正余弦定理题型总结(全)

1、 平面向量题型归纳（全）题型一：共线定理应用例一：平面向量共线的充要条件是（ ）A.方向相 同 B. 两向量中至少有一个为零向量 C.存在 D存在不全为零的实数变式一：对于非零向量，“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件变式二：设是两个非零向量（ ）A.若则 B. 若，则 C. 若，则存在实数，使得 D若存在实数，使得，则例二：设两个非零向量，不共线，（1）如果（2）如果求实数k的值。变式一：设两个不共线向量，若三点A,B,D共线，求实数k的值。变式二：已知向量，且则一定共线的三点是（ ）A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D

2、.A,C,D题型二：线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用例一：设P是三角形ABC所在平面内的一点，则（ ）A. B. C. D. 变式一：已知O是三角形ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且,那么（ ）A. B. C. D. 变式二：在平行四边形ABCD中，,M为BC的中点，则 ( 用表示)例二：在三角形ABC中，,若点D满足,则( )A. B. C. D. 变式一：(高考题) 在三角形ABC中，点D在边AB上，CD平分角ACB,，,则( )A. B. C. D. 变式二：设D,E,F分别是三角形ABC的边BC,CA,AB上的点，且则与( )A.反向平行 B. 同向平行 C.互相垂

3、直 D.既不平行也不垂直变式三：在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若,其则=变式四：在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O,E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若则( )A. B. C. D. 题型三：三点共线定理及其应用例一：点P在AB上，求证：且=1（）变式：在三角形ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M和N,若则m+n=例二：在平行四边形ABCD中，E,F分别是BC,CD的中点，DE与AF交于点H,设则A. B. C. D. 变式：在三角形ABC中，点M是BC的中点，点N是边AC上一点且AN=2NC,AM与BN相交

4、于点P,若求的值。题型四： 向量与三角形四心一、 内心例一：O是ABC所在平面内一定点，动点P满足，则点P的轨迹一定通过ABC的（ ）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 变式一：已知非零向量与满足，且，则ABC为（ ）A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形变式二：P为ABC的内心二、重心例一：O是ABC内一点，则为ABC的（ ）A.外心B.内心C.重心 D.垂心 变式一：在ABC中，G为平面上任意一点，证明：O为ABC的重心变式二：在ABC中，G为平面上任意一点，若O为ABC的重心三垂心：例一：求证：在ABC中， O为ABC的垂心变式一：O是平

5、面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足则点P的轨迹一定通过ABC的（ ）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 四外心例一：若O是ABC的外心，H是ABC的垂心，则变式一：已知点O，N，P在ABC所在平面内，且，则O，N，P依次是ABC的（ ）A. 重心、外心 、垂心 B. 重心、外心 、内心 C. 外心 、重心、垂心 D. 外心 、重心、 内心题型五：向量的坐标运算 例一：已知A(-2,4),B(3，-1)，C(-3，-4)，且,试求点M,N和的坐标。变式一：已知平面向量其中t和k 为不同时为零的实数，（1）若，求此时k和t满足的函数关系式k=f(t);(2)若，求此时k和

6、t满足的函数关系式k=g(t).变式二：平面内给定3个向量，回答下列问题。（1）求；（2）求满足的实数m,n;(3)若，求实数k；（4）设且，求。题型六：向量平行（共线）、垂直充要条件的坐标表示例一：已知两个向量,当实数k取何值时，向量与平行？变式一：设向量a,b满足|a|=，b=（2,1），且a与b反向，则a坐标为_例二：已知向量且A,B,C三点共线，则k=（ ）A: B: C: D:变式一：已知且a/b，则锐角为_变式二：ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c 设向量若，则C的大小为（ ）A: B: C: D:题型七：平面向量的数量积例一：（1）在RtABC中，C=90

