专题二：立体几何---线面垂直、面面垂直

1、实用文档专题二：立体几何一线面垂直、面面垂直一、知识点(1)线面垂直性质定理(2)线面垂直判定定理(3)面面垂直性质定理(2)面面垂直判定定理线面垂直的证明中的战线技巧通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直1 .如图1,在正方体ABCD AB1clD1中，M为CC1的中点，AC交BD于点Q求证：A1O _L平面MBD证明：连结 MO A1M , . DBL AA, DBL AC A1AD AC = A,DBL平面 AACC1 ,而 AO 二平面 AACGDBL AQ .33设正方体棱长为a,则AO2=3a2, MO2 =-a2.24在A1clM 中，AM2=9a2. A1O2+MO 2 = AM4

2、AO_LOM. OM DB=QAO,平面 MBD评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明.利用面面垂直寻求线面垂直2 .如图2, P是 ABC所在平面外的一点，且 PAL平面 ABC平面PACL平面PBC求 证：BCL平面PAC证明：在平面 PACMADL PC交PC于D.因为平面PACL平面PBC且两平面交于 PCAD仁平面PAC且ADL PC 由面面垂直的性质，得 ADL平面PBC 又BCU 平面 PBC . . ADL BC. PAL平面 ABC BC。平面 ABC PAIBC. Am PA=A, . BCL 平面 PAC评注：已知条件是线面垂直和面面垂直

3、，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直， 即从线面垂直得到线线垂直.在 空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直二线面垂直 二线线垂直.一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直可以互相转化，从前面判定判定二声 线面垂直二个 面面垂直.这三者之间的关系非常密切，推出后面是判定定理， 而从后面推出前面是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.下面举例说明.3 .如图1所示，ABCD为正方形， SA，平面 ABCD过A且垂直于 SC的平面分别交SB SC, SD于 E,

4、F, G .求证:AE_LSB, AG _L SD .证明：SA _L平面ABCDSA_LBC .用 _BC , BC_L 平面 SAB 又.AE 匚平面 SAB BC JAE .SC_L平面 AEFG，SC_L AE . . . AE _L 平面 SBC . . AE 1 SB.同理可证 AG 1 SD .评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化.4 .如图2,在三棱锥 ABC碑，BC= AC AD= BQ作BE! CD E为垂足，作 AHL BE于H .求证：AHL平面

5、BCD 证明：取AB的中点F,连结CF DF. AC = BC, . . CF .LAB.AD = BD , DF .L AB .又 CF 门 DF = F , AB _L 平面 CDF. CD 匚平面 CDF CD _L AB .又 CD_LBE, BEnAB = B, CD _L 平面 ABE CD _L AH . AH .L CD , AH _L BE, CDnBE = E,AH _L 平面 BCD评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直.如此反复，直到证得结论.5 .如图3, AB是圆O的直径，C是圆周上一点， PA_L平

6、面ABC若AE! PC, E为垂足,F是PB上任意一点，求证：平面 AEn平面PBC 证明：AB是圆O的直径，AC_LBC.（：图3. PA上平面ABC BC仁平面ABCPA_LBC. . . BC，平面 APCBC二平面PBC 平面 APCL平面PBC . AE PC 平面 AP 平面 PBC= PC .AE平面 PBC AE 二平面 AEF 平面 AEF平面 PBC评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平 面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻 找线线垂直的关系.10.如图，在空间四边形 SAB8,SA平面ABC ZABC= 90 1 ANSB于N AMSC

7、于 M 求证：ANBC;SC.平面ANM分析：要证ANLBC转证，BCL平面SAB要证SQL平面ANM转证，SC垂直于平面 ANM内的两条相交直线，即证SCLAM SCAN要证SCAN转证ANL平面SBC就可以了。证明： SAL面 ABC:.SA_BC又.BCAB 且 AB SA = A. BCJ_面 SABAN平面SAB . ANBC. ANBC ANSB 且 SB BC= B .AN_平面 SBC. SCCF面 SBCAN_SC又. AMLSC 且 AM AN= A.SCJ_平面 ANM平面SABL平面SBC例2如图9 40,在三棱锥 SABC中，SA，平面ABG图 940(1)求证：AB

