Green公式及拓展

1、Green第一第二第三公式的证明1.1 Green第一公式证明Green 第一公式：S ux2+uy2dxdy=-s uudxdy+c uunds证明：不妨设n=cos,sin;由方向导数的定义有：un=uxcos+uysin可知有cos=dydx2+dy2；sin=-dxdx2+dy2；ds=dx2+dy2；故有c uunds=c uuxdydx2+dy2+uydydx2+dy2dx2+dy2=c uuxdy-uuydx由Green公式D Qx-Pydxdy=D Pdx+Qdy；得c uuxdy-uuydx=S xuux-y-uuydxdy=S xuux+yuuydxdy=S xuxu+ux

2、2+yuyu+uy2dxdy=S ux2+uy2dxdy+S xuxu+yuyudxdy=S ux2+uy2dxdy+S uxux+yuydxdy=S ux2+uy2dxdy+S uudxdy即有c uunds=S ux2+uy2dxdy+S uudxdy移项可得原式，得证。1.2 Green第二公式证明Green第二公式：S uvuvdxdy=C unvnuvds证明：等式左边展开：S uvuvdxdy=S vu-uvdxdy=S vu-uvdxdy右边C unvnuvds=C (unv-vnu) ds=C vuxdydx2+dy2-vuydxdx2+dy2-uvxdydx2+dy2+uvy

3、 dxdx2+dy2dx2+dy2=C vuxdy-vuydx-uvxdy+uvy dx=C uvy-vuydx+vux-uvxdy有Green公式有D Qx-Pydxdy=D Pdx+Qdy；有P=uvy-vuy Q=vux-uvxQx=vux-uvxx=vxux+v2ux2-vxux-u2vx2=v2ux2-u2vx2同理Px=u2vy2-v2uy2故有D Qx-Pydxdy=D v2ux2-u2vx2-u2vy2+v2uy2dxdy=D vu-uvdxdy=S uvuvdxdy1.3 Green第三公式证明Green第三公式：若u为有界闭区域S中的调和函数，则有：ux,y=12C uln

4、rn-lnrunds其中C为S边界，un为u沿着C的外法线方向的方向导数；r=-x2+-y2；为（x，y）到边界C上动点（，）的距离；证明：由Green 第二公式得到C ulnrn-lnrunds=D vu-uvdxdy由于u为有界闭区域S中的调和函数，u=0v=lnr=ln-x2+-y2=0可知lnr 也是调和函数；故有在没有奇点的情况下，S内的任何区域C ulnrn-lnrunds=D uv-vudxdy=0故有设以x，y为中心，t为半径的一个领域D，C ulnrn-lnrunds=D ulnrn-lnrunds有在D上，D lnrunds=lntD unds=lntD uds=0D ul

5、nrnds=D ulnrrds=D u1tds=1tD uds=2u1，1故由u在S上的连续性得到limt0C ulnrn-lnrunds=limt02u1，1=2ux，y故得证ux,y=12C ulnrn-lnrunds第二十二章 各种积分间的联系与场论初步下面的图表给出了各种积分间的联系，在计算中可以根据这些关系，将一种积分转化为另一种积分。第一型曲线积分二重积分第二型曲线积分 格林公式 斯托克司公式 三重积分第一型曲面积分积分第二型曲面积分面积分 高斯公式 例1 设为平面上封闭曲线，为平面上任意方向，是的外法线方向。证明 y x证明 ， 因为 ， 则 ， 注1 此例给出了平面上闭曲线切线

6、正向和外法线矢量的关系：（这个结果在7、8、12题都要用到） ， 注2 利用这个关系，可得格林公式的另一种形式： 或（用外法向矢量） 试比较（用正向的切线矢量） 事实上 注3 我们已经知道，格林公式是斯托克司公式当是平行于坐标面的平面曲线时的特殊情形。而从格林公式的上述形式可以看出，格林公式也可作为高斯公式的特殊情形。在高斯公式中，设不依赖于。考虑平行于轴的单位高柱体的边界曲面的外侧，它在面的投影为曲线。记柱面的上底面为，下底面为，侧面为，则 又 即 例2 设具有二阶连续偏导数，证明（1）（2）其中，为闭曲线所围的平面区域，为沿外法线方向的导数。证 （1）在格林公式的等价形式中令得， 即 （2