7、6;，AC=4，则（ ）A：-16 B:-8 C:8 D:16（2）(高)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_；的最大值为_（3）在ABC中，M是BC中点，AM=1，点P在AM上满足，则等于（ ）A: B: C: D:变式一：(高) 如图所示，平行四边形ABCD中，APBD，垂足为P，且AP=3，则=_变式二：在ABC中，AB=1，BC=，AC=，若O为ABC的重心，则的值为_例二：(高)在矩形ABCD中，AB=,BC=2,点E为BC的中点，点F在边CD上，若,则的值是 变式一：(高)在ABC中，,AC=2.设点P,Q满足,若,则=（ ）A: B: C: D:2 例三

8、：已知向量满足则 变式一：在ABC中，若则 变式二：已知向量满足则 变式三：已知向量满足则 题型八：平面向量的夹角例一：已知向量则的夹角是例二：已知是非零向量且满足则的夹角是变式一：已知向量满足则的夹角是变式二：已知是非零向量且满足则的夹角是变式三：若向量不共线，则的夹角是变式四：(高) 若向量满足且以向量为邻边的平行四边形的面积为.，则的夹角的取值范围是例二：已知，的夹角为，求使向量与的夹角为锐角的的取值范围。变式一：设两个向量，满足，的夹角为，若向量与的夹角为钝角，求实数t的范围。变式二：已知均为单位向量，其夹角为，有下列4个命题：其中的真命题是（ ）A. B. C. D. 题型九：平面向

9、量的模长例一：已知，向量的夹角为，求，。变式一：已知向量满足，则= 变式二：已知向量满足的夹角为，则= 变式三：在ABC中，已知求.例二：已知向量的夹角为，则= 变式一：(高) 已知向量的夹角为，且则= 变式二：设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，,=,则 变式三：已知向量，若则 例三：已知向量，满足，且的取值范围是 变式一：已知单位向量，且，的最大值为 变式二：(高)已知直角梯形ABCD中，AD/BC, ,AD=2，BC=1，P是腰DC上的 动点，则的最小值为 题型十：平面向量在三角函数中的应用例一：在ABC中，A,B,C所对边的长分别为a,b,c，已知向量，且满足（1）求A的大小（2

10、）求的值变式一：已知变量，函数（1）求f(x)解析式（2）求f(x)的单调递增区间（3）如果ABC的三边a,b,c满足，且b边所对的角为x，试求x的范围和此时f(x)的值域变式二：已知向量（1）求证a·b及|a+b|（2）定义f(x)=a·b-2m|a+b|,若函数f(x)的最小值为，求实数m的值变式三：在三角形ABC中，已知（1） 求证 （2）若，求A的值21题型十一：平面向量在解析几何中的应用例题一：设曲线C 上任意一点 满足向量且（1）求曲线的方程（2）过点N（0,2）作直线l与曲线C交与A，B两点，若（O为坐标原点），是否存在直线l，使四边形OAPB为矩形；若存在，

11、求出直线l的方程；反之，叙述理由。变式一：已知三点O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲线C上任意一点M（x,y）满足，求曲线方程。正余弦定理题型全归纳题型一：已知两边及一边对角且角为锐角时需讨论(1)a=4,b=5,A=(两解);(2)a=5,b=4,A=(一解)方法汇总：方法一：大边对大角；方法二：利用高h=bsinA与a的讨论方法三：利用余弦讨论题型二：利用正弦定理解三角形例一：在ABC中，若B=,则C=变式一：在ABC中，若c=2,A=,a=,则B= 变式二：在ABC中，A,B,C的对边为a,b,c,a=,b=2,sinB+cosB=,则A的大小为 变式三：在ABC中，A,B,

12、C的对边为a,b,c, B=,cosA=,b=(1)求sinC;(2)求ABC面积。变式四：在ABC中，A,B,C的对边为a,b,c,A=2B,sinB=,(1)求cosA的值；（2）b=2,求边a,c的长。题型三：利用正余弦定理进行边角转化例：在ABC中，若A=2B,则的取值范围为 变式一：在ABC中，B=,AC=,则AB+2BC的最大值变式二：(12新课标)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边c=asinC-ccosA.(1)求角A的大小； （2）若a=2, ABC的面积为，求b,c.题型四：利用余弦定理解三角形例：在ABC中，b=1,c=,C=,则a= 变式一：在ABC中，

