常用的证明不等式的方法与技巧

1、 不等式证明的方法与技巧不等式证明的方法与技巧 一、比较法n1、作差比较法、作差比较法n 作差作差变形变形判断符号判断符号，把差变形为一个常数或一个，把差变形为一个常数或一个常数与一个或几个式子平方和的形式，也可化为几个因常数与一个或几个式子平方和的形式，也可化为几个因式的积的形式，以便于判断其正负。此法式的积的形式，以便于判断其正负。此法常用于常用于两边的两边的差是一个次数较高的多项是这类不等式的证明。差是一个次数较高的多项是这类不等式的证明。)abc3cba(3)ab2ba(2, 0c , 0b, 0a13求证：、已知例3abc3ab2c左边证明：右边3abc3ababc0abc3abab

2、c333证明：、求证：例3112xx56xx2223112xx56xx22) 12xx(312xx1518x3x222) 12xx( 31616x4x220) 1x(3)2x(422n2、作商比较法、作商比较法n其一般步骤为：其一般步骤为：作商作商变形变形判断判断（商比（商比1大还是比大还是比1小）。常用到的变形方法有：小）。常用到的变形方法有：（1）将商变形为幂的形式，利用指数函数）将商变形为幂的形式，利用指数函数的性质进行判断。的性质进行判断。n（2）在使用求商比较法时，作为除式的式）在使用求商比较法时，作为除式的式子的值必须有确定的符号。子的值必须有确定的符号。3cbacba)abc(c

3、ba, 0c , 0b, 0a3求证：、例cba假设证明：不失一般性，可3ba2c3ca2b3c-b-2a3cbacbacba)abc(cba3b-c3a-c3c-b3a-b3c-a3b-accbbaa3cb3ca3ba)cb()ba()ba(1)cb(1)ca(1)ba(3cb3ca3ba，又由假设可得3cbacba3cbacba)abc(cba1)abc(cba，即？式适合于用作商比较法思考：哪种形式的不等n二、分析法二、分析法n 从求证的不等式出发，利用不等式的性质，推出从求证的不等式出发，利用不等式的性质，推出一个非常明显的不等式，如果推理的一个非常明显的不等式，如果推理的每一步均可逆

4、每一步均可逆，那么就可以断定原不等式成立。那么就可以断定原不等式成立。n 其思路是：其思路是：执过索因执过索因，从结论出发，步步寻求上，从结论出发，步步寻求上一步成立的充分条件。一步成立的充分条件。n 其形式是（结论）其形式是（结论）)(BBBBn21已知8b)ba (ab2ba8a)ba (0,ba422求证：、已知例8b)ba (ab2ba8a)ba (22证：欲证4b)ba ()ba(4a)ba (222只须证b2babaa2ba即b2ba1a2ba即ba12ab1又等价于ba1ab即立，故原不等式成立。故最后的不等式显然成由于0,ba分析：左边为分式，右边为整式，若从左边推右边，则需去

5、分析：左边为分式，右边为整式，若从左边推右边，则需去分母，因此需凑成能约分的形式。分母，因此需凑成能约分的形式。三、综合法三、综合法 由已知条件或已被证明的重要不等式出发，运用不等式的性由已知条件或已被证明的重要不等式出发，运用不等式的性质，来证明原不等式成立。质，来证明原不等式成立。 其思路是：其思路是：由因导果由因导果，从已知出发，步步导出上一步的必要，从已知出发，步步导出上一步的必要条件。其形式是条件。其形式是（已知）已知）（结论）BBBBAn21cbaaccbba,Rc, ba,5222求证：、已知例 cbacacccbbba222）（）（）（证明：左边右边cbacba2c2b2a一题

6、多变222242424cbaaccbba0c, b, a)2(cbaaccbba,Rc, b, a) 1 (，求证：均不为已知，求证：已知，425)b1b)(a1(a求证：1,ba且,0b0,a、已知6例41ab0,ab211,ba且,ab2ba,0b,0a)法一(证：b1ba1a)b1b)(a1(a22ab1baba2222ab22ab)ab(2ab1)ab1 (2425411)43(2多不等式，如的条件下还可以证明很且引申：在1ba, 0b0,a9) 1b1)(1a1)(4(425)b1b()a1(3)(a8ab1b1a1)2(81ba1222244）（四、换元法四、换元法 用换元法证明不

