高中数学2-3-12-3-2变量之间的相关关系、两个变量的线性相关课件新人教A版必修

1、2.3.1 变量之间的相关关系2.3.2 两个变量的线性相关1.1.会作散点图会作散点图, ,并对变量间的正相关或负相关关系作出直观判并对变量间的正相关或负相关关系作出直观判断断. .2.2.了解最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想了解最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想, ,能根据给能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程3.3.会用线性回归方程进行预测会用线性回归方程进行预测. . 1.1.本课重点是理解变量间的相关关系本课重点是理解变量间的相关关系. .2.2.本课难点是回归直线方程的求解方法本课难点是回归直线方程的求解方法. . 1.

2、1.相关关系相关关系自变量取值一定时，因变量的取值带有一定自变量取值一定时，因变量的取值带有一定_性的两个变量性的两个变量之间的关系，叫做相关关系之间的关系，叫做相关关系. .2.2.散点图的含义及应用散点图的含义及应用将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来, ,得到表示两个得到表示两个变量的一组数据的图形变量的一组数据的图形, ,这样的图形叫做这样的图形叫做_图，利用散点图，利用散点图，可以判断两个变量是否相关，相关时是正相关还是负相关图，可以判断两个变量是否相关，相关时是正相关还是负相关. . 随机随机散点散点对变量对变量x,yx,y有观测数据（有

3、观测数据（x xi i，y yi i）（）（i=1,2,i=1,2,，1010），得散点图），得散点图1 1；对变量；对变量u u，v v有观测数据（有观测数据（u ui i，v vi i）（）（i=1,2,i=1,2,，1010）, ,得散得散点图点图2.2.由这两个散点图可以判断由这两个散点图可以判断. . 变量变量x x与与y_y_，变量，变量u u与与v_.v_.3.3.回归直线与回归直线方程的系数回归直线与回归直线方程的系数如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近, ,我们我们称这两个变量之间具有称这两个变量之间具有_关系关系,

4、 ,这条直线叫做回归直线这条直线叫做回归直线. .回归直线方程为回归直线方程为 其中其中负相关负相关正相关正相关线性相关线性相关 xyb a，nniiiii 1i 1nn222iii 1i 1xxyyx ynxyb,xxxnxaybx.（）（）（）nniii 1i 111xx ,yy .nn1.1.一位母亲记录了儿子一位母亲记录了儿子3 39 9岁的身高，由此建立的身高与年龄岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为的回归模型为 7.19x7.19x73.9373.93，那么这个孩子，那么这个孩子1010岁时的身高岁时的身高是否一定是是否一定是145.83 cm145.83 cm？提示：提示：

5、不一定不一定. .用回归模型用回归模型 7.19x7.19x73.9373.93，只能预测，其，只能预测，其结果不一定是个确定值结果不一定是个确定值 yy2.2.在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是_. .【解析】【解析】图（图（1 1）是函数关系，图（）是函数关系，图（2 2）和图（）和图（3 3）是相关关系，）是相关关系，图（图（4 4）没有相关关系）没有相关关系. .答案：答案：（2 2）（）（3 3） 3.3.对于线性回归方程对于线性回归方程 下列说法中正确的有下列说法中正确的有_个个. .直线必经过点直线必经过点x x增加一

6、个单位时，增加一个单位时，y y平均增加平均增加 个单位个单位样本数据中样本数据中x=0 x=0时，可能有时，可能有y=y=样本数据中样本数据中x=0 x=0时，一定有时，一定有y=y=【解析】【解析】根据回归直线方程的意义，根据回归直线方程的意义，都正确都正确. .而而中，中，样本数据样本数据x=0 x=0时，时，y y的值可能为的值可能为 ，也可能不是，也可能不是 ，故，故正确，正确，错误错误. .答案：答案：3 3 ybxa，x,y（）baaaa1.1.相关关系与函数关系的异同点相关关系与函数关系的异同点 2.2.求回归方程的注意点求回归方程的注意点对于任意一组样本数据，利用公式都可以求