13、若a=2,b+c=7,cosB=-,则b= 变式二：已知在ABC的三边成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为 变式三：在ABC中，角A,B,C的对边为a,b,c，若，则cosC的最小值为 变式四：(12辽宁)在ABC中，角A,B,C的对边为a,b,c，（1）求；（2）若求B。题型五：利用余弦定理进行边角转化例：在ABC中，角A,B,C的对边为a,b,c，若，则角B的值为（ ）变式一：在ABC中，角A,B,C的对边为a,b,c，且,(1)求A的值。（2）求sinB+sinC的最大值。变式二：（10江苏）在锐角ABC中，角A,B,C的对边为a,b,c，若,则 变式三：在ABC中，角A,B,C的对

14、边为a,b,c，且，sinAcosC=3cosAsinC,求b.题型六：判断三角形的形状方法汇总：（1）求最大角的余弦，判断ABC是锐角、直角、还是钝角三角形（2）用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰，等边还是直角三角形例：在ABC中，若sinC=2cosAsinB,则此三角形为 变式一：（12上海）在ABC中，若,则ABC的形状是 变式二：在ABC中，有以下结论（1），则ABC为钝角三角形；（2），则(3) ,则ABC中为锐角三角形；（4），则a:b:c=1:2:3.其中正确的为 变式三：已知ABC中，则ABC的形状为 变式四：已知函数f(x)= (1)求f(x)的最

15、小正周期和值域；（2）在ABC中，角A,B,C的对边为a,b,c，若,试判断ABC的形状。题型七：正余弦定理与向量的综合例一：在ABC中，内角A,B,C对边分别为a,b,c,若.(1)求证：A=B;(2)求边长c的值；（3）若,求ABC的面积。变式一：在ABC中，AB=2，AC=3，,则BC= 变式二：在ABC中，内角A,B,C对边分别为a,b,c,A=,。（1）求C;(2)若,求a,b,c.变式三：在ABC中，内角A,B,C对边分别为a,b,c,且,(1)求ABC的面积；（2）b+c=6,求a的值。变式四：在ABC中，内角A,B,C对边分别为a,b,c, 且.（1）求cosB的值；（2）若，

16、且b=2,求a和c的值。题型八：解三角形的实际应用例：甲船以30海里/h的速度向北航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船北偏西方向的处，此时两船相距20海里，当甲船航行20min到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距10海里，求乙船的速度。 变式一：为了测量正在海面匀速行驶的某航船的位置，在海岸上选取距离1km的两个观测点C,D。在某天10：00观察到该船在A处，此时测得=,2min后，该船行驶到B处，此时测得=,=,=,则船速为 （km/min）BAC D变式二：当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救

17、援，同时把消息告知在甲船的南偏西，相距10海里C处的乙船。（1）求处于C处的乙船和遇险渔船间的距离；（2）设乙船沿直线CB方向前往B处救援，其方向与成角，求f(x)= 的值域。A 20 B10C数列题型归纳（全）题型一：求等差数列的公差或取值范围例一：等差数列的前n项和，若=4，=20，则该数列的公差d等于 变式一：等差数列中，则该数列的的公差为 变式二：已知等差数列的首项为31，若从第16项开始小于1，则此数列的公差d的取值范围是 题型二：求等比数列的公比例一：在等比数列中，则公比q的值为 变式一：等比数列的前n项和为，且，成等差数列，若=1，则=（ ）变式二：设公比为q（q>0）的等

18、比数列的前n项和为，若=3+2，=3+2,则q= 变式三：等比数列的前n项和为，已知，成等差数列，则的公比为 题型三：求等差与等比数列的通项例1：（1）已知递增的等差数列满足，则= (2)已知等比数列为递增数列，且，则数列的通项公式= 变式一：为等差数列的前n项和，=，则= 变式二：已知两个等比，满足，求数列的通项公式。例2：若数列的前n项和，则此数列的通项公式为 变式一：已知数列的前n项和，则其通项= ；若它的第k项满足，则k= 变式二：已知数列的前n项和，(a为非零实数)，那么是否是等差数列？是否是等比数列？题型四：等差等比数列的求和例：在等比数列（n）中，若=1，则该数列的前10项和为

