第二章附录-拉氏变换

1、一一.拉氏变换拉氏变换1.定义：设函数定义：设函数f(t)当当t0时有定义，而且积时有定义，而且积分分 存在，则称存在，则称F(s)是是f(t)的拉普拉斯变换。的拉普拉斯变换。 简称拉氏变换。记为简称拉氏变换。记为nf(t)称为称为 F(s)的拉氏逆变换。记为：的拉氏逆变换。记为：0)()(dtetfsFst)()(tfLsF)()(1sFLtfn2.常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换q 单位阶跃函数单位阶跃函数1(t) 10tf(t)单位阶跃函数单位阶跃函数0100)( 1ttt)0)(Re(101 )(1)(10ssesdtettLststq 指数函数指数函数atetf)(（a为常数）为

2、常数）指数函数指数函数0tf(t)1)0)(Re(,1 0)(0asasdtedteeeLtasstatatq 正弦函数与余弦函数正弦函数与余弦函数 正弦及余弦函数正弦及余弦函数10tf(t)f(t)=sin tf(t)=cos t-10sinsindtettLst0coscosdtettLst由欧拉公式，由欧拉公式，有：有： tjtjtjtjeeteejt21cos21sin0)Re(112121sin2200ssjsjsjdteedteejtLsttjsttj从而：从而：22cossstL同理：同理：q 单位脉冲函数单位脉冲函数 ( (t t) ) 0tf(t)单位脉冲函数单位脉冲函数 1

3、 )0(1lim)0(0)(0tttt且)1 (1lim1lim)(000sstesdtetL)()1 (lim)1 (1lim00seesss由洛必达法则：由洛必达法则：1lim)(0setL所以：所以：q 单位速度函数（斜坡函数）单位速度函数（斜坡函数） 10tf(t)单位速度函数单位速度函数1000)(ttttf0)Re(1)(2000ssdtsesetdttetfLstststq 单位加速度函数单位加速度函数02100)(2ttttf0)Re(121)(302ssdtettfLst单位加速度函数单位加速度函数0tf(t)函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏变换函数的拉氏变换及反变换通常

4、可以由拉氏变换表直接或通过一定的转换得到。表直接或通过一定的转换得到。 几个重要的拉氏变换几个重要的拉氏变换f(t)F(s)f(t)F(s)(t)1sinwt1(t)1/scoswt t1/(s+a)21 sate)(22wsw)(22wsswteatsinwteatcos22)(wasw22)(wasasn3.拉氏变换的基本性质拉氏变换的基本性质 (1)线性性质线性性质 原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。氏变换之和。 (2)微分性质微分性质 若若 ，则有，则有f(0)为原函数为原函数f(t) 在在t=0时的初始值。时的初始值。)()()()(

5、2121tfbLtfaLtbftafL)()(sFtfL)0()()(fssFtfL 证：根据拉氏变换的定义有证：根据拉氏变换的定义有 原函数二阶导数的拉氏变换原函数二阶导数的拉氏变换依次类推，可以得到原函数依次类推，可以得到原函数n阶导数的拉氏阶导数的拉氏变换变换) 0()()()()()(000fssFetfdtetfsdtetftfLststst)0()0()()0()0()()0()()(2fsfsFsffssFsftfsLtfL ) 0 () 0 () 0 ()()(121nnnnnffsfssFstfL(3)积分性质积分性质 若若 则则 式中式中 为积分为积分 当当t=0时的值。时

6、的值。证：设证：设 则有则有 由上述微分定理，有由上述微分定理，有dttfth)()()()(sFtfLsfssFdttfL)0()()(1dttf)()0(1f)()(tfth)0()()(hthsLthL)0(1)(1)0(1)(1)0(1)(1)(1fssFshstfLshsthLsthL即：即：同理，对同理，对f(t)的二重积分的拉氏变换为的二重积分的拉氏变换为若原函数若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于及其各重积分的初始值都等于0则有则有 即原函数即原函数 f(t)的的n重积分的拉氏变换等于其象重积分的拉氏变换等于其象函数除以函数除以 。 sfssFdttfL)0()()(1)

7、(1)(sFsdttfLnn )0(1)0(1)(1)()2()1(222fsfssFsdttfLns（4）.终值定理终值定理原函数的终值等于其象函数乘以原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。的初值。证：由微分定理，有证：由微分定理，有等式两边对等式两边对s趋向于趋向于0取极限取极限)(lim)(lim0ssFtfst)0()()()(0fssFdtetftfLst)(lim)(lim)0()(lim)0()(lim)0()(lim)()()(lim)(lim000000000ssFtffssFfssFftftfdttfdtetfdtetfstsststssts右边左边注：若注：若 时时f(t

