第二章平面力系的平衡与计算

1、第二章平面力系的平衡计算概述作用在物体上各个力的作用线若都处在同一平面内 ，则这些力所组成的力系称为 “平面力 系”.平面力系中包含两种最基本的力系： 平面汇交力系和平面力偶系。除平面基本力系之外的 平面力系，统称为平面一般力系。平面任意力系在工程实际中应用最为常见，许多实际问题都可以简化为平面力系来处理。 本章主要研究平面基本力系的合成与平衡、平面任意力系的简化和平衡、物体系统的平衡问题， 并介绍静定与超静定问题及摩擦问题的概念。第一节平面汇交力系的合成与平衡平面力系中，若力的作用线在同一平面内且汇交于一点，这样的力系叫做 平面汇交力系。图2-1表示用钢索吊起重物，铁环 A受到三个力Fti、

2、Ft2和Ft3的作用，三力作用线汇交于 A点，构成平面汇交力系。一、平面汇交力系合成与平衡的几何法1、平面汇交力系合成的几何法如图22（a），设刚体上作用有三个力Fi、 具体做法是：（1）选定比例尺，沿Fi方向作有向线段ab表示力 Fi.a为Fi始端,b为Fi终端（图2-2b）。由b点按同 样比例尺沿F2方向作有向线段bc表示F2。（2）连ac,矢量ac就是力Fi、F2两力的合力 FRI2，由比例尺可量出它的大小。（3）由c作有向线段cd,其大小为F3的数值，方 向沿F3o 连ad有向线段ad就是合力Fr。实际上，通常只是求三力合力 Fr,因而Fi、图F2两力的合力FRI2可不必作出。这样只要

3、将力系中的各力矢量首尾相接得一开口多边形，最后 由第一力矢量的始端到最后一力矢量的终端连一矢量，即开口多边形的封闭边就是平面汇交力系 的合力。根据一般规律，可以将上述方法推广到由n个力组成的平面汇交力系的情况，得到如下结 论：平面汇交力系的合成结果为一合力，合力的作用线通过力系的汇交点，合力的大小和方向 等于以各力为边的力多边形的封闭边。这种用几何作图法求平面汇交力系合力的方法称为力的多边形法。平面汇交力系的合力也可用矢量求和的形式给出：个人收集整理勿做商业用途FR = F1+F2+F3+ Fn 二匸 F(2 - 1)用力多边形法求合力时要注意：要按同一比例尺画各力，力的方向要正确；各力相加的

4、次序可以不同，但一定要使力矢量 首尾相接；合力矢量一定是第一力的始端，指向最后一力的末端；合力的大小和方向(Fr与水平方向的夹角)可以从图中直接量取(FR的量取值需乘以比例尺)， 也可用几何及三角中的公式，如正、余弦定理等求解。2、平面汇交力系平衡的几何条件由于平面汇交力系的合成结果为一合力，因而刚体在平面汇交力系作用下平衡的充分必要 条件是：汇交力系的合力为零。以矢量的形式表示为：Fr = 0 或刀 F = F1+F2+F3+ Fn = 0(22)因为平面汇交力系的合力可由力多边形的封闭边表示，若力系为平衡力系，则封闭边长度为零.这说明平面汇交力系平衡的几何条件是：力多边形自行封闭，即力系中

5、各力首尾相接构成一封闭多边形平面汇交力系的平衡条件可以用来求约束反力。例2 1如图2 3,起重机横梁AB与拉杆BC用铰链连接，并用固定铰支座连接在竖直壁 上。已知Fp = 1000N,作用于梁AB中点，梁及拉杆的自重不计，求 B、C及A处的约束反力。解：(1)取AB梁为研究对象。AB梁受有重物Fp的作用，B处受BC杆的作用，BC杆为 二力杆(受拉)，因而AB梁在B处受到的约束力Ft沿BC杆方向，由B指向C ,并与Fp的作用 线交与一点O°AB梁在A处受有约束反力Fa，由三力平衡汇交定理可知，Fa作用线通过0点沿 A0方向。所以AB梁在平面汇交力系作用下平衡。(2) 画AB梁受力图，见

6、图2-3 (b);(3) 画力多边形，求解未知量。由于平面汇交力系平衡时 ，力多边形自行封闭，所以按比 例尺先画出ab = Fp，由Ft、Fa与Fp夹60°角，画出封闭三角形如图2-3 (c)所示，根据力矢 量首尾相接的原则定出Fa的指向为从A指向O。显然, abc为等边三角形，Fa= Ft = Fp = 1000N， 方向如图由上例可以总结出利用平衡的几何条件解题的步骤 ：1、由题意选取适当的平衡物体作为研究对象；2、画该物体的受力图。分析研究对象的受力情况，画上主动力.根据约束的性质及利用二力 平衡公理和三力平衡汇交定理画约束力；3、 作力多边形。先画已知力，根据平衡的几何条件使

7、力多边形封闭，就可以得到表示未知 力大小和方向的向量线段；4、用比例尺、量角器或三角公式确定未知力的大小和方向二、平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法，是通过力矢量在坐标轴上的投影来分析力系的合成及其 平衡条件。1、平面汇交力系合成的解析法：利用力在直角坐标系上的投影，计算其合力的大小，确定合力的 方向。设由n个力组成的平面汇交力系作用于一个刚体上，以汇交点0作为坐标原点，建立直角坐标系xOy,如图2-4所示。根据力的投影规律及合力投影定理可知，合力Fr的大小为：FrfRxFRyFx 2Fy 2(2 - 3)合力Fr的方向为:tanF RxFya为Fr与x轴的夹角图2、

