数列常见解的题目方法

1、实用标准文案数列解题方法、根底知识:数列：1 1. .数列、项的概念：按一定次序排列的一列数,叫做数列,其中的每一个数叫做数列的项.2 2 . .数列的项的性质：有序性；确定性；可重复性.3 3 . .数列的表示：通常用字母加右下角标表示数列的项,其中右下角标表示项的位置序号,因此数列的一般形式可以写成 ai,a2,a3,ai,a2,a3, ,an,an,( (),),简记作anan.其中 anan 是该数列的第上项,列表法、图象法、符号法、列举法、解析法、公式法(通项公式、递推公式、求和公式)都是表示数列的方法.4 4 . .数列的一般性质：单调性;周期性.5 5 . .数列的分类：按项的数

2、量分：有穷数列、无穷数列；按相邻项的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列、其他；按项的变化规律分：等差数列、等比数列、其他;按项的变化范围分：有界数列、无界数列.6 6 . .数列的通项公式： 如果数列a an的第 n n 项 a an与它的序号 n n 之间的函数关系可以用一个公式 a an n=f(n)(nSN=f(n)(nSN 或具有限子集1,2,3,1,2,3, ,n)n)来表示,那么这个公会叫做这个数列的通项公式.数列的项是指数列中一个确定的数,是函数值,而序号是指数列中项的位置,是自变量的值.由通项公式可知数列的图象是散点图,点的横坐标是项的序号工,纵坐标是各项的值.不

3、是所有的数列都有通项公式,数列的通精彩文档实用标准文案项公式在形式上未必唯一.7 7 . .数列的递推公式：如果数列a an的第一项(或前几项),且任一项a an与它的前一项 a an-1(或前几项 a an-1,a an-2,)间关系可以用一个公式 a an=f=f(a(ani)( (n=2,n=2,3,3,) )(或 a an=f(a=f(a 叱逢=)(n=3,(n=3,4,5,4,5,),),) )耒表示,那么这个公式叫做这个数列的一逋推公式.n8 8 . .数列的求和公式：设 S Sn表示数列a an和前 n n 项和,即 S Sn=z=za=a=ai+a+a2+1+a+an,如果 S

4、 Sn与项数 n n 之间的函数关系可以用一个公式 S=fS=f( (n)n)( (n=1,n=1,2,3,2,3,) )来表示,那么这个公式叫做这个数列的求和公式9 9 . .通项公式与求和公式的关系：通项公式 a an与求和公式 S S 的关系可表示为:等差数列与等比数列:精彩文档等差数列等比数列文字定义一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差是同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫等差数列的公差.一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比是同一个常数,那么这个数列就叫等比数列,这个常数叫等比数列的公比.符号定义an书-an=da-=q(q/0)an分类

5、递增数列：d0递减数列：dtga10,0q1递减数列：a10,40,0q1摆动数列：q0an=加1)Sn-&(n-2)实用标准文案常数数列：q=1通项an=a1+(n-1)d=pn+q=am+(n-m)d其中p=d,q=a1-dn/n-m/an=a1q=amq(q#0)前n n项和cn(a(+an)n(n1)d2Sn=、2=na1+；=pn2+qnH中D-da-adp,qai22Jhqq)Sn=0,公差d0,那么前n项和Sn有最大值.假设通项务,那么&最大“二：0；5假设&W+%那么当取最靠近学的非零自然数时S最大;2 2、假设等差数列 Q Q的首项a10,i假设通项a

6、n,那么&最小=小-0.0数列通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式.,用作差法：第二叙.Sn-Sn,(n_2)f(1),(n=1)an=fk,g2).f(n-1)条件中既有Sn还有an,有时先求Sn,再求外； 有时也可直接求假设an书an=fn求an用累力口法：an=an-anj+an_1-an+IH+a2-a1气n之2.那么前n项和Sn有最小值ii假设Sn=pn2+qn,那么当n取最靠近言的非零自然数时&最小;Sn(即a1+a2+an=f(n)求an翅忌卜瓦=fn求an,用作商法:an.-=fn求an,用累乘法：anan递推关系求an,用构造法4IIIIII

7、,&,&a a1(n2)oan1an2a1构造等差、等比数列.特别地,1 1形如an=kanl+b、an=kan,+bnk,b为常数的递推数列精彩文档都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后,再求an;形如an=kanJkn的递推数列都可以除以kn得到一个等差数列后,再求an.实用标准文案(2)(2)形如an的递推数列都可以用倒数法求通项.kanjb(3)(3)形如an4=ank的递推数列都可以用对数法求通项.(8)(8)遇到*-and或叫=q时,分奇数项偶数项讨论,结果可能是分段anJ形式数列求和的常用方法：(1)(1)公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式.(2)(

8、2)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式中“同类项先合并在一起,再运用公式法求和.(3)(3)倒序相加法：假设和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,那么常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前n和公式的推导方法).(4)(4)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选用错位相减法(这也是等比数列前n和公式的推导方法).(5)(5)裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：一1 1；1 1=_)=_)；n(n1)nn1

9、n(nk)knnk,令111,11、11111112()2k2k2-12k-1k1kk1(k1)kk2(k-1)kk-1k11n(n-1)(n2)2n(n1)(n1)(n-2)(n1)!n!(n1)!2(n1-Jn)：2:二L：二2一=2(、.n-、,n-1)n.n1,n、n、n1二、解题方法：求数列通项公式的常用方法：1 1、公式法2 2、由Sn求an(n=1时,a1=S1,n22时,an=Sn-Sn)3 3、求差(商)法精彩文档实用标准文案111如：an满足护+-2-a2+,an=2n+5解：n=1时,1al=2父1+5,a1=142-11n22时,a1+a2+2221-得:-an=22n

10、.an=2n114(n=1)-a.=2n1(n_2)练习数歹UQn足Sn+SnJ1=an书,a1=4,求an34 4、叠乘法例如：数列an中,a1=3,曳求anann1解：包也=2=,：W=1a1a2an23na1n.3又21=3,an=一n5 5、等差型递推公式由anan=f(n),a1=a0,求an,用迭加法n之2时,a2-a1=f(2)a3a2=f(3),阳,两边相加,得：-an-an4=f(n).an=2n_15an-a1=f(2)+f(3)+f(n)精彩文档实用标准文案an=a0+f(2)+f(3)+f(n)练习数列an,a1=1,an=3n+an(n2),求an6 6、等比型递推公

11、式an=can+d(c、d为常数,c#0,c#1,d#0)可转化为等比数列,设anxcandx=an=canc-1Xd令(c1)x=d,.x=c-1：n+L是首项为c一1ai+,c为公比的等比数列an工c-1andcn.1c-1练习数列an足21=9,3an书+an=4,求an精彩文档+十练习一11求和：1-12123实用标准文案7 7、倒数法例如：a12anan2求an由得:an12ananan1an21八二卜为等差数列,an、,1=1,公差为-11=1+(n-1),一=-(n+1),an2n-1数列前 n n 项和的常用方法:1 1、公式法：等差、等比前 n n 项和公式2 2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和,使之由现成对互为相反数的项.n如：an是公差为d的等差数列,求工一解:由一ak,ak1akakdd411-(d00)a-,k1akak1aak+Jd_a1a2/a2a3anan1123n精彩文档实用标准文案3 3、错位相减法：假设an为等差数列,bn为等比数列,求数列anbn差比数列前n项和,可由Sn-qSn求Sn,其中q为缶0的公比.如：Sn=1+2x+3x2+4x3+nxn/xSn=x+2x2+3x