第一节向量及其线性运算

1、第七章 空间解析几何与向量代数一、学时分配：讲课学时：14，习题课学时：2 ,共14 + 2 学时二、基本内容：空间直角坐标系 ，向量及其线性运算， 数量积、向量积， 曲面及其方程 ，空间曲线及其方程 ，平面及其方程， 空间直线及其方程。三、教学要求：（ 1） 理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示 .（2） 掌握向量的运算 （线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。（3） 理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方 法.（ 4） 掌握平面方程和直线方程及其求法。（5） 会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，

2、并会利用平面、直线的相互关系（平行、 垂直、相交等）解决有关问题 .（6） 会求点到直线以及点到平面的距离 .（ 7） 理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及 母线平行于坐标轴的柱面方程 .（8） 了解空间曲线的参数方程和一般方程。（9） 了解空间曲线在坐标平面上的投影 ，并会求其方程。四、重点难点：1重点：两向量的数量积、向量积及它们的坐标表达式，两向量平行、垂直的条件，平面的点法式方 程，直线的对称式方程，球面方程，母线平行于坐标轴的柱面方程 .2难点：两向量的向量积，旋转曲面方程 ， 空间曲线在坐标面上的投影曲线的概念和方程。第一节 向量及其

3、线性运算教学目的 ：使学生对（自由 ）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础 .将学生的思维由平面 引导到空间 ，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。教学重点 ：1。向量的概念2 。向量的运算3. 空间直角坐标系的概念4。向量的坐标表示式教学难点：空间思想的建立，向量平行与垂直的关系，向量的坐标表示式教学内容：一、向量的概念1 .向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。2. 向量的表示方法有：a、i、F、OM、 等等.3. 向量相等a b：如果两个向量大小相等，方向相同，则

4、说两向量相等（即经过平移后能完全重合 的向量）。4. 向量的模：向量的大小，记为a或OM。模为1的向量叫单位向量，模为零的向量叫 零向量。零向量的方向是任意的。5. 向量平行a/b :两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与任何向量都平行。6. 负向量：大小相等但方向相反的向量，记为a.、向量的线性运算1加减法a b c :加法运算规律：平行四边形法则 （有时也称三角形 法则），其满足的运算规律有交换律和结合律见图7-4图7 4加法运算图2. a b c 即 a （ b） c3. 向量与数的乘法a :设 是一个数，向量a与 的乘积 a规定为(1)0时，a与a同向，| a|a0时，a 0(

5、3)0 时，a 与 a 反向,| a | |a|其满足的运算规律有:结合律、分配律。设a0表示与非零向量a同方向的单位向量，那么定理1:设向量a工0,那么，向量b平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实数例1：在平行四边形 ABCD中，设AB a , AD b，试用a和b表示向量MB、MC和MD，这里M是平行四边形对角线的交点。（见图7-5）1解：a b AC 2AM，于是 MA （a b）2入，使b= a °1由于MC MA，于是MC (a b)21又由于a b BD 2MD，于是MD -(b a)1由于MB MD , 于是MB -(b a)2三、空间直角坐标系1. 将数轴（一维）、

6、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7- 1,其符合右手规则。即以右手握住z轴，当右手的四个手指从 x轴的正向以一角度转向y轴的正向时，大拇指的2指向就是z轴的正向。2. 空间直角坐标系共有八个卦限 ，各轴名称分别为：x轴、y轴、z轴，坐标面分别为xoy面、yoz 面、zox面。坐标面以及卦限的划分如图7 2 所示.图71右手规则演示图图72空间直角坐标系图图7 3空间两点M 1M 2的距离图3空间点M（x,y, z）的坐标表示方法.通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。注意：特殊点的表示a）在原点、坐标轴、坐标面上的点；b）关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表

7、示法。4. 空间两点间的距离若MxyzJ、M2（x2, y2,z2）为空间任意两点,则M1M2的距离（见图7 3）,利用直角三角形勾股定理为:所以d21M2M1NNMMJ? pN 2MiPX2xPN y2 yiNM 2 z z1NM2M 1M 2(X2 xj2 (y2 yi)2 (Z2 zi)2特殊地：若两点分别为 M (x, y, z) , o(0,0,0)，则d oM |斗x2 y2 z2例1 ：求证以Mi(4,3,1)、M2(7,1,2) > M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。证明：MjM 22(47)2(31)2(12)2142222M2M 3(57)2(21