8、平面汇交力系平衡条件的解析形式：前面已指出，平面汇交力系的充要条件是该力系的合力为零，即Fr= 0。由式23可知，要使Fr . Fx 2 Fy 20，必须也只须：(2 - 4)Fx0Fy 0即平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中所有力在直角坐标系xOy中各轴上投影的代数 和分别等于零3、平面汇交力系合成与平衡解析法的应用平面汇交力系合成与平衡的解析法是求解静力学平衡问题的基本方法。以下举例说明它的应用。例2-2固定于墙内的环形螺钉上，作用有 3个力Fi、F2、F3,各力的方向如图2 5所示, 各力的大小分别为Fi=3kN，F2=4kN，F3=5kN。试求螺钉作用在墙上的合力.解：从图2-5(a

9、)中可以看到，三个力Fi、F2、F3属平面汇交力系，汇交点为 0。显然，它们 合成的结果是一个合力。因此，用力在坐标轴上投影的方法解此题较方便，坐标系原点就选择 在汇交点0处。见图24 (b)，显然：图RxFxF ixF2x F3x 0 4 5 cos30FyF1 yF2yF3y3 0 5 sin308.33kN0.5kN由此可求出合力Fr的大小和方向。由式2 3得到:Fr 蔦 FRy、8.332 ( 0.5)2 8.345kNtanFRyFRx8.330.06,3.6由于Fx为正值，而Fy为负值，所以Fr在第四象限。例2-3如图2 6(a)所示，已知圆球重G=100N，不考虑摩擦，试求绳和斜

10、面的约束反力。解：取圆球为研究对象，画受力图。圆球受力有重力G、绳的约束力Ft、和斜面的约束力Fn,这些力形成一平面汇交力系，见2 6 (b)。选择坐标系Oxy，列平衡方程：Fx 0, Ft Gsin300Fy 0, Fn Gcos30 0o解得:Ft Gsin30100 sin3050NFn G cos30100 cos3086.6N此题若选择图2 6(c)所示的坐标系Oxy，贝U应列出的平衡方程为:Fx 0,Ftcos30 Fn sin 300Fy 0, Ft sin30 Fn cos30 G 0在这种情况下，每一个平衡方程均有两个未知力，只能联立求解，才能得到本题的答案。由此可见，选择垂

11、直于未知力的投影轴，会使计算更简便。例2-4 图 2-7 为一起重装置，吊起重物 G=2kN，/ CAD=30 ° , / ABC= 60°,/ ACB= 30°，求杆AB和AC受的力。图解：首先分析各部分受力情况。AB、AC杆为二力杆，分别受拉、受压，杆端约束沿杆轴 线；滑轮受到AB、AC杆的作用力及绳索的作用力，不计摩擦，Ft1= Ft2=G.由于滑轮半径很小因而可近似认为滑轮所受力系为平面汇交力系。(1) 以滑轮A为研究对象，画它的受力图(图27c);(2) 建立坐标系，以A为原点，x轴与未知力Ftba垂直；(3) 列平衡方程并求解：由刀 Fx= 0：Ftc

12、a Ft2cos30° Ft1cos30° = 0,将 Ft1= Ft2=G 带入，则Ftca= 2G cos30° = 3.46kN;由刀 Fy= 0: Ftba+ Ft2cos60° Ft1 cos60° = 0,将 Ft1= Ft2=G 带入，则Ftba = 0即：杆AB不受力，杆AC受压力3。46kN。由以上例子总结出用解析法解平面汇交力系的平衡问题的步骤： 对系统各部分进行分析，确定研究对象，画受力图。有时只取一个研究对象不能把欲求 的未知力确定下来，因而要找几个不同的研究对象 ； 建立坐标系选择适当的坐标系，可以使解题简单。例如，可

13、使坐标系与某一未知力垂直 列平衡方程并求解。注意各力在坐标系的投影的正、负号。第二节平面力偶系的合成与平衡作用在物体上同一平面内的若干力偶，统称为 平面力偶系。1、平面力偶系的合成设一平面内作用两个力偶(F1、F1')及(F2、F2'),如图28 (a)所示。根据力偶的性质 可将两个力偶等效地换成力臂相等的两个力偶，然后在平面内平移，从而得到图28 (b)所示的 两个力偶(P1、P1)及(P2、P2)，并且：Mi( Pi、Pi' ) = Pid = Fidi M2 ( P2、P2 ' ) = P2d = F2d2由于Pi、P2与Pi'、P2'分别

14、共线，故可求出其合力为：R= Pi+ P2R' = Pi' + P2R、R'构成一力偶，如图28 (c)所示，它的力偶矩为：M = Rd = (Pi+ P2) d= Pid+ P2d= Mi+ M2即同一平面内两个力偶的合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。一般地，设平面上有n个力偶作用,力偶矩分别为Mi、M2Mn,则合力偶的力偶矩为：M = M i+ M2+Mn =刀M(2- 5)这就是平面力偶系的合力矩定理：平面力偶系可合成为一个合力偶，合力偶矩等于力偶系各力偶矩的代数和2、平面力偶系的平衡条件平面力偶系合成结果为一力偶，若此力偶矩为零，则系统平衡。故平面力偶系平衡的充分

