2018版高考数学一轮复习第六章数列6.2等差数列及其前n项和理

1、第六章数列 6.2 等差数列及其前 n 项和理基础知识自主学习基础知识自主学习ET知识梳理-i.等差数列的定义一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数 列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，迪用字母d表示.2等差数列的通项公式如果等差数列&的首项为 a,公差为d,那么它的通项公式是an=ai+ (n 1)d.3 .等差中项由三个数a, A b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的等差中项.4等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an=am+ (nm)d(n,mN*).若an为等差数列，且k+l=n(k,l,m n N

2、*)，则ak+a=am+an.(3)若an是等差数列，公差为d,则a2n也是等差数列，公差为2d.若an, bn是等差数列，则pan+ qb也是等差数列.若an是等差数列，公差为 d,贝Uak,ak+m,a+2m,(k, m N)是公差为md的等差数列.数列Sm,SamSn,$mSm,构成等差数列.5.等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d,其前n项和 $=na；a或S=nai+n_役一d.6 .等差数列的前n项和公式与函数的关系数列an是等差数列？S=An2+Bn(A,B为常数).7 .等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，ai0,d0,则S存在最大值；若ai0,则$存在最小值.

3、【知识拓展】等差数列的四种判断方法(1)定义法：an+1an=d(d是常数)？an是等差数列.等差中项法：2an+1=an+an+2(n N)? an是等差数列.通项公式：an=pn+q(p,q为常数)？an是等差数列.2前n项和公式：S=Ar2+Bn（A,B为常数）？a是等差数列.【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“V”或“x”）（1）若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.（x）等差数列ar的单调性是由公差d决定的.（V）等差数列的前 r 项和公式是常数项为 0 的二次函数.（x）已知等差数列ar的通项公式 & = 3-2r,则它的公差为一 2

4、.（V）考点自测1.在等差数列ar中，若a2= 4,a4= 2,贝Ua6等于（）A. - 1 B . 0 C . 1 D . 6答案 B解析 由等差数列的性质，得a6= 2a4a2= 2x2 4 = 0，故选 B.2.（教材改编）设数列ar是等差数列，其前r项和为S,若a6= 2 且 S= 30,则S8等于（）A. 31B. 32C. 33D. 34答案 B厂 2631+5d=2,a1= T，解析由已知可得弋解得5a1+ 10d= 30,.4d =-3，3.（2016全国乙卷）已知等差数列ar前 9 项的和为 27,a10= 8,贝Ua。等于（）A. 100 B . 99 C . 98 D .

5、 97答案 Ca1+a99x2a5.解析由等差数列性质，知S9=2=2 = 9a5= 27,得a5= 3，而 ao= 8,因此公aa510- 5 =1, a100= ao+ 90d= 98,故选 C.4.设数列ar是等差S8= 8a1+8X72d= 32.3数列，若a3+a4+a5= 12,则a1+a2+-+a?等于（）A. 14 B . 21 C . 28 D . 35答案 C4解析Ta3+a4+ 空=3a4= 12,.a4= 4,.a1+a2+a7= 7a4= 28.5._若等差数列 an 满足a7+as+a9Q,a?+a1Q Q，所以as Q.又a?+ae=as+a9 Q, 所以Q 0，

6、当n14 时，anv0.当n= 12 或n= 13 时，S 取得最大值，B. 60D. 90所以a1+a102I ()a3+a82 =10X9245.方法一 设数列an的首项为日，公差为d,c10X910a1+d=100,则100X99| 100a1+d=10,C 1099a1解得11d=处所以 Se= 110a1+110；109d=_ 110.方法二 因为SooSo=an+a100 X 9U290,典例 2 在等差数列an中，已知a1= 20,n项和为S，10X20+10X92d=15X20+125且最大值为S12=S13= 12X20+咚尹x1312552523 125=_ n +.6.2

7、24Tn N ,当n= 12 或n= 13 时，S有最大值，且最大值为$2= Si3= 130.方法三 由 So= $5,得an+a12+a13+a14+a15= 0.5a13= 0,即卩a13= 0.当n= 12 或n= 13 时，S 有最大值，且最大值为$2=Si3= 130.课时作业课时作业1. （2016重庆一诊）在数列an中，an+1an= 2,a2= 5，则an的前 4 项和为（）A. 9B. 22C. 24D. 32答案 C解析 由an+1an= 2,知an为等差数列且公差d= 2,.由a2= 5,得 a= 3,a3= 7,a4= 9,前 4项和为 3+ 5 + 7+ 9 = 2

8、4,故选 C.2 .九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人 各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）这个问题中，甲所得为（）5534A.4 钱B.3钱C. 钱 D.3 钱答案 D解析 设等差数列an的首项为a1,公差为d,C 42a1+d= 3a1+ 9d,a1= 3,3依题意有 S53） ,Sn= 100,贝Un的值为（）A. 8B. 915C. 10答案 C解析 由 S1 Si3= 51 ,

