随机信号处理 题目整理

1、第一章1、某离散时间因果LTI系统，当输入时，输出（1） 确定系统的函数H(Z) （3分）（2） 求系统单位序列相应h（n）（3分）（3） 计算系统的频率特性H（ej）（3分）（4） 写出系统的差分方程（3分）解：（1） |Z|>(2) |Z| >（3） 因为H（z）收敛域为 |Z| >，包含单位圆所以H（ej）存在（4）=>2、x(n)的z变换为X(z)=, ROC：1<z<2 ，z的变换。（12分）设X(z)=+=X1(z)+X2(z) %写出此形式2分 则由部分分式分解法，可得A=（1-z-1)X(z)z=1=-1, B=(1-2z-1)z=2=2 %

2、求出此结果6分由ROC的形式，可以判定x(n)是一个右边序列和一个左边序列之和。x1(n)=Z-1X1(z)=Au(n),x2(n)=Z-1X2(z)=B-2nu(n) 所以，x1(n)=-u(n); x2(n)=-2n+1u(-n-1); %到此步骤结果10分因此，x(n)=x1(n)+x2(n)=-u(n)-2n+1u(-n-1) %最后一步得12分3. 某离散时间因果LTI系统，当输入时，输出（5） 确定系统的函数H(Z) （3分）（6） 求系统单位序列相应h（n） （3分）（7） 计算系统的频率特性H（ej） （3分）（8） 写出系统的差分方程 （3分）解：（1） |Z|>(2)

3、 |Z| > （4） 因为H（z）收敛域为 |Z| > ，包含单位圆 所以H（ej）存在 （4）=> 4. 简述六种常用离散时间信号； 并计算下题：已知序列X（n）的z变换为：求逆z变换六种离散时间信号：1、单位脉冲序列：(1) 单位阶跃序列：(2) 矩形序列：(3) 实指数序列：其中a为不等于0的任意实数(4) 正弦序列：(5) 复指数序列：解：设则由部分分式分解法，可得由ROC的形式，可以判定想x（n）为一个右边序列和一个左边序列之和。因此，X（z）的逆z变换为5. (1) 一线性时不变系统,其输入输出满足如下差分方程: 求其频率响应。 (2) 有一系统，其频率响应为 写

4、出表征该系统的差分方程。解：（9） 差分方程：两边同时傅里叶变换得：(2分)因此频率响应：(3分)（10） 系统的频率响应：(3分)相乘得：(3分)反变换得差分方程：(3分) 6. 判断右侧两个系统的线性和非移变性：,.<本题12分>解: ； ，所以系统为线性系统。··（3分） ，所以为移变系统。·········（3分） ；，所以为非线性系统。····（3分） ，所以为非移变系统。····&#

5、183;········（3分）第二章1.复随机过程，式中为常数，是在上均匀分布的随机变量。求：(1)和；(2)信号的功率谱。解： (1)(4分)(4分)(2) (4分)2.一个方差为1的白噪声激励一个线性系统产生一个随机信号,该随机信号的功率谱为:，求该系统的传递函数，差分方程。（15分）解：由给定信号的功率谱，得（4分）其中，（1分），（1分），（1分）因此与之对应的最小相位系统为：（2分）系统的传递函数为：（3分）差分方程为：（3分）3.已知随机信号，为常数，是的均匀分布随机变量，讨论当A满足系列条件时，的广

6、义平稳性。1. A为常数时；（6分）2. 为时间常数；（7分）1、当A为常数时，；（2分）其中故此时是广义平稳的；（4分）2、当为时间函数时，（3分）其中此时不是广义平稳的；（4分）4.一个广义平稳随机信号的自相关函数 ，该信号通过一个系统函数为的LTI系统，其输出为。<本题12分>试求：（1） 输入随机信号的功率谱和复功率谱。 （2） 输出随机信号的功率谱（评分细则：本题分为两个小题（1）（2），每问4 分。每小题中列出正确式子给2 分， 算出正确答案给2 分。）解：（5） 功率谱=复功率谱=(2) 功率谱=××6. 已知随机信号，为常数，是的均匀分布随机变量

7、，讨论当A满足系列条件时，的广义平稳性。3. A为常数时； （6分）A为时间常数； （7分）1、 当A为常数时，；（2分）其中故此时是广义平稳的； （4分）2、 当为时间函数时，（3分）其中此时不是广义平稳的；（4分）7. 一个方差为1的白噪声激励一个线性系统产生一个随机信号,该随机信号的功率谱为:，求该系统的传递函数，差分方程。（15分）解：由给定信号的功率谱，得 （4分）其中 ， （1分） ， （1分） ， （1分）因此 与之对应的最小相位系统为： （2分） 系统的传递函数为： （3分） 差分方程为： （3分）8. 已知随机过程X(t) =cost ，其中 为均匀分布于 (-0,0)中的随

