构造法求数列通项公式

1、精品文档1欢迎下载构造法求数列通项公式求数列通项公式是高考考察的重点和热点，本文将通过构造等比数列或等差数列求数列通项公式作以简单介绍，供同学们学习时参考。一、构造等差数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f(n 1) f(n)=A (其中 A 为常数)形式，根据等差数列的定义知f(n)是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出f (n)的通项公式，再根据f (n)与an，从而求岀an的通项公式。13a例 1在数列an中，a ，an1 =- (n N)，求数列an通项公式2an33an解析：由 an+1=亍得 ，an+1an= 3 an+1

2、-3 an=0， 两边同除以 an+1an得,1an 11an设 bn=，则 bn+1- bn=3，根据等差数列的定义知,数列 bn2是首相 b1=2，公差 d=7j的等差数列，根据等差数列的通项公式得bn=2 +吉(n-1 )詔 n+ |数列通项公式为 an=e评析:本例通过变形，将递推公式变形成为A形式, 应用等差数列的通an 1an项公式，先求岀 的通项公式，从而求岀an的通项公式。an例 2在数列 an 中，S 是其前 n 项和，且 5 工 0，a1=1，2S2an= (n 2)，求 Sn与 an。2Sn 1解析：当 n 2 时,2S2an= S-Sn-1代入 an=23得， Sn-S

3、n-1=n 12 S2才，变形整理得Sn-Sn-1= SnSn-1n 1两边除以 SnSn-1得，右-S1=2，.右是首相为 1，公差为 2 的等差数列Sn41Sn占=1+2 ( n-1 ) =2n-1,Sn- Sn=n(n 2),n=1 也适合， S=wjh (n 1)当 n2 时，an=S-S“1=2, 11=-22n 34n28n 3n=1 不满足此式,精品文档2欢迎下载124n28n 3精品文档3欢迎下载评析：本例将所给条件变形成f(n 1) f(n) A，先求岀f(n)的通项公式，再求岀原数列的通项公式，条件变形是难点。二、构造等比数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取

4、对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为 f (n+1) =Af (n)(其中 A 为非零常数)形式，根据等比数列的定义知f(n)是等比数列，根据等比数列的通项公式，先求出f(n)的通项公式，再根据f(n)与an，从而求岀an的通项公式。例 3在数列an中,a1=2, an=an-12(n 2)，求数列 an通项公式。解析：Ja1=2， an=an-i2(n 2) 0,两边同时取对数得，lg an=2lg an-i列，根据等比数列的通项公式得lg an=2n-1lg2=|g22n 1数列通项公式为 an=22评析：本例通过两边取对数，变形成logan2 log an 1形式，构造等比数列log

5、 an，先求岀log an的通项公式，从而求岀an的通项公式例 4在数列 an中，a1=1， an+1=4an+3n+1，求数列 an通项公式。- an+1+ (n+1) +3=4 (an+n+ )，根据等比数列的定义知,数列通项公式为an=X3 -n- -|评析：待定系数法是构造数列的常用方法。例 5在数列 an中，a1=1 ，an+1an=4n，求数列 an通项公式。解析：Jan+1an=4n anan-1=4n-1两式相除得 乩 =4，an 1 a1，aa，a5.与 a2，a4，a6 .是首相分别为 a，a2，公比都是 4 的等比数列,又Ja1=1,an+1an=4, a2=4n 14丁

6、nlg an=2lgan 1，根据等比数列的定义知，数列lg an是首相为 lg2，公比为 2 的等比数解析：设 an+1+A ( n+1)+B=4 (an+An+B), (AB 为待定系数)，展开得 an+1=4an+3An+3B-A，与已知比较系数得3A 33B A 1A数列 an+n+舟是首项为8，公比为 q=3 的等比数列,2Qan+n+p =X3n-1n 1精品文档4欢迎下载an=n42n精品文档5欢迎下载练习：1. .已知数列an满足a ,an 1nan，求an3n 1解：由条件知an 1ann，分别令nn 11,2,3,(n1），代入上式得（n1）个等式累乘之，即即竺？竺？岂？a

7、n12 3n1an1a1a2a3an 123 4na1np22又a1- -, ,an33n解：由条件知an 1n，分别令n1,2,3,(n1），代入上式得（n1）个等式累乘ann 1之，即即鱼？聖？色？c an12 3n1an1a1a2a3an 123 4na1n口22又a1,an33n2.数列a an满足a彳1彳1= =1，an= =an 1+12(n(n 2 2),求数列an的通项公式。1解：由an= =an 1+1+1(n2 2)得an 2=2=1(an 12 2), 而a 2=12=1 2=2= 1 1,221数列an 2 2是以丄为公比，一 1 1 为首项的等比数列2精品文档6欢迎下

8、载二an 2=2=_(= =1(3)n1“ 31、n 1)173 “11)1= =1 (-(113434434.设各项均为正数的数列an的前n n 项和为Sn，对于任意正整数n n,都有等式an22an4Sn成立，求an的通项an.an.解:a：2an4Snan22a1n 14Sn 1， a；a(12an2an 14( SnSn1) 4an(anan 1)(anan 12)0 , anan 10,anan12. .即卩an是以 2 2 为公差的等差数列，且a22a14a1a12二an= =23.数列a中,a11,a22,3an 22an 1an，求数列an的通项公式。解：由3an 22an 1

9、an得ann,设an 2kan 1h(an 1kan)比较系数得kkh解得1,h若取k1,h，则有anan 1(anan)-an 11为公比,31、n 1an（3）an是以以a1为首项的等比数列由逐差法可得an（anan1）(an 1an(a2a1)a1= =(1)n2= =(3)1n 33)1)1(3)1 1精品文档7欢迎下载二an2 2(n 1) 2n(1 1)通过分解常数，可转化为特殊数列an+k的形式求解。一般地，形如an1=pan+q(p丰1，pqz0 0)型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设an 1+k=p(an+k)与原式比较系数可得pkk= =q,即k=J，从而得等比

10、数列an+k。p 1(2 2)通过分解系数，可转化为特殊数列anan 1的形式求解。这种方法适用于an 2pan 1qan型的递推式，通过对系数p p 的分解，可得等比数列anan 1:设an 2kan 1h(an 1kan)，比较系数得hk p, hkq，可解得h, k。3、构造法构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，联想出一种适当的辅助模型，进行命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造” 若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式(1 1)构造等差数列或等比数列由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题， 若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法(2 2 )构造差式与和式解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通