8、 BC;(1)【证明】作 AHU SB于H, 平面SAB1平面SBC平面 平面SBG又SAL平面 ABC SAI BG而SA在平面SBC上的射影为BC，平面 SABBCAB.SABA 平面 SBC=SB AHIB BC SB,又 SAP SB=S例3如图9-41, PAL平面ABCD四边形ABCD矩形, PC的中点.PPA=AD=a M N分另1J是ARM图 941求证：平面MND_平面PCD工【证明】取PD中点E,连结EN EA,则EN 2 CD 边形，EA/ MNAE PD, AE CD, . .AEl平面 PCD 从而 MNL平面 PCD ，平面PCD【注】 证明面面垂直通常是先证明线面

9、垂直，本题中要证M，四边形ENMA平行四 MN=平面 MND) . .平面 MNDMNL平面PCD较困难，转化图 942求证：平面MNF_平面ENF为证明AH平面PC刖较简单了.另外，在本题中，当AB的长度变化时，可求异面直线 PC 与AD所成角的范围.例 4如图 9 42,正方体 ABCD-ABQDi 中，E、F、M N分别是 AB、BC C1D1、BQ 的中点.F【证明】: M N E是中点，EBi=BiN=NCi=GM ./ENB =/MNC 1 =45/MNE =90 口即 MNL EN 又 NF，平面 AC, MN 匚平面 AiCi，MNL NF,从而 MNL 平 面ENF MN仁平

10、面 MNF平面MNFL平面ENF.4.如图9-45,四棱锥P-ABCD勺底面是边长为 a的正方形，PA1底面ABCD E为AB 的中点，且PA=AEP”/图 945(1)求证：平面 PCEL平面PC。(2)求点A到平面PCE的距离.(1)【证明】PA!平面ABCD AD是PD在底面上的射影，又.四边形 ABCD为矩形，CDL AD,CDL PR ADA PD=D . CDL面 PAR . . / PDA为二面角P- CD- B的平面角， PA=PB=AD PAX AD-. / PDA=45 ,取 RtPADM 边 PD 的中点 F,则 AH PD, / AF c 面 PAD . .CDLAF,

11、11又 PDA CD=D.AF,平面 PCD 取 PC的中点 G,连 GF、AG EG 贝U GF 2 CDX AE 2 c口.GF AE.四边形 AGEF为平行四边形，AF/ EG，平囿PECL平囿PCD(2)【解】由(1)知AF/平囿PEC平囿PCDL平囿EG,平囿 PDCX EG J 平囿 PEGPEC 过 F 作 FHI PC于 H,贝U FH，平面PECFH为F到平面PEC的距离，即为 A到平面PEC的距离.在 PFH与 PCD中，/ P 为公共角，FH _ PF而/ FHP=Z CDP=90 , .PFIH PCD. CD PC ,设 AD=2,. PF=V2 ,PCAPD2 +C

12、D2 =、84 =2”反，2 2 _ _6_6，FH=2、33 .A到平面PEC的距离为 3 .【拓展练习】一、备选题1.如图，AB是圆。的直径，C是圆周上一点，PA1平面ABC(1)求证：平面 PACL平面PBQ(2)若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各 对平面.D(1)【证明】: C是AB为直径的圆。的圆周上一点，AB是圆O的直径BC AC;又PAL平面 ABC BC平面ABG .BC! PA,从而 BC1平面 PAC BC仁平面PBC 平面PACL平面PBC(2)【解】平面 PACL平面 ABCD平面PACL平面 PBC平面 PADL平面 PBD平面