15、 必要条件是：力偶系中各力偶矩的代数和为零。即：刀 Mi = 0(2 - 6)例2 5用多轴钻床在水平工件上钻孔时，每个钻头对工件施加一压力和一力偶。如图 2 9所示，已知图中三个力偶分别为 Mi=iONm, M2=iONm, M3=20Nm,固定螺栓A和B之间的 距离L=0。2m,求螺栓受到的水平力。1(0 ')1图解：(1)取工件为研究对象，分析其受力情况工件在水平面内受有三个主动力偶和两 个定位螺栓的水平反力，在它们的共同作用下处于平衡。根据力偶的性质，反力Fna与Fnb必然 组成一力偶，且与上述三个力偶相平衡。(2)列平衡方程 由刀Mi = 0:FnaL MiM2 M3= 0F

16、 NA10 10 2002200(N)F NB方向如图所示而螺栓所受之力与该两力大小相等，方向相反。例2-6 梁AB受力偶作用，如图210所示。已知Mi=200kNm,M2=100kNm,梁跨长L=5m， 求A、B支座反力。J 牟 9 L9解：(1)取梁AB为研究对象，进行受力分析。梁受的主动力均为力偶，因而平衡时，A、B处的反力也必组成一力偶,即Fa与Fb沿铅垂方向，大小相等、方向相反画受力图2-10 (b)。(2)列平衡方程由刀Mi = 0 :FaL+M 1 M2 = 0M2 M1100200L520(kN)“一”号说明Fa的指向与图示假设方向相反，应竖直向上；自然Fb也与图示方向相反，应

17、竖 直向下。第三节平面任意力系的简化及简化结果讨论平面任意力系的概念力系中各力的作用线都在同一平面内，它们既不汇交于一点，也不全部平行，这种力 系称为平面任意力系(简称平面力系)如图2-11所示的悬臂吊车的横梁，受到载荷 Q、重 力G、支座反力Fax、FAy和拉杆CB拉力T的作用，这些力的作用线均分布在同一平面内， 它们不完全汇交于同一点，彼此间也不完全平行，显然这个力系就是平面任意力系。平面任意力系是工程上最常见的力系，很多工程实际问题都可以简化为平面任意力系来 处理。平面任意力系的简化设一刚体上作用有n个力组成的一平面任意力系F1、F2、Fn，如图2-12 (a)所示： 今在力系所在的平面

18、内任意取一点O,称为简化中心，根据力的平移定理，将力系中的各力向O点平移，得到一个作用线通过 O点的平面汇交力系F1、F2'Fn'和一个平面附 加力偶系M1、M2Mn，如图212 (b)所示.这两个力系对刚体的作用效应与原力系等 效。图1、平面汇交力系Fl'、F2'Fn',可以合成为一个作用于 0点的合矢量Fr'，如图2-12(c)所示。即：Fr F F(27)它等于力系中各力的矢量和.显然，单独的Fr'不能和原力系等效，故称它为力系的主矢.力 系的主矢Fr'完全取决于原力系中各力的大小和方向，与简化中心 0的位置无关。将(2-1

19、)式 向x、y轴投影可得：FRyFxFy(2 - 8)主矢的大小：(2 9)Fr, FRx FRy ,( Fx)2 ( Fy)2主矢的方向：tanIF:I，其中夹角a(Fr' ,x)为锐角,FR'的指向由工Fx、X Fy的正负号决定2、附加力偶系Mi、M2Mn可以合成为一个合力偶 M。，即:Mo Mi M2MnMo(F)(2-10)显然，单独的M。也不能和原力系等效，故称其为原力系的 主矩。因为主矩等于原力系各力 对简化中心O之矩的代数和，当选择不同的点作为简化中心时，各力对简化中心的力矩也将改 变，所以主矩与简化中心的位置选择有关。综上所述，平面任意力系可以向其作用平面内任一

20、点进行简化，简化结果得到一个主矢FR '和一个主矩M。主矢和主矩是决定力系对刚体作用效应的两个重要物理量，它们加在一起才等效于原力系对刚体的作用。三、平面任意力系简化结果的讨论平面任意力系的简化，一般可得到主矢 Fr'和主矩M。，但它不是简化的最终结果，最终结 果有以下四种情况：1、Fr'工 0，Mo= 0表明原平面力系简化为一个合力，且合力作用线通过简化中心；2、FR' = 0，Mom 0表明原平面力系简化为一个力偶此时无论取平面上哪一点为简化中心，结果都是一个力偶矩 不变的力偶；3、Fr '工 0， M oM 0根据力的平移定理逆过程，可以把主矢Fr

21、'和主矩Mo合成为一个合力Fr，合成过程如图2-13所示。合力Fr的作用线到简化中心 O的距离为：(2 11)图dMoMoFrFr4、Fr ' = 0,M 0= 0 表明原平面力系为一平衡力系，此时受力物体处于平衡状态。四、平面任意力系简化的工程实例应用1、合力矩定理从图213 (c)可以看出，合力Fr对简化中心之矩为：Mo(Fr) = FRd利用(2-4)式和(2-5)式，可以得到：Mo (FR)=刀Mo (F)这一结果表明：平面任意力系的合力对平面内任一点之矩等 于该力系中各个力对同一点之矩的代数和 。此结论称为平面任意图MFAB 0Mb(F)Mb中的约束力和约束力偶表示其