8、机变量。试求： (6) 均值 (2)自相关函数解：（1）； （5分）（2）; （7分）; （8分） （9分）; （10分）; （12分）9. 复随机过程，式中为常数，是在上均匀分布的随机变量。求：(1)和；(2)信号的功率谱。解： (1)(4分) (4分)(2) (4分) 9.一个广义平稳随机信号的自相关函数 ，该信号通过一个系统函数为的LTI系统，其输出为。<本题12分> 试求：（1） 输入随机信号的功率谱和复功率谱。 （2） 输出随机信号的功率谱（评分细则：本题分为两个小题（1）（2），每问4 分。每小题中列出正确式子给2 分， 算出正确答案给2 分。）解：（6） 功率谱=复功

9、率谱= (2) 功率谱 =××第三章1.一零均值MA(2)过程满足Yule-Walker方程：试求MA参数：，解：由于对于零均值MA(q)过程而言，均值为0，令方差为1，其自相关函数则可得：(4分)故由题意知，MA(2)过程的自相关函数为(2分)由此不难求得MA(2)过程的功率谱(3分)其因式分解为(2分)根据功率谱分解定理，比较得传输函数即(3分)2.用AR()表示实ARMA(1，1)模型（15分）ARMA(1，1)模型的系统函数为HARMA(Z)=(1+b1Z-1)/(1+a1Z-1) （3分）AR()模型的系统函数为HAR(Z)=1/(1+CkZ-k) （3分）为了使

10、两个模型等效，必须使它们的系统函数相等。令HARMA(Z)=HAR(Z),得1+CkZ-K=(1+a1z-1)/(1+b1z-1)=(1+a1z-1)/(1+(-b1)kz-k)（4分）比较等号两边多项式中相同阶的系数，得到CK= （5分）3. 一个AR（2）过程满足如下的差分方程：x(n) = x(n-1) - 0.5 x(n-2) + w(n) 其中，w（n）是一个均值为0、方差为1的白噪声。 （1） 写出该过程的Yule-Walker方程。 （2） 求解自相关函数值（1）和（2）。求解：（1）依题意可得：= -1，= 0.5，p=2，方差：=1 . （3分） 对于0 l 2，得 （6分）

11、上述方程组就是平稳AR（p）过程的自相关函数所满足的Yule-Walker方程，将其写成矩阵表达式，得 （9分）（2） 求解Yule-Walker方程可得：（0）=，（1）=，（2）=。 即：自相关函数值（1）为， 自相关函数值（2）为。 （12分）4. 离散时间的二阶AR过程由差分方程描述,式中是一零均值、方差为的白噪声。证明的功率谱为解：由AR过程的功率谱公式知(4分)式中 (6分)代入得 .(2分)5. 一个AR（2）过程满足如下的差分方差： xn=xn-1-0.5xn-2+(n)。其中，(n)是一个均值为0，方差为0.5的白噪声。<本题12分>（1）写出该过程的Yule-W

12、alker方程（2）求解自相关函数值rx(1)和rx(2)（3）求出xn的方差解：（1）由于rx1=rx(-1)，rx2=rx(-2)····························（2分，每个式子1分） 实二阶AR（2）过程xn的Yule-Walker方程为rx0rx1rx2rx1rx2rx0rx1rx1rx

13、01-10.5=0.500···········································（4分）（2）解上述Yule-Walker方程可得：rx0

14、=1.2；rx1=0.8；rx2=0.2（3分，每个结果1分）（3）因为(n)均值为0，所以xn的均值为零（1分），其方差等于平均功率（1分），即 Var=rx0=1.2（1分）。（共3分）6. 3. 一个AR（2）过程满足如下的差分方差：xn=xn-1-0.5xn-2+(n)。其中，(n)是一个均值为0，方差为0.5的白噪声。<本题12分>（1）写出该过程的Yule-Walker方程（2）求解自相关函数值rx(1)和rx(2)（3）求出xn的方差解：（1）由于rx1=rx(-1)，rx2=rx(-2)······

15、3;·····················（2分，每个式子1分）实二阶AR（2）过程xn的Yule-Walker方程为rx0rx1rx2rx1rx2rx0rx1rx1rx01-10.5=0.500················

16、;···························（4分）（2）解上述Yule-Walker方程可得：rx0=1.2；rx1=0.8；rx2=0.2（3分，每个结果1分）（3）因为(n)均值为0，所以xn的均值为零（1分），其方差等于平均功率（1分），即Var=rx0=1.2（1分）。（共3分）第四章1.证明由下式（1）和