9、得an-2+Rn1+dn= 51 ,所以 ai-1= 17,又a2= 3,n a2+an1”Sn=2= 100,解得n= 10.14.在等差数列an中，a9=2&12+ 6,则数列an的前 11 项和S1等于()A. 24B. 48C. 66D. 132答案 D1解析 方法一 由a1+ 8d= 2 佝+ 11d) + 6,得a1+ 5d= 12,.a1= 12 5d.11X10又S1= 11a1+2d= 11a1+ 55d=11(12 5d) + 55d= 132.、 1方法二 由a9= a12+ 6，得 2a9a12= 12.55.已知数列an满足an+1=an7,且a1= 5，设an的前n

10、项和为 S，则使得Sn取得最大值的序号n的值为（）A. 7C. 7 或 8答案 C55解析由题意可知数列是首项为 5，公差为-的等差数列，所以an= 5 #n 1）=时，n= 7 或n= 8，故选 C.*6.设等差数列an满足a1= 1,an0（n N），其前n项和为 S,若数列 S也为等差数列,n+10则厂的最大值是（）anD. 11由等差数列的性质得,a6+a12a12= 12,a6= 12,S11=a1+an11X2a6=132，故选 D.B. 8D. 8 或 940 5n7，该数列前7 项是正数项，第8 项是 0,从第 9 项开始是负数项，所以Sn取得最大值16A. 310C. 180

11、B. 212D. 12117答案 D解析 设数列an的公差为d,依题意得 2 寸2=(s+ys3,因为a= 1,所以 2 2ai+d=*fai+/3ai+ 3d, 化简可得d= 2ai= 2,所以a= 1 + (n 1)x2= 2n- 1,n n 2Sn=n+x2=n,S+10n+n+102所以盲=n2=( (廿廿) )卡X1 +芦I2n 1故选 D.17. （2015安徽）已知数列an中，31= 1,an=an1+（n2），则数列an的前 9 项和等于 答案 2719X81解析 由题意知数列an是以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列，二 s= 9X1+ x2 = 9 +18= 27.11

12、1*8._ 已知数列an中，a1= 1 且一=匚+：(n N)，贝Ua10=_ .an+1Cr31答案 14111解析 由已知得 一=一+ (10 1)X= 1 + 3= 4,a10a13故a10= 1.49. 设数列an的通项公式为an= 2n10(n N*) )，则01+ | |比比| | + | |=_ . .答案 130解析 由an= 2n 10(n N*)知an是以一 8 为首项，2 为公差的等差数列，又由an= 2n100,得n5,二当n5时，an5 时，an0,二|+ |a2| + |a15| = (a1+a2+a3+a4)+ (a5+a6+ +a15)= 20+ 110 = 1

13、30.1 21 =41+2n1w121,18Sn2n_3a910设等差数列an ,bn的前n项和分别为S, Tn,若对任意自然数n都有=2 二，则Tn4n_ 3b5+b7解析an , bn为等差数列,a9a3a9a3b5+b7b8+b42b62b6S11ai+an 2a62x113 19T11b+bn 2b64x113 41a9a319 + b5+b? b8+b44111.在等差数列an中，a1= 1,a3=_ 3.(1) 求数列an的通项公式；若数列an的前k项和Sk=_ 35，求k的值.解(1)设等差数列an的公差为 d,则an=a1+ (n_ 1)d.由a1= 1,a3= 3,可得 1

14、+ 2d=_ 3,解得d=_ 2.从而 a.= 1 + (n 1)x( 2) = 3 2n.(2) 由(1)可知an= 3 2n,n1 + 2n2所以S=2=2n_n由Sk=_ 35,可得 2kk=_ 35,2即k 2k 35 = 0，解得k= 7 或k=_ 5.又k N ,故k= 7.112. 若数列an的前n项和为S,且满足an+ 2SnSn_1= 0(n2), a=(1)求证：数列 1 是等差数列；求数列an的通项公式.(1)证明 当n2时，由an+ 2SSn_1= 0,1 1得 S _ S_1= 2$-1,所以 s _ = 2,SS 1asb8+b4的值为答案1941a9+a3a62b

15、6b6191 1又S1=孑2,20故 1 是首项为 2,公差为 2 的等差数列.1 1(2)解 由(1)可得S= 2n, S =亦亦. .当n2时，。11n 1 -nan=S S1 = = 2n 2 n-2n n-_ 12n n-1当n= 1 时，a1=不适合上式.12,n= 1,故an=1,n2.I 2n n-*13.已知数列&的各项均为正数，前n项和为 S,(1)求证：数列an为等差数列；求数列an的通项公式.2(1)证明 当n= 1 时，有 2a1= + 1-4,2即a1 2a1 3 = 0,解得 a= 3(a1= 1 舍去).2当n2时，有 2S1-1=an-1+n 5,1(1)在数列an中，若a1= 1,a2= ,2又 2Sn=an+n 4,两式相减得 2an=anan