22、约力系的合力矩定理。应用合力矩定理,可以使力对点之矩的计算更为简便。例如，为求图2-14中作用在支架上C点的力F对A点之矩，可以将力F沿水平和垂直方向 分解为Fx和Fy,然后由合力矩定理，得到：M a(F) = Ma(Fx) + Ma ( Fy) = (F cos a) b + (F si na ) a此外，应用合力矩定理，还可以确定合力作用线的位置。 2、固定端约束反力固定端约束常见于工程结构中。如以焊接或其它方式固结于立柱上的横梁所受的约束，金属 切削车床刀架对于车刀杆的约束，车床卡盘对于工件的约束等。被约束物在联接处既不能移动 也不能转动,是完全固定的。固定端约束处的实际约束力比较复杂，

23、但作受力分析时 只需根据平面任意力系的简化理论，就可求得这些力对约束处 的简化结果。现以图2-15 (a)所示之悬臂梁为例分析之。作为固定端 约束,墙对于梁的嵌入部分作用有分布较为复杂的约束力，这些力的大小、方向及数量都无法确定，如图2 15(b)所示。但无论约束力如何分布，当主动力为平面力系时，这些力也将 组成平面力系应用平面任意力系的简化理论，将分布的约束 力向固定端A点简化，得到一个力Fa和一个力偶Ma。力Fa 用水平和垂直方向的分量 Fax和FAy表示.Fa和Ma分别称为 约束力和约束力偶，见图2-15 (c)。固定端的约束有多种多样，但简化后都可以用图2 15(c)束力。例27图2-

24、16所示的刚性圆轮上所受复杂力系可以简化为一摩擦力F和一力偶矩为M的力偶(方向如图中所示).已知F=2.4kN。今欲使F和M向B点简化的结果只是沿水平方向的主 矢Fr'，而主矩为零，求力偶矩 M的大小。图解：由题意，将力F和力偶M向B点简化，根据式24得到:式中，M的负号表示力偶为顺时针转向；AB 空° 12387mm 0.387m,2将其连同力F = 2。4kN代入上式后解得：M = 0。93kNm。第四节平面任意力系的平衡方程及其应用一、平面任意力系的平衡方程前面分析了平面任意力系简化的结果是一个主矢和一个主矩，二者分别使得物体具有移动和个人收集整理勿做商业用途转动的效应

25、。静力学主要研究物体在外力作用下处于平衡状态。所谓“物体处于平衡状态"是指: 物体相对于地面保持静止或做匀速直线运动的状态。只有当平面任意力系的主矢和对任意点的 主矩同时为零时，力系既不能使物体发生移动也不能使物体发生转动，此时物体处于平衡状态.因 此，平面任意力系平衡的充要条件为：Fr J( Fx)2 ( Fy)2 0(2_12MoMo(F) 0所以平面任意力系的平衡方程为：Fx 0Fy 0(2 - 13)Mo(F)0式(2-6)满足平面任意力系平衡的充分和必要条件。所以平面任意力系有三个独立的平 衡方程，最多能求解三个未知量二、平面任意力系的平衡方程的应用举例平面任意力系的平衡问

26、题在工程实际中极为常见是物体静力分析的重点。它包括单个物体 和由多个物体组成的物体系统的平衡问题。本节主要讨论单个物体平衡问题的求解。其要点和 步骤是：1、取研究对象,画分离体的受力图；2、选择适当的坐标轴和矩心选择投影轴和矩心的技巧是：尽可能使多个未知力与投影轴垂 直,尽可能把未知力的交点作为矩心，这样方便解题，可以做到列一个方程解一个未知量， 避免联立解方程；3、列平衡方程；4、解平衡方程，求解未知量.例28 外伸梁如图2 17(a)所示，F=qa/2,M=2qa2。已知q、a，求A、B两点的约束反 力。解：取AB梁为研究对象，画受力图如图2-17 ( b)所示。其中，均布载荷q简化为作用

27、 于D点的一个集中力Fq，FQ=3qa;FA，Fbx和FBy为三个待求的未知量，用三个独立的平衡方程 即可求解。建立坐标系Bxy。注意，这里的平面直角坐标系已隐含在力的取向中，故未画出。列平衡 方程：Mb(F) O,Fq (a a/2) F a M Fa 2a 0将Fq、F、M的大小带入后解得：Fa 3qa/2又：由艺 Fx=O,FBx=0由艺 Fy=O,FA+FBy Fq F=0将Fa、Fq、F的大小带入后解得：FBy= 2qa。从以上例题的分析和运算过程可以看出：在有三个未知量的平面任意力系中，为了少联立或不联立解方程，只要先把两个未知力的交点作为矩心去建立力矩方程，就能求出第三个未知量，

28、 再列力的投影方程，求出其余未知量。另外，需要说明的是，在工程实际中，力系各力作用线严格处于同一平面内的情形并不多 见。在多数情况下，或者将力系近似看成在同一平面内，或者本身就是空间力系但却对称于某 一平面，这时可将其简化到该平面内而成为平面力系。例如直线匀速行驶的汽车，它受到的力 有重力、驱动力矩、作用在车轮上的约束力(含摩擦力)、空气的阻力，这些力就可以简化到汽 车的几何对称面内而作为平面力系处理。例2-9 摇臂吊车如图2-18(a)所示，水平梁承受拉杆的拉力Ft。已知梁的重力为G=4kN， 载荷为W=20kN,梁长L=2m,拉杆倾角a =30° .试求当载荷移动到离A铰的距离x

