专题二 直线、平面平行与垂直的判断、证明

1、专题二 直线、平面平行与垂直的判断、证明 知识体系（四大块）平行线线平行线面平行面面平行 垂直线线垂直线面垂直面面垂直 夹角异面直线所成角所成角线面角面面角 距离基本知识点一定理与性质（一）平行线线平行：1.平行四边形2.中位线3.线面平行线线平行如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 符号语言：a，a，lal.注意：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行4.面面平行线线平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交,则它们的交线平行. 符号语言：，a，bab.5.线面垂直线线平行垂直于同一平面的两条直线

2、平行; 符号语言：a，bab；线面平行：1.线线平行线面平行如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 符号语言：a，b，且aba；注意：一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误2.面面平行线面平行 如果两个平面平行，那么在一个平面内所有直线都平行于另一个平面符号语言：；aa.面面平行：1. 线面平行面面平行如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 符号语言：a，b，abM，a，b；2推论：符号语言：abM，a，b，abM，a，b，aa，bb.3线面垂直面面平行垂直于同一直线的两平面平行符号语言：a，a. （二）垂直线线垂直共面 1.

3、等腰三角形 2.勾股定理 异面 3.线面垂直线线垂直 直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线 符号语言：a，bab； 4.三垂线定理三垂线定理：如果平面内一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 符号语言：已知PA、PO分别是平面的垂线、斜线，AO是PO在平面 内的射影，且a, ,则 三垂线逆定理：如果平面内一条直线和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。 符号语言：已知PA、PO分别是平面的垂线、斜线，AO是PO在平面 内的射影，且a, ,则线面垂直：1.线线垂直线面垂直如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直符号语言：l；2.

4、平行线垂直平面的传递性如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面符号语言：mn,m,则n 3.面面垂直线面垂直如果两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：，l，a，ala.4.面面平行线面垂直如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线符号语言：,m,则m5.面面垂直线面垂直 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 符号语言：，l，a，ala.面面垂直：1.线面垂直面面垂直如果一条直线与一个平面垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面. 符号语言：a，a.二空间向量(一）空间向量的坐标表

5、示及运算1.数量积的坐标运算设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则a±b(a1±b1，a2±b2，a3±b3)；a(a1，a2，a3)；a·ba1b1a2b2a3b3.注意：向量是既有大小又有方向的量，而用坐标表示向量是对共线向量定理、共面向量定理和空间向量基本定理的进一步深化和规范，是对向量大小和方向的量化：以原点为起点的向量，其终点坐标即向量坐标；向量坐标等于向量的终点坐标减去其起点坐标2.共线与垂直的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ababa1b1，a2b2，a3b3(R)，aba·b0

6、a1b1a2b2a3b30(a，b均为非零向量)3.模、夹角和距离公式设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则|a|，cosa，b.设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则dAB|.（空间两点的计算公式）（二）立体几何中的向量方法1直线的方向向量与平面的法向量的确定直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为2用向量证明空间中的平行关系设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2(或l1

7、与l2重合)v1v2.设直线l的方向向量为v，与平面共面的两个不共线向量v1和v2，则l或l存在两个实数x，y，使vxv1yv2.设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则l或lvu.设平面和的法向量分别为u1，u2，则u1u2.3用向量证明空间中的垂直关系设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2v1v2v1·v20.设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则lvu.设平面和的法向量分别为u1和u2，则u1u2u1·u20. 基本题型题型一 证明线面平行例题：1. 如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点

8、求证：MN平面A1BD.证明法一如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是，设平面A1BD的法向量是n(x，y，z)则n·0，且n·0，得取x1，得y1，z1.n(1，1，1)又·n·(1，1，1)0，n，又MN平面A1BD，MN平面A1BD.2.如图所示，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PA AD2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点求证：PB平面EFG. 证明平面PAD平面A

9、BCD且ABCD为正方形，AB、AP、AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz，则A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0)(2,0，2)，(0，1,0)，(1,1，1)，设st，即(2,0，2)s(0，1,0)t(1,1，1)，解得st2.22，又与不共线，、与共面PB平面EFG，PB平面EFG.题型二 证明线线、线面垂直1.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60°，PAABBC，E是PC的中

10、点证明：(1)AECD；(2)PD平面ABE.证明AB、AD、AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PAABBC1，则P(0,0,1)(1)ABC60°，ABC为正三角形C，E.设D(0，y,0)，由ACCD，得·0，即y，则D，.又，·××0，即AECD.(2)法一P(0,0,1)，.又·××(1)0，即PDAE.(1,0,0)，·0，PDAB，又ABAEA，PD平面AEB.法二(1,0,0)，设平面ABE的一个法向量为n(x，y，z)，则令y2，则z，n(0,2，)，显然n.n，平面ABE，即

11、PD平面ABE.DABPCE2（2012大纲文）如图,四棱锥中,底面为菱形,底面,是上的一点,.证明:平面;解:设,以为原点,为轴,为轴建立空间直角坐标系,则设. 证明:由得, 所以,所以, .所以, ,所以平面; 作业;1.（2012湖南理）如图5,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,ABCDPE图5DAB=ABC=90°,E是CD的中点.()证明:CD平面PAE;【解析】 如图(2),以A为坐标原点,所在直线分别为建立空间直角坐标系.设则相关的各点坐标ABCDPE图 xyz345h为: ()易知因为 所以而是平面内的两条相交直线,所以 2（20

12、12广东理）如图5所示,在四棱锥中,底面为矩形,平面,点在线段上,平面.()证明:平面;解析:()因为平面,平面,所以.又因为平面,平面,所以.而,平面,平面,所以平面. 3（2012福建理）如图,在长方体中为中点.()求证:()在棱上是否存在一点,使得平面?若存在,求的长;若不存在,说明理由.【考点定位】本题考查直线与直线、直线与平面以及二面角等基础知识、考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归的思想. 解:(1)以点A为原点建立空间直角坐标系,设,则 ,故 (2)假设在棱上存在一点,使得平面,则 设平面的法向量为,则有,取,可得,要使平面,

13、只要 ,又平面,存在点使平面,此时. 4（2012北京理）如图1,在RtABC中,C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且DEBC,DE=2,将ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A1CCD,如图2. (1)求证:A1C平面BCDE;(3)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由. 【考点定位】此题第二问是对基本功的考查,对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利解答.第三问的创新式问法,难度非常大. 解:(1), 平面, 又平面, 又, 平面 (2)如图建系,则, , 设平面法向量为,则 又 与平面所成角的大小 (3)设线段上存在点,设点

14、坐标为,则则, 设平面法向量为,则 假设平面与平面垂直,则, 不存在线段上存在点,使平面与平面垂直 5.（2010辽宁理） 已知三棱锥PABC中，PAABC，ABAC，PA=AC=½AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.（）证明：CMSN； 证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,0）.4分（）,因为，所以CMSN 6分6.如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，点是棱的中点.（）证明：平面； 7. 如图, 在直

15、三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AA14，点D是AB的中点， （I）求证：ACBC1； （II）求证：AC 1/平面CDB1；ABCA1B1C1Exyz解析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行.直三棱柱ABCA1B1C1底面三边长AC3，BC4，AB 5，AC、BC、C1C两两垂直，如图，以C为坐标原点，直线CA、CB、C1C分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则C（0,0，0），A（3,0，0），C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，4），D（，2,0）（1）（3,0，0），（0，4,0），0，ACBC1.（2）设CB1与C1B的交战为E，则E（0,2，2）.（，0,2），（3,0，4），