北京四中高中数学 对数及对数运算基础知识讲解 新人教A版必修1

1、对数及对数运算【学习目标】1.理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化；2.了解常用对数与自然对数的意义；3能够熟练地运用对数的运算性质进行计算；4了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明5能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用【要点梳理】要点一、对数概念1.对数的概念如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.要点诠释：对数式logaN=b中各字母的取值范围是：a>0且a¹1， N>0， bÎR.2.对数具有下列性质：(1)0和负数没有对数，即；(2)

2、1的对数为0，即；(3)底的对数等于1，即.3两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，.以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数， .4对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.要点二、对数的运算法则已知(1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；推广：(2) 两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数；(3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；要点诠释：（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等

3、式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)与log2(-5)是不存在的.（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：loga(M±N)=logaM±logaN，loga(M·N)=logaM·logaN，loga.要点三、对数公式1对数恒等式：2换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a1， M>0的前提下有:(1) 令 logaM=b，

4、则有ab=M， (ab)n=Mn，即， 即，即:.(2) ，令logaM=b， 则有ab=M， 则有 即， 即，即当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论:.【典型例题】类型一、对数的概念例1.求下列各式中的取值范围：（1）；（2）；（3）【答案】（1）；（2）；（3）且【解析】（1）由题意，即为所求（2）由题意即（3）由题意解得且【总结升华】在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1举一反三：【变式1】函数的定义域为 【答案】类型二、指数式与对数式互化及其应用例2.将下列指

5、数式与对数式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【解析】运用对数的定义进行互化.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.举一反三：【变式1】求下列各式中x的值：(1) (2) (3)lg1000=x (4)【答案】（1）；（2）；（3）3；（4）-4【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.(1)；(2)；(3)10x=1000=103，于是x=3；(4)由.高清课程：对数及对数运算 例1【变式2】计算：并比较【解析】 类型三、利用对数恒等式化简求值

6、例3求值： 【答案】35 【解析】.【总结升华】对数恒等式中要注意格式：它们是同底的；指数中含有对数形式；其值为真数.举一反三：【变式1】求的值(a，b，cR+，且不等于1，N>0)【答案】【解析】将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.类型四、积、商、幂的对数高清课程：对数及对数运算例3例4. 表示下列各式 【解析】（1）；（2）；（3）；（4）=【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算举一反三：【变式1】求值(

7、1) (2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2 【答案】（1）22；（2）1；（3）2【解析】(1) (2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2 =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.类型五、换底公式的运用例5.已知，求【答案】【解析】解法一：，于是解法二：，于是解法三：，解法四：，又令，则，即【总结升华】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式（3）解决这类问题要注意隐含条件“”的灵活运用举一反三：【变式1】求值：(1)；(2)；(3).【答案】（1）；（2）；（3）【解析】(1) ；(2)；(3)法一：法二：.类型六、对数运算法则的应用例6.求值(1) (2) (3)(4)【答案】（1）-10；（2）0；（3）3；（4）13【解析】(1)原式=(2) 原式=(3)原式=(4)原式