7、得对于任意一组样本数据，利用公式都可以求得“回归方程回归方程”，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的所得的“回归方程回归方程”是没有实际意义的是没有实际意义的. .因此，对一组样本数因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程程. . 相关关系的判断相关关系的判断【技法点拨】【技法点拨】两个变量是否相关的两种判断方法两个变量是否相关的两种判断方法（1 1）根据实际经验：借助积累的经验进行分析判断）根据实际经验：借助积累的经验进行分析判

8、断. .（2 2）利用散点图：通过散点图，观察它们的分布是否存在一）利用散点图：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断定的规律，直观地进行判断. . 【典例训练】【典例训练】1.1.下列关系中下列关系中, ,带有随机性相关关系的是带有随机性相关关系的是_._.正方形的边长与面积之间的关系正方形的边长与面积之间的关系水稻产量与施肥量之间的关系水稻产量与施肥量之间的关系人的身高与年龄之间的关系人的身高与年龄之间的关系降雪量与交通事故的发生率之间的关系降雪量与交通事故的发生率之间的关系 2.2.现随机抽取某校现随机抽取某校1010名学生在入学考试中的数学成绩名学生在入学考试中的

9、数学成绩x x与入学与入学后的第一次数学成绩后的第一次数学成绩y y，数据如下：，数据如下： 问这问这1010名学生的两次数学考试成绩是否具有相关关系？名学生的两次数学考试成绩是否具有相关关系？ 【解析】【解析】1.1.正方形的边长与面积之间的关系是函数关系正方形的边长与面积之间的关系是函数关系. .水稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系水稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系, ,但是具有但是具有相关性相关性, ,因而是相关关系因而是相关关系. .人的身高与年龄之间的关系既不是人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系函数关系, ,也不是相关关系也不是相关关系, ,因为人的年龄达到一定

10、时期身高就因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了不发生明显变化了, ,因而它们不具备相关关系因而它们不具备相关关系. .降雪量与交通降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系事故的发生率之间具有相关关系, ,因此填因此填. .答案：答案： 2.2.两次数学考试成绩散点图如图所示，两次数学考试成绩散点图如图所示， 由散点图可以看出两个变量的对应点集中在一条直线的周围，由散点图可以看出两个变量的对应点集中在一条直线的周围，且且y y随随x x的变大而变大，具有正相关关系的变大而变大，具有正相关关系. .因此，这因此，这1010名学生的名学生的两次数学考试成绩具有相关关系两次数学考试成绩具有相

11、关关系. . 【想一想】【想一想】人的身高与年龄之间一定没有相关性吗？人的身高与年龄之间一定没有相关性吗？提示：提示：在一定年龄段，比如在一定年龄段，比如1818岁之前，人的身高与年龄之间可岁之前，人的身高与年龄之间可以看作具有正相关的关系以看作具有正相关的关系. . 【变式训练】【变式训练】在某地区的在某地区的12123030岁居民中随机抽取了岁居民中随机抽取了1010个人的个人的身高和体重的统计资料如下表：身高和体重的统计资料如下表：根据上述数据，画出散点图并判断居民的身高和体重之间是否根据上述数据，画出散点图并判断居民的身高和体重之间是否有相关关系有相关关系 【解析】【解析】以以x x轴

12、表示身高，轴表示身高，y y轴表示体重，可得到相应的散点图轴表示体重，可得到相应的散点图如图所示：如图所示： 由散点图可知，两者之间具有相关关系，且为正相关关系由散点图可知，两者之间具有相关关系，且为正相关关系 【误区警示】【误区警示】散点图中的点并不一定是严格的均在一条直线上，散点图中的点并不一定是严格的均在一条直线上，那样的散点图呈现的就是函数关系了那样的散点图呈现的就是函数关系了. . 线性回归方程的应用及求法线性回归方程的应用及求法【技法点拨】【技法点拨】求线性回归方程的步骤求线性回归方程的步骤（1 1）计算平均数）计算平均数（2 2）计算）计算x xi i与与y yi i的积，求的积