8、)极限极限 不存在，不存在，则不能用终值定理。如对正弦函数和余弦则不能用终值定理。如对正弦函数和余弦函数就不能应用终值定理。函数就不能应用终值定理。(5)初值定理初值定理：证明方法同上。只是要将证明方法同上。只是要将 取极限。取极限。(6)位移定理位移定理：a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延实域中的位移定理，若原函数在时间上延迟迟 ，则其象函数应乘以，则其象函数应乘以t)(limtft)(lim)(lim0ssFtfst)()(sFetfLs sesb.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a，原函数应乘以原函数应乘以 即：即：(7)时间比例尺定理时间比

9、例尺定理 原函数在时间上收缩（或展宽）若干倍，原函数在时间上收缩（或展宽）若干倍，则象函数及其自变量则象函数及其自变量都都增加（或减小）同增加（或减小）同样倍数。即：样倍数。即： 证：证：)()(asFtfeLat)()(asaFatfL)()(,/)()(00asaFadefatdteatfatfLsast则原式令ate(8)卷积定理卷积定理 两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函数的乘积。数的乘积。即即证明：证明：)()()()(21021sFsFdftfLt02102110 021021)()( 1)()()(0)( 1)()()()()(dfttf

10、dftfttftdtedftfdftfLtsttt时， 即得证。则令)()()()()()()()(,)(1)()()()(1)()()(1201020)(10202101020021021sFsFdefdefdefdfdftfLtdtettfdfdtedfttfdftfLssstststt二二.拉氏反变换拉氏反变换 1. 定义：从象函数定义：从象函数F(s)求原函数求原函数f(t)的运算的运算称为拉氏反变换。记为称为拉氏反变换。记为 。由由F(s)可按下式求出可按下式求出 式中式中C是实常数，而且大于是实常数，而且大于F(s)所有极点的所有极点的实部。实部。 直接按上式求原函数太复杂，一般都

11、用查直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能直接查到的原函数的形式。必须是一种能直接查到的原函数的形式。 )(1sFL)0()(21)()(1tdsesFjsFLtfjCjCst 若若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要不能在表中直接找到原函数，则需要将将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些展开成若干部分分式之和，而这些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。部分分式的拉氏变换在表中可以查到。例例1：例例2：求：求 的逆变换。的逆变换。解：解：abeetfbsasabbsassFbtat)()11(1)(1)(则t

12、etsFLtfssssssF1)()(1111) 1(1)(122) 1(1)(2sssF例例3.ttteetfssssFcbacssbssascsbsasFsssF1)()1(1111)(1, 1, 11)1()1()1(1)()1(1)(2222对应项系数相等得则解：的逆变换2. 拉式反变换拉式反变换部分分式展开式的求法部分分式展开式的求法n（1）情况一）情况一:F(s) 有不同极点有不同极点,这时这时,F(s) 总总能展开成如下简单的部分分式之和能展开成如下简单的部分分式之和)()()()(1111110nmasasasbsbsbsbsDsMsFnnnnmmmmnnpscpscpscsF

13、2211)(ipsiiiipssDsMccsDnip)()()(,0)(), 2 , 1(是常数的根是式中321)3)(2)(1(1)(:1321scscscssssF例tttssseeetfssssFsssscsssscssssc3233221110115161)(31101211511161)(101)3()3)(2)(1(1151)2()3)(2)(1(161)1()3)(2)(1(1n（2）情况）情况2:F(s)有共轭极点有共轭极点例例2：求解微分方程：求解微分方程1) 0 () 0 (, 054 yyyyy为零）拉氏变换（初始条件不则微分方程两边同时取teteysssssssssss

14、FsFfssFfsfsFsttsin3cos1)2(31)2(21)2(321)2(5545)(0)(5)0(4)(4)0()0()(22222222n（3）情况）情况3:F(s)有重极点有重极点,假若假若F(s)有有L重极重极点点 ,而其余极点均不相同。而其余极点均不相同。那么那么11)()()()()()()()()()()(11111111111psllpsllnnllllllpssDsMdsdbpssDsMbpscpscpsbpsbpsbsDsMsF式中1p仍按以前的方法计算系数,)()()()!1(1)()()(!1,1111111nlpsllpsliilccpssDsMdsdlbp

15、ssDsMdsdib的其余互异极点。是式中0)(), 1()()()(sDnljppssDsMcjpsjjj1)()1() 1() 1(11) 1() 1(11) 1() 1() 1(1)(.0)0()0()0(, 133:3121133213334122333)3( ssssssdsdsssdsdbsssbscsbsbsbsssFyyyyyyy求微分方程例tttsseteetysssssFssscsb2230313121111) 1(1) 1(11)(1) 1(11)2(! 21n如果不记公式如果不记公式,可用以下方法求解可用以下方法求解1, 1, 1, 11)3()23(1) 1() 1(