29、=1°5m时，拉杆 的拉力和铰链A的约束反力.解： 取AB梁为研究对象，画受力图如图218 ( b)所示.因Ft可以分解为水平和垂直两 个方向的分力，所以A、B两点各为两个未知力的汇交点。经比较，取 B点为矩心列出力矩方 程计算较为简单。即：由 Mb(F) 0： G L W (L x) FAy L 0将已知数据带入后解得：FAy 7kN又由 Fy 0： Ftsin30FAyG W 0将已知数据带入后解得：Ft 34kN 再由 Fx 0： FAx Ft cos300，将已知数据带入后解得：Fax 29.44kN个人收集整理勿做商业用途图说明：因Ft、Fax、FAy的大小随x的变化而变化

30、，所以当需要考虑 AB梁的强度时，应从x 值变化的全过程来考虑。例2-10 图219所示为一汽车起重机。已 知车重为G1,平衡配重为G2,各部分尺寸如图所示。 试求最大的起吊重量 G3，和两轮间的最小距离(DE) min。解:取汽车起重机整体为研究对象，画受力图 如图所示.显然汽车起重机受平行力系作用，力在水 平坐标轴上的投影为零，故只有两个独立的平衡方 程，可解两个未知量。此题实际上是起重机颠覆冋题的求解。若起 重机颠覆，则平衡遭破坏，因此利用介于平衡与不平 衡之间的临界状态即可求解。当起重机工作时，随 着起吊重量G3的增加，汽车绕支点D作逆时针方向倾倒的趋势逐渐增大，相应地后轮受地面支反力

31、的作用逐渐减少设 G3 = G3max为满载时的情形，而汽车起重机处于将要左翻而又未翻的临界平衡状态，其后轮也不再受地面支持力的作用，即：Fne = 0;当G3=0时,即为空载情形，设DE= (DE) min,若配重过大，则汽车将绕支点 E作 顺时针倾倒，前轮不再受地面支持力的作用，Fnd = 0.由此分别写出Fne = 0和Fnd = 0这两种临 界状态时的平衡方程：由艺 Md(F) = 0:G3X 4- G1X 1.5-G2X( DE+2) = 0由艺 Me(F) = 0:G1X (DE 1。5)- G2X2 = 0max。由方程可知，两种情况下，DE值越大越不容易倾覆，.临界状态时 DE

32、= (DE)min， G3 = Gmax。解上述方程，得：2纶1.5Gi=35kN,(DE)min = 3。5m。2327 z L、G3max 8G128G2，(DE)min若设 G1 = G2 = 20kN，则有： G3max第五节物体系统的平衡一、物体系统的平衡前面所讨论的平衡问题，只涉及一个物体.工程中常见的是由两个或两个以上的物体通过一 定的约束方式连接组成的系统，这样的系统称为物体系统，简称物系。在物体系统中，由于物体数目多、约束方式和受力情况复杂，往往只考虑整个系统、或系统 的某个局部、或某一个物体的平衡，都不能解出全部未知力.当物体系统平衡时，组成该系统的每 一个局部系统、每一个

33、物体也必然是平衡的。因此，只要全面而恰当地考虑整体平衡与局部平衡，就可以解出全部未知力。这就是物体系统平衡问题的特点。例211图2 20 ( a)所示为曲轴冲床简图，由轮I、连杆 AB和冲头B组成.已知 OA=R,AB=L ,不计摩擦和自重.当OA处于水平位置、冲压力为F时,系统处于平衡状态。求: (1) 作用在轮I上的驱动力矩 M ; (2)轴承O处的约束力；(3)连杆AB受的力；(4)冲头给导轨 的侧压力.图(a)(b)(c)(d)解：(1)首先以冲头为研究对象。冲头受冲压阻力 F、导轨的约束力FN以及连杆(二力杆) 的作用力Ft。见图2-20 (b),为一平面汇交力系。设连杆与铅垂方向夹

34、角为©，按图示坐标轴列平衡方程：由 Fx 0, Fn Ft sin0由 Fy 0, F Ft cos 0F F . L2 R2FR解得：Ft,FnFta n 22cosL, L2 R2冲头对导轨的侧压力的大小等于Fn,方向相反。(2)再以轮I为研究对象。轮I受平面任意力系作用，包括矩为M的力偶，连杆作用力Ft,以及轴承的约束力Fox、FOy，见图2-20(d)。按图示坐标轴列平衡方程：由M OF 0,Ft cosRM 0由Fx0, FoxFt sin0由Fy0, FoyFt cos0解得：MFR,F°xt FR 2 ,FOy Fv L2 R2负号说明力FOx、FOy的方向与

35、图中假设的方向相反二、静定与超静定问题的概念前面所研究的问题，作用在刚体上的未知量的数目正好等于独立平衡方程的数目，可由平衡方程求出全部的未知量，这类问题称为 静定问题。实际工程结构中，为了提高结构的强度和刚度，增加承载能力，常常在静定的结构上，增加一些构件或约束，这样就出现了作用在刚体上的约束未知量数目多于对应的独立平衡方程数目， 仅用静力平衡方程不可能求出所有的未知量，这类问题叫做静不定或 超静定问题。如图221,增 加了 C点的约束后，由于位置量变为4个，而独立的静平衡方程仍为3个，属超静定问题。对于超静定问题，仅靠独立平衡方程不能求出全部未知量，但并不是说就无法求解了，只是 在静力学中