8、)2(32)26M3M1 2 (5 4)2(2 3)2 (3 1)26由于 M2M3 M3M1 ,原结论成立。例2：设P在x轴上，它到R(0,J2,3)的距离为到点F2(0,1, 1)的距离的两倍，求点P的坐标.解：因为P在x轴上，设P点坐标为(x,0,0)IPRVx242232Jx211 PP2v'x21 212v'x22PP12PR ，Jx2 112< _2x 1所求点为：(1,0,0)，( 1,0,0).四、利用坐标作向量的线性运算1. 向量在坐标系上的分向量与向量的坐标通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量 的研究

9、，需要建立向量与有序数之间的对应关系。设 a = M 1M2 是以 Mi(Xi, %,乙)为起点、“2(X2, y?, z?)为终点的向量，i、j、k分别表示沿x, y,z轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图7 5,并应用向量的加法规则知：M1M2 (X2 Xi) i + (y? yi) j+(Z2 zjk或a = ax i + ayj + azk上式称为向量a按基本单位向量的分解式.图7 5有序数组ax、ay、az与向量a 一一对应，ax、ay、az就叫做向量a的坐标，并记为a =ax, ay, az。上式叫做向量a的坐标表示式.于是，起点为Mi(xi,yi,zj终点为

10、M2(X2,y2,Z2)的向量可以表示为M1M2 X2 Xi, y2 yi，z2 召特别地，点M (x,y,z)对于原点0的向径OM x, y,z注意：向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标有本质区别：向量a的坐标是三个数ax、 ay、az；向量a在坐标轴上的分向量是三个向量axi、 ayj、 azk.2. 向量运算的坐标表示设aax,ay,az ,bbx,by,bz即 aaxiayjazk,bbxibyjbzk则(1)加法：a b(axbx)i(ayby)j(azbz)k(2)减法：a b(ax bx)i (ayby)j(azbz)k(3)数乘：a(ax)i( ay)j ( az)k或ab ax

11、bx , ayby , azbzab axbx , ayby , a zbz ax,ay ,az（4 ）平行：若0时，向量b/a相当于b a，即bx,by,bzax,ay,az也相当于向量的对应坐标成比例，即匹直匹ax ay az五、向量的模、方向角、投影（一）向量的模与方向余弦的坐标表示式（均大于等于0,小于等于）来表示它的设aax,ay,az，可以用它与三个坐标轴的夹角方向，称为非零向量a的方向角，见图7 6,其余弦表示形式cos、cos、cos称为方向余弦。2 2 2axM 1M 2cosacos由性质1知ayM 1M 2cosacosa；M 1M 2cosacosa （a： ay a；

12、 0 时，有coscoscosaxaxaa；2ay2a；ayaya.a；2ay2a；a；a；a.a；2ay2a；a -y axayazcos21 任意向量的方向余弦有性质：cos2cos2与非零向量a同方向的单位向量为:a%,ay,a； cos ,cos ,cos a例：已知两点M i（2,2. 2 ）、M2（1 , 3,0）,计算向量MM 的模、方向余弦、方向角以及与M 1M 2同向的单位向量。解：M 1M 2 = 1-2 , 3-2, 0丿2 = 1, 1, 2 M1M21)212coscos1,cos234设a0为与M1M2同向的单位向量,由于 a0 cos ,cos ,cos 即得1

13、122(二)向量的投影1.几个概念(1)轴上有向线段的值:设有一轴u,AB是轴u上的有向线段，如果数 满足| AB ,且当AB与轴u同向时是正的，当 AB与轴u反向时 是负的，那么数 叫做轴u上有向线段AB的值，记做AB,即，总有 AC AB BCO,作OA a , OB b,规定不超过AB。设e是与u轴同方向的单位向量，则AB e 设A、B、C是u轴上任意三点，不论三点的相互位置如何两向量夹角的概念：设有两个非零向量a和b,任取空间一点的 AOB称为向量a和b的夹角，记为(a,b)(4) 空间一点A在轴u上的投影：通过点A作轴u的垂直平面，该平面与轴u的交点A'叫做点A在轴u 上的投影。(5) 向量AB在轴u上的投影：设已知向量 AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点 A'和B', 那么轴u上的有向线段的值 a'b'叫做向量AB在轴u上的投影，记做 PrjuAB。2投影定理性质1 ：向量在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：PrjuAB AB cos性质2:两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即Pr ju(a1 a?) Prja1 Prja?性质 3：向量与数的乘积在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘积.即Pr ju( a