + 3 )=2 两角差的正切以- 3 代 3 得： tan

15、( a - 3 ) =1- tan a tan 3tan a +tan( - 3 ) tan a -tan 31- tan a tan( - 3 ) 1+tan a tan 3tan a -tan 31+tan a tan 3 即：( T ( a -3 ) )tan( a - 3 )=【说明】T ( a±3 )公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围；三、例题剖析例1不查表求tan15，tan75 °的值.例 2 tan a , tan 3 是方程 x +5x -6=0 的两根，求 tan( a +3 ) 的值 .1 + tan15 °例 3 = 3.1 -

16、 tan15°例 4 如图，三个相同的正方形相接，求证：a +3 = .Tt4四、稳固练习1 .( 1) tan a =3,求 tan( a -n4) ；a + 3 ) .(2) tan a = - 2, tan 卩=5,求 tan(a + 3 )的值.2 .tan a , tan 3是方程3x +5x -1=0 的两个根，求tan(3. 在三角形 ABC 中，tan A =2, tan B =5, 求 tanC4 . tan a =3, tan 3 =2, a ,卩 (0,2n2), 求证 a +3 =3 n . 4§3.1.3 两角和与差的正切( 2)【学习目标】1.

17、正确寻找角之间的关系，选用恰当的公式解决问题；2. 能将简单的几何问题化归为三角问题，培养数学转换能力及分析问题的能力.重点难点】选用恰当的方法解决问题 . 【学习过程】一、自主学习与交流反应1. tan( a + 3 ) =, tan( n -0) =2 你能说出多少组三个实数，使它们的和与积相等？二、知识建构与应用：1 公式T ( a + 3 )变换一个形式后可以是：2 .斜 ABC中tan(A + B)与tanC之间的数量关系是：3 .斜 ABC中tanA、tanB、tanC 之间的数量关系有：三、例题例 1 求值：(1) tan95 °- tan35 °- 3tan

18、95 ° tan35 ° ,(2)tan63° + tan57 °- 3tan63°tan57°.例2如图，在 ABC中，AD丄BC，垂足为 D , BD : DC : AD = 2 : 3： 6,求 Z BAC的度数.例3如图，两座建筑物 AB,CD的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看 建筑物CD的张角Z CAD = 45°,求建筑物 AB和CD的底部之间的距离 BD.四、稳固练习 1.化简：CE45? -ADBtan 39? +tan 81 ? +tan 240 ?tan 39? tan 81 ?2. tan

19、 83+tan 37-3tan 83 ?tan 373 .求证：tan 3 a - ta n 2 a - ta n a =ta n 3 a tan 2 a tan a.4. 在？ABC中，tan A , tan B 是方程3x +8x -1=0 的两根，求tan C 的值.§3.2 二倍角的三角函数(一)【学习目标】1 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能用上述公式进行简单的求值、化简、恒 等证明； 2 引导发现数学规律，体会化归这一根本数学思想在发现中所起的作用，培养 创新意识 . 【重点难点】学习重点：二倍角公式的推导及简单应用 .学习难点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍

20、角的三角函数 . 【学习过程】 一、自主学习与交流反应：问题 1：写出两角和与差的正弦、余弦、正切公式；问题2:假设a =卩，那么以上公式变为什么形式？二、知识建构与应用：倍角公式:sin2 a = 2sin a cos a； (S 2a)2 2C0S2 a COS a - sin a； (C 2a)2tan atan2a .(T 2a)1 - tan a说明：“二倍角的意义是相对的，如：22aa是的二倍角； 48观察公式特征：“倍角与“二次的关系；利用三角函数关系式 sin a +cosa 1 ，可将余弦的倍角公式变形为： Cos 2 a 2Cos a -11- 2sin a，2a - si

21、 n 2 a, COS 2 a =2COS 2 a -1 , COS 2 a =1 - 2si n 2 a1+COS 2 al - COS 2 a 22“降幂公式： COS a=，Sin a=“升幂公式： COS2 a =COS222注意公式成立的条件，特别是二倍角的正切公式成立的条件：a工nn k n+k n , a (k Z ).24212n,a (, n)，求 sin 2 a, COS 2 a, tan 2 a 的值。132三、例题例 1 Sin a=变式： Sin a=例2；归纳：1 + Sin a = 1- Sin a = ；1 + COS a = ； 1 - COSa. 例 3 求

22、证：12 naaa,a (, n )，求 Sin 2cos 2tan 2. 1321+Sin 2 0 - cos 2 0=ta n 01+Sin 2 0+COS 20四、稳固练习1 利用倍角公式求以下各式的值 sinnnnncos = ； cos 2 -sin 2 88882tan 15 1 2sin 15=;=.1-tan 21521 - sin80° = 2. sin a =0. 8,a 0,?n?, 求 sin 2 a ,cos 2a 的值.2?3. tan a=4.证明：2sin( n +a)COS( n-a ) =sin 2 a; 1+2cos 2 0 - cos 2 0 =2;1-cos 2 a=2sin a；sin a1-cos 2A=tan 2A .1+cos 2A求tan 2 a的值.2§3.1.2 二倍角的三角函数(二)【学习目标】1 继续加强二倍角的正弦、余弦、正切公式的理解和掌握，并能灵活应用公式。2 引导发现数学规律，体会化归这一根本数学思想在发现中