36、我们研究的对象是刚体，忽略了物体受力后的变形问题，使得问题的研究无法深入下去.而在后续的材料力学中，将着重考虑物体受力后的变形问题，只要补充建立变形与作用力之间 的关系式，使得未知量数目与独立方程数目相等，超静定问题依然可解。利用物体系统平衡问 题的特点，也可以使得超静定问题的解决得到另外一些思路.例212图222 (a):复合梁在B处用铰链连接，其上作用有力偶矩为M的集中力偶和载荷集度为q的均布载荷。已知L、M、q,求固定端A和活动铰链C处的约束反力.解：取复合梁整体为研究对象，分析 A、C处的约束反力，见图2-22(b).显然，约束反 力数目是4个,超过独立平衡方程数，属超静定问题.分别以

37、构件AB、BC为研究对象，画受力图, 见图 2 22(c)、(d)。针对图2-22( b):根据整体系统平衡有： 针对图2-22( d):根据构件平衡条件有：Fnc 2L M qL -0,解得：2工 Fx= 0, 艺 Mb (F)Fax= 0;=0，FncM2LqL4再针对图222 ( b)：根据整体系统平衡有：由工Fy = 0,FAy 2qL Fnc 0,将Fnc代入后解得:7 M4q 2L再由 工 Ma ( F) = 0,Ma 2qL X 2L M + FncX4L = 0,将Fnc代入后解得：Ma = 3qL2 M。例2 13 一构架如图223(a)所示.已知F和a,且F1=2F。试求两

38、固定铰支座A、B和中 间铰C的约束反力。解：分别取构件ACD及BEC为研究对象，画出分离体的受力图，如图2-23 (b)、2-23 (c) 所示。图2-23 (b)有4个未知量，不可解；图2-23 (c)也有4个未知量，但有3个未知力汇交 于一点，可先求出Fbx和Fcx',即：1F(1jja一 a1(a)(c)(b)图由MCF 0:FBx2a F a 0,解得：FBxF/2;由Fx0：FbxFexF 0,解得：Fex F/2抵解出Fex'后，图2-23(b)中的Fex变为已知量，因而可解。即：由 Ma(F) 0： Fey a Fex 2a Fi 2a 0,解得：Fey 3F ；

39、由Fy0：FAyFeyFi0,解得：FaF,负号表示Fa的实际方向与图中假设相反；由Fx0：FaxFex0,解得：FaxFexF/2求出Fey后,再回到图2-23(c)求解FBy，即:由Fy0:FByFey0,解得：FBy3F。通过以上例题可以看出，求解物系平衡问题时应注意以下四个方面的问题：1、整体平衡与局部平衡的问题物系如果整体是平衡的，则组成物系的每一个局部以及每一个构件(刚体)也必然处于平衡 状态；2、研究对象有多种选择物系是由多个刚体构件组成的，在解决超静定问题时选取研究对象要根据实际问题的需要 可以选整个系统为研究对象，也可以选择局部作为研究对象，有时还要选择单个物体作为研究 对象

40、；3、受力分析时，要分清内力和外力内力和外力是相对的，要视研究对象而定。研究对象以外的物体作用于研究对象上的力称 为外力，研究对象内部各部分之间的相互作用力称为 内力。注意，内力总是成对出现的，它们大小 相等、方向相反、作用在同一直线上，分别作用在两个相连接的物体上即：如果以整体为研究对象，则其内部的内力不用考虑；如果以局部为研究对象，则内力变成了外力4、物体系统的受力分析根据约束性质确定约束反力，注意相互连接物体之间的作用力和反作用力，使得作用力在整体系统、局部以及每个构件上均处于平衡状态，从而利用平衡方程求解。第六节考虑摩擦时的平衡问题前面几节研究物体的平衡都忽略了摩擦，即把物体间的接触面

41、视为绝对光滑的表面，但在 大多数工程技术问题中，摩擦对物体的平衡有着重要的影响.摩擦在实际生产和生活中，表现为有利、有害的两个方面。人靠摩擦行走，车靠摩擦制动, 螺钉无摩擦将自动松开，带轮无摩擦将无法传动，这些都是摩擦有利的一面；但是，摩擦还会 损坏机件、降低效率、消耗能量等，这是摩擦有害的一面。一般将摩擦现象分类如下：1）按照物体接触面的相对运动情况，分为滑动摩 擦和滚动摩擦；2）按照两接触体之间是否发生相对运动，分为静 摩擦与动摩擦；3）按接触面间是否有润滑，分为干摩擦与湿摩 擦。本节重点介绍无润滑的静滑动摩擦的性质，以及考虑 摩擦时力系平衡问题的分析方法。一、滑动摩擦两个相接触的物体，当

42、接触面发生相对滑动或有相对 滑动趋势时，在接触面上会出现彼此阻碍物体相对滑动的力，此力称为滑动摩擦 力.滑动摩擦力也属于约束力的范畴，是一限制物体相对滑 动的切向约束力，它作用于物体相互接触处，其方向总是沿着接触处的公切线，并与物体相对 滑动或相对滑动趋势的方向相反。滑动摩擦力依据物体接触处是否已滑动，分为静滑动摩擦力 和动滑动摩擦力.1、静滑动摩擦力图2-24（a）,在粗糙的水平面上放置一重量为 W的物体，由绳通过滑轮系着，下面挂着砝 码。物体所受的作用力有：绳子的拉力Ft （其大小等于砝码的重量）、重力W和垂直于水平面的法向约束力即正压力Fn。当砝码重量较小时，物体保持静止。这说明在粗糙的