19、变式一：是正数组成的等比数列，为前n项和，已知，则= 变式二：设f(n)=(n),则f(n)= 题型五：对于等比数列求和公式中q的讨论例：设等比数列的前n项和为，若成等差数列，求数列的公比q.变式一：设等比数列的前n项和为，且，则其公比q等于 变式二：求和题型六：对于奇偶项求和问题的讨论例：已知数列的通项公式为，求其前n项和.变式一：已知数列的通项公式为，求其前n项和.题型七：对于含绝对值的数列求和例：已知数列的前n项和=10n-,数列的每一项都有，求前n项和.变式一：在等差数列中，（1）求使<0的最小正整数n.(2)求的表达式。变式二：已知等差数列前三项的和为-3，前三项的积为8.（1

20、）求等差数列的通项公式；（2）若成等比数列，求数列的前n项和。题型八：等差、等比数列的性质应用等差数列等比数列例：已知等差数列的前n项和为，若，则等于 变式一：设数列，都是等差数列，若 变式二：在等差数列中，已知，则该数列前11项和等于 变式三：在等差数列中，则此数列的前13项之和等于 变式四：在等差数列中，则数列的前9项之和= 题型九：等差、等比数列的性质应用成等差数列例：等差数列的前n项和为，若，则= 变式一：设是等差数列的前n项和，若，则 变式二：设等比数列的前n项和为，若，则 题型十：利用等差数列的性质求解例：已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为

21、变式一：已知等差数列的前n项和为377，项数n为奇数，且奇数项和与偶数项和之比为7:6，求中项。变式二：已知两个等差数列和的前n项和分别是和,且，则使得为整数的正整数n的个数是 题型十一：利用等差等比数列的单调性求解例：已知数列是递增数列，且对,都有，则实数的取值范围是 变式一：数列中，如果存在，使得且成立（其中k）,则称为的一个峰值。（1）若，则的峰值为 （2），且存在峰值，则实数t的取值范围。例：在等差数列中，已知=20，前n项和为，且，求当n取何值时，取最大值，并求此最大值。变式一：数列为等差数列，若，且其前n项和取得最小值时，n= 变式二：设等比数列的首项为，公比为q，则<0且0

22、<q<1是对于任意都有的 条件。变式三：已知（）,则在数列的前50项中最小项和最大项是 题型十二：判断和证明数列是等差、等比数列（1）定义法：对于的任意正整数，验证（）为同一常数（用于证明）（2）通项公式法：若，则为等差数列；若，则为等比数列；（3）中项公式法：等差；等比。一：定义法：例：（1）设是等差数列，证明：数列（c>0, 是等比数列。（2）设是正项等比数列，证明（c>0, 是等差数列。变式一：数列的前n项和记为，已知（n=2,3,4）,证明：数列是等比数列。变式二：已知定义在R上的函数f(x)和数列满足下列条件：，其中a为常数，k为非零实数。令是等比数列。二：中

23、项公式法：例：已知数列满足(1)证明：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）若数列满足,证明：数列是等差数列。变式一：已知等比数列的公比q=-0.5，（1）1向量的三种线性运算及运算的三种形式。向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：运 算图形语言符号语言坐标语言加法与减法+=-=记=(x1,y1)，=(x1,y2)则+=(x1+x2,y1+y2)-=（x2-x1,y2-y1）+=实数与向量的乘积=R记=(x,y)则=(x,y)两个向量的数量积·=|cos<,>记=(x1,y1), =(x2,y2)则·=x1x2+y1y22重要定理、公式（1）向量共线定理：如果有一个实数使那么与是共线向量；反之，如果是共线向量，那么有且只有一个实数，使。（2）平面向量基本定理；如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量，有且只有一对数数1，2，满足=1+2。（3）两个向量平行 ：设=（x1,y1），=(x2,y2)，则 x1y2-x2y1=0（4）两个向量垂直：设=(x1,y1), =(x2,y2)，则x1x