13、PAB ，平面 ABCD)平面 PADL平面 ABCD2. ABC-A B C是正三棱柱，底面边长为1=2 a, EC= a.(1)求证：平面 ADEL平面 ACC A ;(2)求截面 ADE的面积.a, D, E分别是BB , CC上的一点，BDcfDBNA(1)【证明】分别取 A C、AC的中点M贝U MIN/ A AW B B,.B、M N、B共面，: M为 A C 中点，AA,且 AA n A C =A.B Ml平面 A ACC .设 MN AE于 P,N,连结MNB C =B A ,B Ml A C,又 B M. CE= AC, .1. PN= NA= 2 .1又 DB= 2 a,P

14、N= BD. PN/ BD,PNBD矩形，于PD/ B M是 PD/ BNBN/ B M,. B Ml平面 ACC A ,.PD1平面ACC A),而PD仁平面ADE， ,平面ADEL平面ACC A .(2)【解】PDL平面ACC A,、，3PDAE,而 PD= B AE=亚 a.1M= 2 a,S；aad2 X AEX PD1、2a 心 6 2 a = a4二、练习题线面垂直专题练习一，定理填空：1.直线和平面垂直如果一条直线和,就说这条直线和这个平面垂直.2,线面垂直判定定理和性质定理线面垂直判定定理.如果一条直线和一个平面内的两条相交个平都垂的，那相这条直线垂直 于这个平面判定定理如果阴

15、条平行线中的一某.干一个平面,那么判定定理，一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么.性质定理3：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这诙条直线.二、精选习题】1.设M表示平面，人匕表示直线，给出下列四个命题：、口!母 . T r Afl 皿 AfJUM I ,a LM |AfJa _Lb Ja Z? |其中正确的命题是（）A 幽 BC. D （DgL如图所示，在正方形aSCD中，瓦产分别是BC的中鬼，现在沿 环 DF及EF把&A口趴 ADD产和EEF折起，便总、夙C三点重合，重合后的点记为总那么，在四面体产一QE尸 中，必有 （）第3题图A.aPl平面 FEF BQAf_L平面 FEF平面

16、IXFFl平面 9EF3.设明匕是异面直线，下列命题正确的是（）A.过不在口、匕上的一点0一定可以作一条直线和口、射都相交出过不在。、匕上的一点P一定可以作一个平面和以 6都垂直C.过& 一定可以作一个平面与心垂直口 .过& 一定可以作一个平面与b平行4,如果直线1附与平面口F#满足:J千dmu a和切口，那么必有 （）A,a7 # /_LmB.u上/且用/p Cm 邻且D o.邠且&上,5 一有三个命题：诞直于同一个平面的两条直线平行；S平面的一条斜线/有且仅有一个平面与a垂直：酬面直线队5不垂直，那么过口的任一个平面与8都不垂直其中正确命题的个数为（ ）A.O BlCl D.36 .设入军

17、为直线,也为平面，且/Lg给出下列命题 若则两)：若制JJ,则可依t；管办 M m JJ； m/l,则汨_La,其中真命题的序号是 () A & kA.B,C.g)D,二如图所示、三棱锥内W3C中工侧面 用仃且H是在C的垂心，FE是空边上的高.求证PC14F.C8.如图所示，以，矩形/BCD所在平面，M,附分别是H又PC(1)求证t MW7平面RID0)求证：M7J_CD(3)若上PZM = 45。，求证：AfALL平面尸DD上已知直三楂柱/3G4,闰5中，HE=90%/AC=30，FC=1, 44尸诟，M是 81的中点, 求证士 A5i _L4|Mb10一如图所示，正方体月5。430方的棱长为和何是从。的中点,N是BDOt一点，且DrN :NB =1 ：2, MC 与 BD 交于 P.(1)求证：板_|_平面HECD便)求平面严加0与平面OCRQ所成的角一面面垂直专题练习一.定理填空面面垂直的判定定理方二 精选习题1.正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角后，AB与CD所成的角等于2、三楂椎尸-.北。的三条侧棱相等，则点P在平面ABC上的射影是AABC的 心.3、一条