43、水平面上还存 在一个阻碍物体向右滑动的切向力，这个力即为静滑动摩擦力，简称静摩擦力，用符号Ff表示，其 大小由物体平衡条件决定：刀 Fx= 0，Ft Ff = 0,Ft= Ff由此可见，静摩擦力的大小随水平拉力 Ft的增大而增大。当砝码的重量（即 Ft的大小）增 加到一定数值时，物体处于将要滑动而又未滑动的临界平衡状态。此时拉力只要稍有增加，物 体即开始滑动，静摩擦力达到了最大值，用Ffmax表示。可见，静摩擦力的大小总是介于零与最大静摩擦力之间的，即：0W Ff W Ffmax（2 14）大量实验表明，最大静摩擦力Ffmax的大小与两物体间的正压力FN。成正比，即：Ffmax = fs FN

44、（2 15）上式称为静滑动摩擦定律，又称库伦摩擦定律.式中的比例常数fs称为静滑动摩擦因数，简称 静摩擦因数,是量纲为一的正数.静摩擦因数与接触物体的材料及接触面的粗糙度、湿度、干湿度 等因数有关，其数值可从相关的工程手册中查到.表2-1列出了常用材料的静摩擦因数，以供参 考。2、动滑动摩擦力继续图2-24的实验。当静摩擦力已经达到最大值时，若继续增加砝码的重量（即水平拉力 Ft再增大），则物体与接触面之间将出现相对滑动.此时接触物体之间仍作用有阻碍其相对滑动 的力，这种阻力即称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力，用符号Ff'表示。实验表明，动摩擦力Ff'个人收集整理勿做商业用途的大

45、小与两物体间的正压力 Fn。成正比，即：Ff' = f Fn。( 2- 16)上式称为动摩擦定律。式中的比例常数 f称为动滑动摩擦因数，简称动摩擦因数，也是量 纲为一的正数。动摩擦因数也与接触物体的材料及接触面的粗糙度、湿度、干湿度等因数有关， 其数值可从相关的工程手册中查到。动摩擦因数f 一般小于静摩擦因数fs,而且还与接触物体相 对滑动的速度大小有关。在多数情况下，动滑动因数随相对滑动速度的增大而稍有减小，但在 速度不大时，可以忽略速度对动摩擦因数的影响而近似地认为动摩擦因数是一个常数。表2-1 fs的参考值钢对钢钢对铸铁钢对铜二、摩擦角与自锁现象如图225(a)是水平面上一物体的

46、受力情况。其中Fq为主动力的合力，当考虑摩擦时，物体所受支撑面的约束力包括法向正压力Fn和切向静摩擦力Ff，这两个力的合力Fr = Fn+ Ff ,称为支撑面的全反力，全反力的作用线与接触面法线之间的夹角为©.随着主动力的合力Fq的增加,物体发生运动的趋势增加，静摩擦力Ff也随之增大，夹角©将随着Ff的增大而增大。当主动力增大到FQmax时，物体处于运动的临界状态，Ff = Ffmax，©达到最大值© m,称为临界摩擦角，简 称摩擦角一-全反力与接触面法线夹角的最大值，如图2-25 (b)所示。根据几何关系有：f maxf s FNstan mFnFns

47、>即：tan m(2 17)即:摩擦角的正切等于静摩擦因数。可见摩擦角和静摩擦因数都是表示材料表面性质的量。也正是因为© m对应于物体的临界平衡状态，并代表了物体由静止到运动的转折点，所以在考虑有摩擦的平衡问题时，它与Ffmax有着同样重要的意义。由于静摩擦力的取值范围为:0< Ff< Ffmax ，因此全反力FR的作用线与接触面法线间的夹角 ©也不可能大于摩擦角© m,即：m,FR的作用线必定在摩擦角以内，只有当物体处于 临界状态时，Fr的作用线才与摩擦角的一条边(非接触面的法线)共线。如果主动力的合力FQ的作用线在摩擦角以内即av©

48、 m，a为Fq与接触面法线间的夹角，见图 2-25 (a),则无论这个 力有多大，总有一个全反力 Fr与之平衡，从而使物体保持平衡；反之，如果主动力的合力Fq的作用线在摩擦角以外即a>© m,见图2-25 (b),则FR不能与FQ共线，无法满足二力平衡条件， 无论Fq有多小，物体也不能保持平衡，将发生滑动。这种与主动力的大小无关而与摩擦角有关的 平衡条件称为自锁条件，物体在自锁条件下的平衡现象称为 自锁现象。显然，图2-26情形的自锁条件是：aW© mo(2 18)例2 14如图227 (a),在倾角为B的斜面上放一物体，物体只受重力 W的作用，物体个人收集整理勿做商

49、业用途与斜面之间的静摩擦因数为fs.求物体保持平衡时，斜面的最大倾角B max。解：画出物体的受力图（图2-27b）,物体受到主动力 W及全反力Fr的作用.据二力平衡公理, 此二力必须等值、反向、共线，故全反力 Fr的方向应沿铅垂线向上，它与斜面法线间的夹角等 于B。根据经摩擦自锁条件，B不能大于摩擦角© m,故能保持物体平衡的斜面最大倾角为：B max = © m = arcta n fse©©摩擦角和自锁原理在工程实际中常常得到广泛的应用。上例的结果就可用来测定两种材料 间的摩擦因数。用两种材料分别做成斜面与滑块（图2 27c）,将滑块放在斜面上，逐

