概率论与数理统计-章节总结-华南理工大学 (2)

1、第3章 随机变量3.1 随机变量1. 是随机事件概念的数量化-根据试验结果取值 例1 口袋中有六个球，依次标有数字：1,2,2,2,3,3,从口袋中任取一球，问取到球的数字是多少？ 用X表示被取到球的数字，那么X是一个变量，依赖于基本事件，称为随机变量。随机变量是基本事件的函数，自变量是基本事件，事件带有随机性。2. 定义（随机变量）并不是定义在基本空间上的任何函数都可以作为随机变量，而是要满足一定的要求，这就是书本上的定义（P39）定义 称定义在样本空间上的实函数X=X(w), w，是随机变量，如果对任意实数x有w: X(w)<xF F是事件域对于例1，取x=2，则w: X(w)<

2、;x=取到“1”号球随机变量的表示：大写英文字母，或希腊字母随机变量取值的表示：3.2分布函数对于随机变量，不仅关心它取哪些数值，更关心，以多大的概率取那些值。定义（分布函数）P39设是一个随机变量，x是任意实数，函数F(x)= P w: X(w)<x 称为随机变量的分布函数。 也记为 F(x)= P X< x 分布函数的性质 (1)单调不减性。 若, 则 (2) (3)左连续性。对任意实数，有3.3 离散型随机变量分布列 满足分布列的两个条件：(1) (2) 与分布函数的关系 堂上作业： 用X表示例1中取到球的数字，求X的分布和分布函数 两点分布：退化分布：3.4二项分布1. 分

3、布律 (3-5)如果随机变量有上述的分布律，记为（服从二项概率分布）2. 定理在n重伯努力试验中，事件A发生的次数在k1和k2之间的概率是事件A至少发生1次的概率是 例3-3已知发射一枚地对空导弹可“击中”来犯敌机的概率是0.96，问在同样条件下需发射多少枚导弹才能保证至少有一枚导弹击中敌机的概率大于0.999?3. 最有可能的取值（1）当(n+1)p恰为正整数，记为k0, 则同为二项分布概率的最大值；（2）当(n+1)p不是整数时，记，则为二项分布概率的最大值。例3-4 （渔佬问题）设鱼的总数为N， 渔老先从鱼塘中捞起100条鱼做上记号后放回鱼塘，过一段时间在从鱼塘里捞出100条，发现其中2

4、条鱼有记号，请估计鱼塘里鱼的总数N。4泊松分布 分布律 可作为二项分布的近似， 例3-5 进货量问题由商店的销售记录知，某商品的月售量X服从= 10的泊松分布，为能以95%以上的概率保证不脱销，问在无库存的情况下月底应进货多少？ 例3-6 合作问题（维修设备） 设有同类设备80台，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01,并且一台设备的故障可由一个人来处理，试求（1）一个人负责维修20台设备时，设备发生故障而不能及时维修的概率？（2）由三个人共同负责维修80台设备时，设备发生故障而不能及时维修的概率？解：（1）用X表示同一时刻发生故障的设备数，。 （2）用Y表示同一时刻发生故障的设备数

5、，。5几何分布某人在一次考试中得5分的概率是p，X是第1次考取5分所需考试次数，求X的分布。作业：P53 3-4, 3-7, 3-10, 3-12三、（10分）某安检系统检查时，非危险人物过安检被误认为是危险人物的概率是0.02；而危险人物又被误认为非危险人物的概率是0.05。假设过关人中有96%是非危险人物。问：（1）在被检查后认为是非危险人物而确实是非危险人物的概率？（2）如果要求对危险人物的检出率超过0.999概率，至少需安设多少道这样的检查关卡？解：（1）设A被查后认为是非危险人物， B过关的人是非危险人物，则（2）设需要n道卡，每道检查系统是相互独立的，则Ci=第i关危险人物被误认为

6、非危险人物，所以，即=3.0745+1 = 4 3.4 一维连续型随机变量1定义 当一个随机变量的分布函数可写成“变上限积分”的形式：时， 称为连续型随机变量，称为的概率分布密度，简称密度函数。2几何意义3定理 （分布函数性质） (1) (2) 分布函数的导函数（在连续点上）就是其密度， 即 4 几个结论（1） 连续型随机变量的分布函数是连续函数（2） 若定义在（，）上的可积函数f(x)满足f(x)0，f(x)在（，）上的的积分等于1，则可证明是一个分布函数，f(x)是一个分布密度。（3） 连续型随机变量取任一指定实数值的概率为0。例 3-8 P47设已知连续型随机变量X的密度函数是 （1）确

7、定a的值(根据分布函数性质确定常数)。 （2）求 X 的分布函数F(x) (根据分布密度求分布函数)。 （3）求概率. (计算概率)5. 例 验证（均匀分布）P48 均匀分布的密度函数为 3.5 正态分布1 定义 说明 2 正态分布曲线的特点（图形特点）The equation of the normal probability density, whose graph is shown in Figure 4.3.1, isFigure 4.3.1 The normal probability density3标准正态分布 4计算服从正态分布的随机落在指定区间的概率 标准正态的计算 PZ&l

8、t;0 PZ<1 PZ<1 一般正态的计算, we refer to the corresponding standardized random variable,then . 应用例子： P48例3-10 （1）先求“误差绝对值超过19.6”的概率 （2）再求在100次独立测量中，（1）发生的次数不少于3的概率53规则, find , , P=0.6826, P=0.9544, P=0.9974堂上练习 P54, 21,作业P5416，18，19，20，22指数分布 若一个连续随机变量X具有概率密度函数 则称X为带参数a（a > 0）的指数分布随机变量，记为X E（a），其

9、分布函数为例 3-7 （P46）到某服务窗口办事需要排队等候，若等待时间X服从指数分布，其密度为 求（1）有2次愤然离去的概率； （2）最多有2次愤然离去的概率； （3）至少有2次愤然离去的概率。 3.6 一维随机变量函数的分布 我们知道，在中, y是x 的函数。如果X是一随机变量，那么Y =f(X)是随机变量的函数，如果f(x)连续、分段连续或单调，则Y也是随机变量。如何通过X的分布，求Y的分布。1离散型情形 若X的概率分布为 X x1x2 . xn P p1 p2 pn则Y =f(X)的分布为 Y g(x1)g(x2) . g(xn) P p1 p2 pn如果g(xi)有相等，需要把它们并

10、项。 例3-5 已知X的分布律， X 210 1 2 P 0.150.2 0.20.20.25求、的分布。解 由X的分布可列出 P 0.150.2 0.20.20.25 X 210 1 2 41 01 4 53 113 32 12 3（分析：Y的可能取值，取指定值的概率）于是的分布为 Y 014 P 0.20.4 0.42连续型情形 例3-6 P55 设随机变量具有连续的分布密度，试求的分布密度.其中a, b是常数，且。解 （先求分布函数，通过求导得到密度函数复习 分布函数与分布密度函数的关系）设的分布函数为.当a > 0时， （u=at+b）于是 当a < 0时, =.例 已知，求的分布。应用上述公式