13、，求（3 3）计算）计算（4 4）将结果代入公式）将结果代入公式 求求 . .（5 5）用）用 求求 . .（6 6）写出回归方程）写出回归方程. . x,y.niii 1x y .n2ii 1x .niii 1n22ii 1x ynxyb,xnxbaybx,a1.1.某商品销售量某商品销售量y y（件）与销售价格（件）与销售价格x x（元（元/ /件）负相关，则其件）负相关，则其回归方程可能是（回归方程可能是（ ）（A A） =-10 x+200 =-10 x+200 （B B） =10 x+200=10 x+200（C C） =-10 x-200 =-10 x-200 （D D） =10

14、x-200=10 x-200 【典例训练】【典例训练】yyyy2.2.给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据：给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据：已知已知x x与与y y成线性相关，求出回归直线方程成线性相关，求出回归直线方程. .【解析】【解析】1.1.选选A.A.商品销售量商品销售量y y（件）与销售价格（件）与销售价格x x（元（元/ /件）件）负相关，负相关，a0a0,y0,选选A. A. 2.2.对表中的数据进行具体计算，列成以下表格：对表中的数据进行具体计算，列成以下表格： 故可得到故可得到 =399.3-4.75=399.3-4.7530257.30257.从而得到回归直线方程是

15、从而得到回归直线方程是 =4.75x+257. =4.75x+257. 287 1757 30 399.3b4.75,7 0007 30 ay【想一想】【想一想】在求回归直线方程的系数时，如何减少出错的可能？在求回归直线方程的系数时，如何减少出错的可能？提示：提示：通过列表，逐一求系数公式中的各个数据，可以有效地通过列表，逐一求系数公式中的各个数据，可以有效地减少出错的可能减少出错的可能. . 【变式训练】【变式训练】某连锁经营公司所属某连锁经营公司所属5 5个零售店某月的销售额和个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：利润额资料如下表：（1 1）画出销售额和利润额的散点图；）画出销售额和利润

16、额的散点图；（2 2）若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额）若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额y y对销售额对销售额x x的回归直线方程的回归直线方程. . 【解析】【解析】（1 1）散点图如下：）散点图如下： （2 2）数据如下表：）数据如下表：可以求得可以求得 =0.5=0.5， =0.4=0.4，线性回归方程为线性回归方程为 =0.5x+0.4. =0.5x+0.4. bay 利用线性回归方程对总体进行估计利用线性回归方程对总体进行估计【技法点拨】【技法点拨】回归分析的三个步骤回归分析的三个步骤（1 1）判断两个变量是否线性相关：可以利用经验，也可以画）判断两个变量是否线性相关

17、：可以利用经验，也可以画散点图散点图. .（2 2）求线性回归方程）求线性回归方程, ,注意运算的正确性注意运算的正确性. .（3 3）根据回归直线进行预测估计：估计值不是实际值，两者）根据回归直线进行预测估计：估计值不是实际值，两者会有一定的误差会有一定的误差. . 【典例训练】【典例训练】1.1.（20112011广东高考）某数学老师身高广东高考）某数学老师身高176 cm176 cm，他爷爷、父亲，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是和儿子的身高分别是173 cm173 cm、170 cm170 cm和和182 cm182 cm因儿子的身高因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方

18、法预测他孙子与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为的身高为_cm_cm2.2.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量的产量x x（吨）与相应的生产能耗（吨）与相应的生产能耗y y（吨标准煤）的几组对照数（吨标准煤）的几组对照数据：据： （1 1）请画出上表数据的散点图；）请画出上表数据的散点图；（2 2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y y关于关于x x的的回归方程回归方程y y x x ；（3 3）已知该厂技改前）已知该厂技改前100100吨甲产品的

19、生产能耗为吨甲产品的生产能耗为9090吨标准吨标准煤试根据（煤试根据（2 2）求出的回归方程，预测生产）求出的回归方程，预测生产100100吨甲产品的生吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：（参考数值：3 32.52.54 43 35 54 46 64.54.566.566.5）ba【解析】【解析】1.1.设父亲的身高为设父亲的身高为x cmx cm，儿子的身高为，儿子的身高为y cmy cm，则根据，则根据上述数据可得到如下表格：上述数据可得到如下表格：上表中的最后一组（上表中的最后一组（182182，？）是预测数据，？）是预测数据，x173