7、等式常见的有代数代换和三角代换两种，要用换元法证明不等式常见的有代数代换和三角代换两种，要根据条件灵活运用。如已知根据条件灵活运用。如已知,ryx222,sinry,cosrx则可令1r,0sinry,cosrx, 1yx22则可令如已知10|yx|2,2y2xy-x,Ryx,722求证：且、已知例2yy-x22）证明：由已知可得（sin2y,cos2yx因此可设sin22cos22y)yx(yx10)(cos103cbacbcabacba,cb,a,8求证：是三角形三边的长、设例分析：左边三个分式的分母是多项式，不能直接通分推证，又考虑分析：左边三个分式的分母是多项式，不能直接通分推证，又考

8、虑到到a、b、c的对称性，可用和式代换，将分母化作单项。的对称性，可用和式代换，将分母化作单项。0c , 0y, 0 xcba, cbaz, bacya,-cbx是三角形的三边，、证明：令2yxc,2zxb,2zya由上面三个方程，得2zyx2yzx2xzycbacbcabacba3)222(21)zyzxyzyxxzxy(21两个不等式：题方法还可以证明如下单项式。仿此。换元后可将分母化为）字母呈对称轮换形式（分不可取。）分母均为多项式，通：（激活思维：此类题特点2134cbadbadcadcbdcbacb,a,223baccabcba, 0c, 0b0,a1均为正数，求证：）设（求证：）若

9、（五、放缩法五、放缩法 放缩法的放缩法的理论根据是不等式的传递性理论根据是不等式的传递性，欲证，欲证AB，可寻找，可寻找中间变量，使中间变量，使ACB，由，由A到到C叫做叫做“放放”，由，由B到到C叫做叫做“缩缩”，值得注意的是，值得注意的是“放放”、“缩缩”都不要过头。此法一般都不要过头。此法一般用于两边差别较大的不等式，常用的有用于两边差别较大的不等式，常用的有添舍放缩，分式放缩添舍放缩，分式放缩。2s1,caddbdccacbbdbaasd, c, ba,9求证：都是正数，、已知例都是正数易得证明：由dc,b,a,babacbbdcbab,baadbaadcbaadcdcadddcbad

10、,dccbdccdcbac2s1dcdcbabasdcbadcba即加得将以上四式两边分别相2) 1n(a2) 1n(n, ) 1n(n433221aa102nnn求证：中，、已知数列例此可得。右边的不等式证明便由关系式放弃，于是转而联想到所得结论过弱，而只能，的各项放大为即可，仿此，把，只须各项缩小为比较，个自然数的和，与是前分析：注意到左边式子,2) 1n(n) 1n(n, 1n32an21an2) 1n(nnn2322nn321 ) 1n(n433221a证明：2) 1n(nn3212) 1n(n) 1n(n又2) 1n(n243232221) 1n(n433221an22nn22) 1

11、n(212nn22所以原不等式成立。而反面比较单一的命题题，还有正面情况较多命”或“至少”等字眼的定性命题，含有“至多于证明唯一性命题，否用明较困难的不等式，适。反证法常用于直接证成立，得原不等式成立不出矛盾，从而说明假设成立，通过逻辑推理导假设所证明的不等式不六、反证法2qp, 2qp 1133求证：、已知例, q-2p2,qp即证明：假设2qp2qp,22)1q(6qpq6q12q8p,q)2(p3323332333矛盾，故这与已知即。中至少有一个数小于求证：，均为正数，且、已知例1a,a,a, 4aaa20aaaa,a,a 128218218218210,1a, 8 , 2 , 1i ,

12、 1a:ii则设证明iiiiib1a, 0b, 1ab于是令）821821b1 ()b1)(b1 (aaa1a ,a ,a4aaa821821中至少有一个数小于假设不成立，矛盾，这与821821bbb)bbb(113121)8aaa (1821等式的方法。利用上述结论来证明不判别式法就是有实根的条件为二次方程的条件为的值恒大于或等于二次函数七、判别式法0.4acb0)0(acbxax0;4acb00)c(abxaxf(x)222232azy,x,0,2azyxa,zyx0aR,zy,x, 132222求证：且、设例2a)yx(a yx),yx(az2222证明：由已知易得，04aayyx)ay