7、） 注4 在式中令，则（2）即化为（1）。注5 设，为空间立体的边界，为沿外法线方向的导数，则有格林第一公式： 格林第二公式： 12/394 题的（2）（3）分别是格林第一和第二公式的低维情形，在格林第一公式中令即得13（2）/394。例3 用斯托克司公式计算下列积分(a) (b) 是曲线，它的方向与所围曲面的上侧构成右手法则。解 是曲面上所围部分的上侧。它关于zx平面对称，在xy平面的投影是。 （斯托克司公式） （，对称性） （两类曲面积分的关系） （，对称性）（两类曲面积分的关系，几何意义）注6 这题很巧妙，是一道综合性很强的题，用到的知识有：1、 斯托克司公式2、 两类曲面积分的关系，曲

8、面的法向矢量3、 对称性4、 几何意义例4 证明高斯积分 其中是平面上一单连通区域的边界，而是上一点到外某一定点的距离，是的外法线方向。又若表示上一点到内某一定点的距离，则这个积分之值等于。解 （1）设外某一定点，则 ， = ， 注意是外某一定点，故和在内处处连续，由格林公式得 （2）设是内某一定点，这时格林公式不再成立。以为中心，为半径作圆，充分小使完全含于内。取的方向为顺时针方向，则由（1）知故 几何解释 积分值是从点所能看到曲线的角的度量。事实上，以为半径作圆心角为的圆弧，则 是在圆弧上的投影，而 就是从点所能看到元素的角的度量，将所有这些角求和，得就是从点所能看到曲线的角的度量。注意

9、时是负角，即 时是正角，即故当是外某一定点时，正负角抵消，积分。而当是内某一定点时，总有，因而积分=。根据这个几何解释可知，当是曲线上某一定点时，积分 。 注7：这是一个著名的积分，要用到5/392给出的平面上封闭曲线的正向与外法线方向的关系。相应的也有曲面积分的高斯积分（9/393），求解的思想方法是一样的，几何解释也很有意义。 积分与路径无关例5 求,其中是被积函数的定义域内从(2,0)到(0,2)的逐段光滑曲线。解 被积函数的定义域记 ，则在定义域内有连续的偏导数，且。取，逆时针方向，则 于是内任意一条封闭曲线，若包围了单位圆，则 若不包围单位圆，则由格林公式 2 故积分与路径无关。取平

10、行于坐标轴的折线段如图，得 2 场论初步例6 计算曲面积分，其中，为球面：，是上侧的单位向量。解法1 用Stokes公式。取： 或 解法2 用高斯公式。补一块面：，下侧 (是在方向的投影,即在z轴方向的分量乘以(-1) 格林公式在物理学与数学中， 格林定理连结了一个封闭曲线上的线积分与一个边界为C且平面区域为D的双重积分。 格林定理是斯托克斯定理的二维特例，以英国数学家乔治·格林（George Green）命名。设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则有其中L是D的取正向的边界曲线。格林公式还可以用来计算平面图形的面积。此

11、公式叫做格林公式，它给出了沿着闭曲线C的曲线积分与C所包围的区域D上的二重积分之间的关系。另见格林第一公式、格林第二公式。特殊情况的证明以下是特殊情况下定理的一个证明，其中D是一种I型的区域，C2和C4是竖直的直线。对于II型的区域D，其中C1和C3是水平的直线。如果我们可以证明以及那么就证明了格林公式是正确的。把右图中I型的区域D定义为：其中g1和g2是区间a, b内的连续函数。计算(1)式中的二重积分：现在计算(1)式中的曲线积分。C可以写成四条曲线C1、C2、C3和C4的交集。对于C1，使用参数方程：x = x，y = g1(x)，a  x  b。那么：对于C3，使用参数方程：x = x，y = g2(x)，a  x  b。那么：沿着C3的积分是负数，因为它是沿着反方向从b到a。在C2和C4上，x是常数，因此：所以：(3)和(4)相加，便得到(1)。类似地，也可以得到(2)。格林第一公式设函数u(x,y,z)和v(x,y,z)在闭区域上具有一