20、 y176,，线性回归方程线性回归方程 =x+3,=x+3,所以当所以当x=182x=182时，时， =185,=185,即他孙子的预测身高为即他孙子的预测身高为185 cm. 185 cm. 答案：答案：185 185 niii 1n222ii 1xxyy003 6b1,033xx （）（）（）aybx3,yy2.2.（1 1）散点图如图所示：）散点图如图所示： （2 2）故线性回归方程为故线性回归方程为4iii 1x y32.5435464.566.5, 3456x4.5,42.5344.5y3.5,4 422222ii 1x345686,266.54 4.5 3.566.563b0.7,

21、864 4.58681 aybx3.50.7 4.50.35.y0.7x0.35.（3 3）根据回归方程的预测，现在生产）根据回归方程的预测，现在生产100100吨产品消耗的标准煤吨产品消耗的标准煤的数量为的数量为0.70.71001000.350.3570.3570.35（吨标准煤），（吨标准煤），故能耗减少了故能耗减少了909070.3570.3519.6519.65（吨标准煤）（吨标准煤） 【互动探究】【互动探究】题题2 2（3 3）中，实际能耗一定减少了）中，实际能耗一定减少了19.6519.65（吨标（吨标准煤）吗？准煤）吗？【解析】【解析】不一定不一定. .利用回归直线方程估计，只

22、是一个近似值，利用回归直线方程估计，只是一个近似值，受其他因素影响，估计值与实际值会有一定的差距受其他因素影响，估计值与实际值会有一定的差距. . 【归纳】【归纳】进行回归分析的关键进行回归分析的关键. .提示：提示：回归分析应用于实践，关键是回归模型的建立回归分析应用于实践，关键是回归模型的建立. .比如题比如题1 1中把父子身高分别作为两个变量，建立线性相关关系是解答本中把父子身高分别作为两个变量，建立线性相关关系是解答本题的切入点题的切入点. . 【变式训练】【变式训练】某农科所对冬季昼夜温差与某反季节大豆种子发某农科所对冬季昼夜温差与某反季节大豆种子发芽多少之间的关系进行分析研究，他们

23、记录了芽多少之间的关系进行分析研究，他们记录了1212月月1 1日至日至5 5日的日的昼夜温差与每天昼夜温差与每天100100颗种子的发芽数，数据如下表：颗种子的发芽数，数据如下表：该农科所确定的研究方案是：先从该农科所确定的研究方案是：先从5 5组数据中选取组数据中选取2 2组，用剩组，用剩下的下的3 3组数据求回归方程，再用被选取的两组数据进行检验组数据求回归方程，再用被选取的两组数据进行检验. .（1 1）若先选取的是）若先选取的是1212月月1 1日和日和5 5日的数据，请根据日的数据，请根据2 2日至日至4 4日的日的三组数据，求三组数据，求y y关于关于x x的回归方程的回归方程（

24、2 2）若由回归方程得到的估计数据与检验数据的误差均不超）若由回归方程得到的估计数据与检验数据的误差均不超过过2 2颗，则认为得到的回归方程是可靠的，试判断（颗，则认为得到的回归方程是可靠的，试判断（1 1）中所）中所得的回归方程是否可靠？说明理由得的回归方程是否可靠？说明理由. . ybxa；【解析】【解析】（1 1）由已知数据，求得）由已知数据，求得由公式由公式 求得求得再由公式再由公式 得，得， =-3,=-3,所以所以y y关于关于x x的回归方程为的回归方程为（2 2）当）当x=10 x=10时时同样，当同样，当x=8x=8时时 所以，（所以，（1 1）中得到的回归方程是可靠的中得到

25、的回归方程是可靠的. . x12,y27，niii 1n2ii 1xxyybxx（）（），（）b2.5.aybxay2.5x3.23 y2.5 10322 22232.，y，y162.5 8317 17162. ， y，【规范解答】【规范解答】线性相关关系的判断及线性回归方程的求解线性相关关系的判断及线性回归方程的求解【典例】【典例】（1212分）假设关于某设备使用年限分）假设关于某设备使用年限x x（年）和所支出（年）和所支出的维修费用的维修费用y y（万元）有如下统计资料：（万元）有如下统计资料：（1 1）请画出上表数据的散点图，判断它们是否具有线性相关）请画出上表数据的散点图，判断它们是