16、) 1(1) 1() 1() 1(1)(32132123233323213322313bbbaasbbbasbbasbasssbssbsbsasbsbsbsasssF也可得解。也可得解。三三.传递函数传递函数 1.定义：零初始条件下，系统输出量的拉定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换的比值叫该系统氏变换与输入量拉氏变换的比值叫该系统的传递函数，用的传递函数，用G(s)表示。表示。 设线性定常系统（元件）的微分方程是设线性定常系统（元件）的微分方程是)()()()()()()()(1111011110trbtrdtdbtrdtdbtrdtdbtcatcdtdatcdtdatc

17、dtdammmmmmnnnnnn c(t)为系统的输出，为系统的输出，r(t)为系统输入，则零为系统输入，则零初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到系统传递函数为：到系统传递函数为：nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG11101110)()()(即是系统的特征方程。0)()(1110sNasasasasNnnnn分母中分母中S的最高阶次的最高阶次n即为系统的阶次。即为系统的阶次。 因为组成系统的元部件或多或少存在惯性，因为组成系统的元部件或多或少存在惯性，所以所以G(s)G(s)的分母次数大于等于分子次数，即的分母次数大于等于分子次数，即

18、 , ,若若mn,mn,我们就说这是物理不可实现的我们就说这是物理不可实现的系统。系统。是传递函数的极点。的根是函数的零点，的根，称为传递是0)()2 , 1(0)()2 , 1()()()()()()()(210210sNnipssMmizspspspsazszszsbsNsMsGiinmmn 2.性质性质 (1)传递函数与微分方程一一对应。传递函数与微分方程一一对应。 (2)传递函数表征了系统本身的动态特性。（传递传递函数表征了系统本身的动态特性。（传递函数只取决于系统本身的结构参数，而与输入函数只取决于系统本身的结构参数，而与输入和初始条件等外部因素无关，可见传递函数有和初始条件等外部因

19、素无关，可见传递函数有效地描述了系统的固有特性。）效地描述了系统的固有特性。） (3)只能描述线性定常系统与单输入单输出系统，只能描述线性定常系统与单输入单输出系统，且内部许多中间变量的变化情况无法反映。且内部许多中间变量的变化情况无法反映。 (4)如果存在零极点对消情况，传递函数就不能正如果存在零极点对消情况，传递函数就不能正确反映系统的动态特性了。确反映系统的动态特性了。 (5)只能反映零初始条件下输入信号引起的输出，只能反映零初始条件下输入信号引起的输出，不能反映非零初始条件引起的输出。不能反映非零初始条件引起的输出。 例例1：RC电路如图所示电路如图所示依据：基尔霍夫定律依据：基尔霍夫

20、定律 消去中间变量消去中间变量 ，rucuRCti)()()(tutRitucrdttduCtiC)()()(ti则微分方程为：则微分方程为：)()()(tutudttduRCrcc可用方框图表示可用方框图表示例例2.双双T网络网络)(sG)(sR)(sC11RCs)(sur)(sucrucu1C2C1R2R1i2i1u对上式进行零初始条件下的拉氏变换得：对上式进行零初始条件下的拉氏变换得：11)()()(RCssususGrc解：方法一：根据基尔霍夫定理列出下列微解：方法一：根据基尔霍夫定理列出下列微分方程组：分方程组：dttictutiRtutudttitictutiRtutuccr)(1

21、)()()()()()(1)()()()(222212111111方程组两边取零初始条件下的拉氏变换得：方程组两边取零初始条件下的拉氏变换得：)(1)()()()()()(1)()()()(222212111111sIsCsusIRsususIsIsCsusIRsusuCCr1)(1)()(21221122211sCRCRCRsCRCRsusurC传递函数为消去中间变量后，得到方法二：用复阻抗比：方法二：用复阻抗比：1)(1111111)1(11)()(21221122121222112212211sCRCRCRsCCRRsCRsCsCsCsCRsCsCRsCRsusurC2221122111111)1/(1)()(sCRsCsCSCsCRsCRsusurc 注意：双注意：双T网络不可看成两个网络不可看成两个RC网络的串网络的串联，即：联，即：)1)(1(1)()(11)()(,11)()(2211222112sCRsCRsususCRsususCRsusurccr得R1R2urC1C2ucu2 与双与双T网络相比少一个交叉项网络相比少一个交叉项R1C2S，这就是，这就是负载效应，因此双负载效应，因此双T网络不能孤立地分开，必