数列知识点总结学生版

1、-1 -五、数列一、数列定义：数列是按照一定次序排列的一列数，那么它就必定有开头的数，有相继的第二个数，有 第三个数，于是数列中的每一个数都对应一个序号；反过来，每一个序号也都对应于数列中的一个数。因此，数列就是定义在正整数集N*(或它的有限子集1,2,3,，n)上的函数f(n),当自变量从 1 1 开始由小到大依次取正整数时，相对应的一列函数值为f (1), f(2),；通常用an代替f (n)，于是数列的一般形式常记为ai,a2,或简记为an,其中an表示数列an的通项。注意：(1 1)an与an是不同的概念，an表示数列6月2,而a.表示的是数列的第n项;(2)数列的项与它的项数是不同的

2、概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数， 它是一个函数值；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值。(3)an和Sn之间的关系：an二如：已知an的Sn满足lg(Sn1)=门丢N*)，求务。、等差数列、等比数列的性质：等差数列等比数列定义如果一个数列从第 2 2 项起，每一项与它 的前一项的差等于同一个常数，这个数 列就叫等差数列如果一个数列从第 2 2 项起，每一项与它 的前一项的比等于同一个常数，这个数 列就叫做等比数列公差(比)anan丿=d(n N ,n X 2)， 或an十-an-d；a*n=q(N ,nH2)，或an4= q(qO)；an通项公 式an =am +a

3、n = amd = =求和公 式由倒序相加法推得Sn = =由错项相减法推得q式1,Sn = =q = 1, Sn=35 = 1)Sn Sn J(n丄2)-2 -用函数 的思想 理解通若an为等差数列an=an + b，则a =,b =；若an为等比数列a.= can，则a =,c=；-3 -项公式等差数列的图象是直线上的均匀排开的 一群孤立的点若an为等比数列，Sn= Aan+B,等差数列an，Sn =An +Bn+C，贝ya =:A =:B =:用函数则C =；A =；B =；(其中的系数与为互的思想若C式0，说明：；为相反数，这是公式一很重要特点，理解求和公式(n .Sn)在二次函数的注

4、意前提条件q式0, q式1。)若B -A,说明：图象上，是一群孤立的点。等比数列an,Sn=3n+a，则a一，an为递增数列二an为递增数列二：an为递减数列吕增减性 an为递减数列=:an为常数列 u:an为常数列二。an为摆动数列二:任意两个数a, b有且只有一个等差中项，即为：两个数的等差中项就是这两个数的算术平均数。两个数a,b的等比中项为(ab a 0) ?ai *an =a2 +*an_maiGn =a21-an_m= = 2a中2= = a中若m +n = p +q，贝y:若m + n = p+ q，贝U-_ ?特别当m + n = 2 p，贝U:特别当m + n = 2p，则等

5、差(比)数 列的性在等差数列中，每隔相同的项抽出来的在等比数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列仍项按照原来的顺序排列，构成的新数列然是等差数列，但剩下的项按原顺序构仍然是等比数列，剩下的项按原顺序构隹齿来斤万干 牛曰、举粉石质成的数列不定是等差数列。成的数列也不定是等比数列。如:印耳忌,:问公差为女口：ai，a3，a5,：问公比为印+a?+a3,a4乜+a6 +a$+agai+a?+a3,a4+a+a6,a7+a$+ a9是数列：公差为：是数列：公比为-?Sm, S2_ Sm, S3_ S2m,成等差数aia2a3a4a5a6a7a8a9列。是数列；公比为-4 -a|+

6、&7,&2+&5+&8,&3+&9是数列；公差为；ai + + a?, a? + a$,+ a+ a?是数列；公比为；若数列an与bn均为等差数列，则ma.+kbn仍为等差数列，公差为 _；右数列an与bn均为等差数列，则manbn仍为等比数列，公比为：man仍为等比数列，公比为；bn如: (1 1)在等差数列an中Sn=10,务=30，则 务-_(2 2)在等比数列an中Sn=10,S2n=30，则 务=_另外，等差数列中还有以下性质须注意：(1)等差数列a.中，若an= m,am= n(m = n)，贝Uamm=_；(2)等差数列an中，若S