26、否具有线性相关关系；若线性相关，用最小二乘法求出关系；若线性相关，用最小二乘法求出y y关于关于x x的线性回归方程的线性回归方程; ;（2 2）试根据（）试根据（1 1）求出的线性回归方程，预测使用年限为）求出的线性回归方程，预测使用年限为1010年年时，维修费用是多少？时，维修费用是多少？ 【解题指导】【解题指导】【规范解答】【规范解答】（1 1）散点图散点图如图所示如图所示: : 由散点图可知，两变量之间具有相关关系，且为线性相关关由散点图可知，两变量之间具有相关关系，且为线性相关关系系44分分下面用最小二乘法求线性回归方程：下面用最小二乘法求线性回归方程：列表，计算列表，计算 设所求回

27、归方程为：设所求回归方程为： 则由上表可得则由上表可得 88分分 1010分分回归方程为回归方程为（2 2）把）把x=10 x=10代入（代入（1 1）中所求的线性回归方程得：）中所求的线性回归方程得：y=1.23y=1.2310+0.08=12.38,1110+0.08=12.38,11分分即使用年限为即使用年限为1010年时，维修费用年时，维修费用约是约是12.3812.38万元万元. .1212分分ybxa，5iii 15222ii 1x y5x y112.35 4 512.3b1.23905 410 x5x ，aybx5 1.23 40.08，y1.23x0.08.【阅卷人点拨】【阅卷

28、人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：（注：此处的题启示总结如下：（注：此处的见规范解答过程）见规范解答过程） 【规范训练】【规范训练】（1212分）以下是某地搜集到的新房屋的销售价格分）以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y y和房屋的面积和房屋的面积x x的数据：的数据： （1 1）画出数据对应的散点图；）画出数据对应的散点图；（2 2）求回归方程，并在散点图中加上回归直线；）求回归方程，并在散点图中加上回归直线；（3 3）试预测）试预测90 m90 m2 2的房屋，销售价格约为多少？（精确到的房屋，销售价格约为多少？（精确到

29、0.010.01） 【解题设问】【解题设问】画出散点图的作用是什么？画出散点图的作用是什么？_._.【规范答题】【规范答题】（1 1）根据表中所列数据可得散点图如下：）根据表中所列数据可得散点图如下： 33分分由图可见两者之间是线性相关的由图可见两者之间是线性相关的44分分判断数据是否线性相关判断数据是否线性相关（2 2）列表，计算：）列表，计算： 66分分 故可求得：故可求得： 88分分所以，回归方程为所以，回归方程为 =0.196 2x+1.814 2,=0.196 2x+1.814 2,回归直线如（回归直线如（1 1）中）中图图1010分分（3 3）把）把x=90 x=90代入上述回归方

30、程代入上述回归方程即即y=0.196 2y=0.196 290+1.814 219.4790+1.814 219.47（万元），即这种（万元），即这种90 m90 m2 2的房的房屋，销售价格约为屋，销售价格约为19.4719.47万元万元1212分分5iii 15222ii 1x y5xy12 9525 10923.2b0.196 260 9755 109x5x ，aybx23.20.196 2 1091.814 2.y0.196 2x1.814 2，y1.1.对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是（对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是（ ）（A A）都可以分析出两个变量的

31、关系）都可以分析出两个变量的关系（B B）都可以用一条直线近似地表示两者的关系）都可以用一条直线近似地表示两者的关系（C C）都可以作出散点图）都可以作出散点图（D D）都可以用确定的表达式表示两者的关系）都可以用确定的表达式表示两者的关系【解析】【解析】选选C.C.给出一组样本数据，总可以作出相应的散点图，给出一组样本数据，总可以作出相应的散点图，但不一定能分析出两个变量的关系，更不一定符合线性相关或有函但不一定能分析出两个变量的关系，更不一定符合线性相关或有函数关系数关系2.2.某市居民某市居民2007200720112011年家庭年平均收入年家庭年平均收入x x（单位：万元）与（单位：万元）与年平均支出年平均支出Y Y（单位：万元）的统计资料如下表所示：（单位：万元）的统计资料如下表所示：根据统计资料，居民家