50、渐增大斜面的倾角B,直至滑块在自重力作用下开始下滑 此时斜面的倾角即为摩擦角，即B max = © m,其正 切值就是静摩擦因数：tan© m= fs。斜面的自锁条件就是螺旋机构的自锁条件。因为螺旋可以视为绕在一圆柱体上的斜面，如 图2-28所示。螺旋升角就是斜面的倾角；而螺母相当于斜面上的滑块A，加于螺母的轴向载荷P,相当于滑块A的重力。要使螺旋自锁，必须使螺旋升角B小于等于或摩擦角©m。因此螺旋的自锁条件是：BW© m。若螺旋千斤顶的螺杆与螺母之间的摩擦因数为fs = 0.1,则：tan© m= fs = 0o 1，即：© m=

51、5° 43'为保证螺旋千斤顶可靠自锁，一般取螺旋升角B = 4° 4° 30'三、考虑滑动摩擦时物体的平衡问题考虑摩擦时物体的平衡问题，与不考虑摩擦时的平衡问题有共同之处，即物体平衡时均应满 足平衡条件，解决问题的方法和过程也基本相同不同之处在于：1、画物体受力图时，必须考虑摩擦力。摩擦力的方向与物体相对滑动趋势的方向相反；2、在滑动之前即物体处于静止状态时，摩擦力是一个范围值，故问题的解答也一定是平衡 范围的一个临界值；3、当物体处于临界平衡状态和求解未知量的平衡范围时 ，除了要列出平衡方程外，还要列出个人收集整理勿做商业用途摩擦关系式Ffmax

52、 = fs Fn作为补充方程。(一)、解析法在涉及力较多的情况下，通常采用解析法求解有摩擦的物体或物系的平衡问题。a、o试求维持系统静止所需要的最小力 F。例2 15 有一种制动装置，如图2-29( a)所示。已知鼓轮上的转矩为 M，几何尺寸 b、c、r及鼓轮与制动片间的静摩擦因数fs解：以制动装置作为分析对象，分别画出制动杆与鼓轮的受力图，见图2 29(b)、(c)。因所求力为FMo(F) = 0：之最小力，故摩擦处于临界状态，即Ff = Ffmax。先对鼓轮列平衡方程及补充方程：由刀M Ffmax X r= 0, Ffmax = M/r ；因 Ffmax = fs Fn，故：lFf max

53、MFn fsrfs再对制动杆列平衡方程：由刀Ma(F) = 0:Fn X a Ff X c FX b = 0FNa FfCM£解得：FafsC .brbf s若有具体数值，带入后解得 F值为零、为负值，说明不用力，甚至略微反向提一下，装置都 不会松开，这就是达到了自锁.显然，自锁条件：a< fsc。例216图230所示为一攀登电线杆时所用的套钩.已知套钩的尺寸L,电线杆直径D， 静摩擦因数fs.试求套钩不致下滑时脚踏力 F的作用线与电线杆中心线的距离 do解：取套钩为研究对象画受力图如图2-30(b)o套钩工作时有向下滑动的趋势，d值越大越不易滑动。当d=dmin时，套钩处于临

54、界平衡状态，此时A、B两处所受摩擦力达到最大值。列 出平衡方程和补充方程：由 Fx0： F na f nb 0由FyBf max由 Ma（F ）0： FNB L FBf max DF dmin而:FAf maxfsFNA， FBf maxf sFNB-7-”_31联立求解以上方程，即得套钩不致下滑时脚踏力F作用线与电线线的最小距离为:d dmin这也就是套钩不至下滑的临界条件。由此判断出套钩不致下滑d应满足的范围是:（二八几何法将接触面的切向和法向约束力合成为全反力Fr后，若物体平衡问题所涉及的力不超过3个，用几何法求解比较简单。例2-17图2-31（a）、（b）为两种自动夹紧机构，机构中各接

55、触面静摩擦因数均为 fs,拉 杆AE受力F作用有下滑趋势。图2 31（a）中拉杆AE被掉入固定导板中的小轮 C夹住，斜 导板的偏角为B ；图2-31 （b）中拉杆AE被曲柄AB夹住。已知尺寸L、a,且L>a。试求两种 情况中拉杆AE的自锁条件（不计各构件自重）。解：若小轮C、曲柄AB在A处自锁，则拉杆AE必自锁.因此只要求出小轮C和曲柄AB 的自锁条件即可。分别画出它们的受力图（图2-31c、b）,自锁时两者均为二力构件。对于小轮：自锁条件为：i m，即：% fs ；对于曲柄：自锁条件为:m，而：ta nL，于是自锁条件可写成aa例218用绳拉一直径为d,重力为W的油桶，翻越高为h的台阶，如图232(a)所 示。已知油桶与台阶之间的静摩擦因数为fs,求油桶与台阶间不打滑的条件。图aa解：(1)作油桶平衡状态受力图，如图232(b)所示.根据三力平衡汇交条件,A处全反力Fra 与F、W汇交于B。(2)连AB,过A作直径线的垂线，垂足为 D，贝tan故:tan(3)按自锁条件，对于A点应有:tanfs,即:因此，不打滑条件可写为:d