13、(x222从而0a4ay4y)ay(,Rx222x32ay0, 02ay3y2于是得整理得32az, y, x0,32az0 ,32ax0故同理可得 2nn22112n22212n2221)babab(a)bbb)(aaa14、求证：（例恒成立。的值恒非负，即证数而问题转化为证二次函，从）别式，即证（，联想到二次函数的判则原不等式即分析：设0)x(fC2BxAx)x(f C4A2BCAB,bababaB,bbbC,aaaA222nn22112n22212n2221nn22112n22212n2221bababaB,bbbC,aaaA证明：设2n2221nn221122n22212bbb)xba

14、bab2(a-x)aaa (C2Bx-Axf(x)则0)b-x(a)b-xa ()b-xa (2nn222211，即原不等式成立，）（恒成立，ACB 0C4A2B0)x(f22 叫辅助函数法。证得不等式，这种方法的性质个函数，从而利用函数构特征，恰当地构造一根据不等式中式子的结八、辅助函数法a1aa1aba1ba15、求证：例x1x)f(xx1x数的形式，于是可构造函的每一项的结构都是分析：观察要证不等式则再设证明：设, 0 xx,x1xf(x)210)x(1)x1 (x- xx1xx1x)x(f)x(f2121221121）上是增函数，在0)x(fba1baba1ba),ba(f)ba(fb

15、aba即所以原不等式成立而a1aa1aba1bba1aba1bann2211n21n21x1xx1xx1xxxx1xxx般形式是说明：该不等式的更一1cabcab, 1c, 1b, 1a 16求证：、已知例, 1bcc)x(bf(x)证明：设原不等式成立即所以则由于. 01bca ) cb(, 0)a (f, 1a0,) c1)(b1 (1bccb) 1 (f0) c1)(b1 (1bccb) 1(f1,c1,b式的方法叫几何法。用图形的性质证明不等通过构造几何图形，利九、几何法22)b1 ()a1 (b)a1 ()b1 (aba1722222222、求证：例)bM(a,),1 , 1 (C)

16、,0 , 1 (B),A(0,1设证明：取点2)b1 ()a1 (ba2b)a1 ()b1 (aOCMCMOABMBMA22222222可得及由ABCMOxy11)b, a () 1 , 1 (即可得原不等式以上两式两边分别相加件是什么？动脑筋：等号成立的条) cba (2accbba)2()db() ca (dcba1:222222222222）（以下两个不等式仿造此题方法还可证明拓展222222zyzyzxzxyxyx, 0z, 0y0,x 18求证：、已知例明。证，从而使原不等式得到何两边之和大于第三边任的三边，即可用三角形可以看成是一个三角形项。那么原不等式中的三个式子也作同样的处理方

17、，而把另外两的三角形的第三边的平角为为两边，夹看成以于是我们可以把分析：注意到o22o2222120y, xyxyx,cos1202xyyxyxyx,P点证明：在平面上任选一P，作O120CPACPBAPBCA,BC,AB, z,PCy,PBx,PA连接截ABCxyz222222zxzxzyzyyxyxCABC,AB,，的长分别是则即原不等式成立第三边可得由三角形两边之和大于,BCACAB明快的证明方法思路寻求一种简捷下各题能否借鉴该题的一题多变：想一想，以222222222222222222zyxz2zxxy2yx)3(zyzyzxzxyxyx)2(xzx3zzyzyyx) 1 (zy,x,

18、都是正实数，求证：已知11251,4a ba b Rabab 题目:已知、求证2222111a babababab证法1:= ababba121222124a bab211111254144abab 1112:baababababab证法,212baab因为所以ababab1,21于是 23212117:4abab不等式两边平方得2a bb a 又111725244abab 222211113: abababab证法21abab 21abab=11abab当且仅当:：1:2a b 即 当 仅 当时2111252.24abab12at证法4:设12bt1122t221111:abababab则42232521614ttt2 52 51 614425:sinax证法设2,cosbx,