17、（2）给出的前向和后向AR过程具有相同的功率谱密度。<本题12分>（评分细则：本题分为从式1和式2两个方面来证明，所以可把此题分为两个小题。写出式1的H1(z)给2分，式子正确且算出结果给3分；写出式1的Pxx(f)给2分，式子正确且算出Pxx(f)的结果给3分；写出式2的H2(z)给2分，式子正确且算出结果给3分；写出式2的Pxx(f)给2分，式子正确且算出Pxx(f)的结果给3分。）由上述可知，前向和后向AR过程具有相同的功率谱密度。第五章1.有一个自相关序列为 的信号s(n)，被均值为零、噪声方差为1的加性白噪声v(n)干扰，白噪声与信号不相关。用维纳滤波器从被污染的信号x(

18、n) = s(n)+v(n) 中尽可能恢复s(n)，求出一阶FIR滤波器的系数和最小均方误差。（14分）解：由白噪声与信号不相关，因此有 （ 2分）并且有 （ 2分）对于一阶FIR维纳滤波器，自相关矩阵和互相关分量分别为 （ 2分） （ 2分）解Wiener-Hopf方程，得 （ 4分）维纳滤波器的最小均方误差： （ 2分）2. 有一个信号是过程，它的自相关序列为，是设计其最优线性预测器。（15分）3. 有一个自相关序列为 的信号s(n)，被均值为零、噪声方差为1的加性白噪声v(n)干扰，白噪声与信号不相关。用维纳滤波器从被污染的信号x(n) = s(n)+v(n) 中尽可能恢复s(n)，求出

19、一阶FIR滤波器的系数和最小均方误差。（14分）解：由白噪声与信号不相关，因此有 （ 2分）并且有 （ 2分）对于一阶FIR维纳滤波器，自相关矩阵和互相关分量分别为 （ 2分） （ 2分）解Wiener-Hopf方程，得 （ 4分）维纳滤波器的最小均方误差： 4，有一信号S(n)，它的自相关序列为，被均值为零的加性白噪声干扰。噪声方差为1，白噪声与信号不相关。试用维纳滤波器从被污染的信号x(n)=s(n)+v(n)中尽可能恢复s(n)，求出三阶滤波器的系数，并计算滤波前后的信噪比，同时画出MATLAB的仿真原理图。解：由于白噪声与信号不相关，因此（3分）=（6分）最小均方误差（8分）滤波前（1

20、0分）滤波后3.37dB （12分）所以维纳滤波器的作用把信号的信噪比提高了3.37dB5.设信号s(n)的自相关序列为：观测信号为：，试中是方差为0.45的零均值白噪声，它与s(n）统计独立。设计一个长为N=3的FIR滤波器来处理x(n)，使得其输出与s(n)的差的均方值最小。解： (2分) (3分) (3分)6.一个信号s(n)，它的自相关序列为rs（l）=4l2，被均值为零的加性白噪声w(n)干扰，噪声方差为2，白噪声和信号不相关。试用维纳滤波器从被污染的信号中尽可能的恢复s(n)，求出二阶fir维纳滤波器的系数和误差。<本题12分>解：维纳滤波器的输入：x（n）=s（n）+

21、w(n);··································（1分）期望响应：d（n）=s(n); 又白噪声和信号不相关，有：rx（l）=rsl+rw(l)；=4l2+2（l）；·····&#

22、183;·······（1分）rxd（l）=Ex(n)s(n-l)=Es(n)s(n-l)+Es(n)w(n-l)= Es(n)s(n-l)= rs（l）=4l2;·····（1分）根据维纳霍普方程：RxHopt=rxd,有：rx0 rxl rx2rxl rx0 rxlrx2 rxl rx0Hopt=rxd0rxdlrxd2·············

23、;····························（2分）6 3 03 6 30 3 6Hopt=430·················&#

24、183;···································（2分）解维纳霍普方程得：Hopt=1213-16··········&

25、#183;················································（2分）最小均

26、方误差为：jmin=2-rxdTHopt··············································

27、3;·······（2分）jmin=4-4 3 01213-16=1······································

28、83;·········（1分）第六题1.首先计算时间平均相关矩阵和互相关矢量：（4分）接着对进行分解。利用MATLAB函数，可以得到：（5分）由式可得解向量和LSE为：（6分）2.我们希望从观察矢量和中估计序列。确定最优滤波系数、误差矢量e。 （3分） （6分）由，得 （8分）投影矩阵为 （10分） （12分）3. 用下列的数据举证和期望相应信号解LS问题：和。（15分）解：首先计算时间平均相关矩阵和互相关矢量： （4分）接着对进行分解。利用MATLAB函数，可以得到： （5分）由式可得解向量和LSE为： （6分）4. 给定矩阵；求出该矩阵的伪逆矩阵和投影矩阵P.。（15分）解：因为，所以，我们先算出X的转置矩阵:；