7、n=m,Sm= n(m = n),则Sm寸二_ ;(3)等差数列an中，若Sn- 5m(m：n),则am 1 am 2 ，an =-；5m n(4)若SP= Sq，贝yn =_时，Sn最大。(5(5)若an与bn均为等差数列，且前 n n 项和分别为Sn与Tn,则ambm间的两项)项数为奇数2n -1的等差数列an，有S2nd二(2n - 1囘(a.为中间项)等比数列中还有以下性质须注意:ambn(6)项数为偶数2n的等差数列an,有S2nn(a1- a2n)2(an an 1)(an与an1为中S偶-5 -(1)若an是等比数列，则 -an( = 0),| an|也是等比数列，公比分别_12

8、（2 2）若an是等比数列，则,an也是等比数列，公比分别 _ ； _an三、 判定方法：（1 1） 等差数列的判定方法：1定义法：an牛an二d或anan=d（ n_2）（d为常数）二an是等差数列2中项公式法：2an,二an an.2 = an是等差数列3通项公式法：an= pn q（p,q为常数）：=an是等差数列4前n项和公式法：Sn=An2 Bn（代B为常数）：=an是等差数列注意：是用来证明an是等差数列的理论依据。（2 2） 等比数列的判定方法：aa1定义法：n 1= q或n= d（n _ 2）（q是不为零的常数）=an是等比数列anan J22中项公式法：an.1anan.2（

9、anan何.2）二an是等差数列3通项公式法：an二cqn（c,q是不为零常数）=an是等差数列2彳4前n项和公式法：Sn=kq -k（k-是常数）二an是等差数列q -1注意：是用来证明an是等比数列的理论依据。四、 数列的通项求法：（1 1） 观察法：如：（1 1） 0.20.2, 0.220.22 , 0.2220.222,（2 2） 2121, 203203, 20052005, 2000720007,（2 2） 化归法：通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列。1递推式为an彳=an d及an彳=qan（d ,q为常数）：直接运用等差（比）数列。2递推式为ananf （n）:迭加

10、法1 1女口：已知a*中a1,a* -1= a* 2，求a*24n 13递推式为anJ= f （n） an:迭乘法-6 -n +1女口：已知an中a1=2,an1，an，求ann4递推式为anr= panq（p, q为常数）：-7 -an* = pan+q构造法：i、由丿相减得(an羊an#) = p(an44 an)，则丄and2=pan卡+qan 1-an为等比数列。n、设 &it)二p(ant)，得到pt -1= q,t =，则a. q p 1p 1为等比数列。如：已知ai=1 an i=2an 5，求an递推式为an勺=panqn（p,q为常数）两边同时除去qn1得旦料an丄，

11、令bn二*，转化为bn.bn -，q q q qqq q再用法解决。511 *如：已知an中，a-，an 1an （-）n，求a.632递推式为an 2= pan 1qan（p, q为常数）：s +1 = p将a =pan+qan变形为a. ta. = s（a - tan），可得出丿解出.st=qs,t，于是an 1-tan是公比为s的等比数列。（3）公式法：运用an=五、数列的求和法：（1 1）公式法：等差（比）数列前n项和公式：1+2+3+ n=_；122232n2二1）（2n 1:132333n3血1）26 2如：已知an中，a1an 22an 13如，求an已知 &=3n2 5

12、n 1，求an；已知an中,Sn =3*2an，求已知an中,a1=1,an2和2Sn-1(n - 2)，求an-8 -（2 2）倒序相加（乘）法：如：求和：Sn =C：+2C：+3C；+ +（n +1）C：；-9 -已知a,b为不相等的两个正数，若在a,b之间插入n个正数，使它们构成以a为b为末项的等比数列，求插入的这n个正数的积Fn；(3(3)错位相减法:如：求和：S = x 2x2- 3x3亠亠nxn(4(4)裂项相消法:n(n k)(5(5)(6(6)如：Sn (n 1)1+-+3 51+-n (n 2)若an并项法：如：求s100=1 2 34:3-99100拆项组合法：如：在数列an中，a10n2n-1,求Sn，六、数列冋题的解题的策略:(1 1)分类讨论问题：在等比数列中，用前n项和公式时，要对公比q进行讨论；只有q = 1时才能用前n项和公式，q = 1时S|二na已知Sn求an时，要对n =1, n一2进行讨论；最后看 印满足不满足an(n 2)，若满足an中的n扩展到N*，不