2019届高考数学一轮复习第八篇平面解析几何第7节第一课时直线与圆锥曲线的位置关系训练理

1、第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系力提升知识点、方法题号直线与圆锥曲线的位置关系1,3,4,5,6,9最值、定值问题11,15弦长问题与中点弦问题2,7,8,14直线与圆锥曲线的综合问题10,12,13在宴践中升华思想在宴践中升华思想【 选 题 明 细表】基础巩固(时间:30 分钟)1. 已知抛物线 y2=2x,过点(-1,2)作直线 I,使 I 与抛物线有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线 I 共有(D )(A)0 条(B)1条(C)2条(D)3 条解析：因为点(-1,2)在抛物线 y2=2x 的左侧，所以该抛物线一定有两条过点(-1,2)的切线，过点(-1,2)与 x 轴平行的直线也与

2、抛物线只有一个交点，所以过点(-1,2)有 3 条直线与抛物线有且只有一个交点故选 D. 一72*x yK4J- -2. 已知椭圆+=1 以及椭圆内一点 P(4,2),则以 P 为中点的弦所在直线的斜率为(B )A (A) (B)-(C)2(D)-2解析:设弦的端点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 X1+X2=8,y1+y2=4,(1 +x2) )(xl - 2) )+乃)(为-沟)两式相减，得所以 “=-,所以故选 B.=0,3.过点 P(1,1)作直线与双曲线x2-k-兀厂勺- k=1 交于 A,B 两点，使点 P 为 AB 中点，则这样的直线(D )(A) 存在一条，且方程为 2

3、x-y-仁 0(B) 存在无数条(C) 存在两条，方程为 2x (y+1)=0(D) 不存在解析:设 A(X1,y1),B(x2,y2),x1+X2=2,y1+y2=2,3两式相减得(x1-x2)(x1+X2)- (y1-y2)(y1+y2)=0, 所以 X1-X2= (y1-y2),即 kAB=2,故所求直线方程为y-1=2(x-1),即 2x-y-1=0.联立 I 2可得 2x2-4x+3=0,但 =(-4)2-4X2X30,b0)的左焦点 F 作直线 I 与双曲线 交于 A,B 两点,使得|AB|=4b,若这样的直线有且仅有两条，则离心率 e 的取值范围是(D )(A)(1,2)(B)(

4、磺 +o(V ,+ oo )(C)(,) (D)(1,：)u解析:过左焦点的直线如果与双曲线的两支相交，得最短弦为 2a;V272 b2如果与双曲线的一支相交得最短弦长为因为满足|AB|=4b的弦有且仅有两条,所以得如图两种情况:：,此时弦垂直于 x 轴,4* 4b 、a52b24b 2 仏pb岛 卜沪 bf所以(424(c2-a7) C2- El2,254解得& v 駄结合 e1 得,1e .,2 2x y6.已知椭圆 C:=1(ab0),F( . ,0)为其右焦点,过 F且垂直于 x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为 2.则椭圆 C 的方程为_.b2解析:把 x=c 代入椭圆方程解得

5、y= 所以椭圆 C 的方程为-+=1.答案： + =17._过点 M(2,-2p)作抛物线 x2=2py(p0)的两条切线，切点分别为 A,B,若线段 AB 的中点的纵坐 标为 6,则 p 的值是.I解析：抛物线 x2=2py 是关于 x 的二次函数 y=nx2, 其导函数为 y=,设点 A(X1,y,B(x2,y2),则切线 MA 的方程是 y-y h：(x-x1),即 y：x-.又点 M(2,-2p)位于直线 MA 上,综合可得,有 2 条直线符合条件时,e 或1e0)的焦点为 F,以抛物线 C 上的点M(xo,2 . )(x。)为圆心的圆与线段MF 相交于点 A,且被直线 x=截得的弦长

6、为.|丸上|,若=2,则 |=_ .A 解析:由题意,|MF|=x0+.因为圆 M 与线段 MF 相交于点 A,且被直线 x=截得的弦长为 |,所以|MA|=2(x0-).MA因为=2,所以 |MF|=|MA|,所以 x=p, 所以 2p2=8,所以 p=2,所以|；j=1.答案:1能力提升(时间:15 分钟)9. F 为椭圆+y2=1 的右焦点，第一象限内的点 M 在椭圆上，若 MFL x 轴，直线 MN 与圆 x2+y2=1 相切于第四象限内的点N,则|NF|等于(A )214213(A)；(B 厂(C) I (D) 解析：因为 MFLx 轴,F 为椭圆 +y =1 的右焦点72 石解得

7、k=(负值舍去).所以|NF|=；.故选 A.2 2* yz10.(2017 泉州市模拟)椭圆 + =1 的左、右焦点分别为FI,F2,过椭圆的右焦点 F2作一条直线 I 交椭圆于 P,Q 两点，则厶 FiPQ 内切圆面积的最大值是 _ .解析：因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2 倍，且厶 FiPQ 的周长是定值8,所以只需求出 RPQ 面积的最大值.设直线 I 方程为 x=my+1,与椭圆方程联立得2 2(3m +4)y +6my-9=0.设 P(x1,y ,Q(x2,y2),6m977贝Hy1+y2=-,y 2=-,十 口、F、PQ于是=|F1F2I Ty1-y2|=,：L

8、,ITH2+ 1鳥關+4)设 m+仁 t 1,+8),所以 F(2,0),M(2,),设 IMNy-=k(x-2),|-2fc+y|N(x,y),则 O 到 IMN的距离d=又因为即 N(,-),r 2X =?y=81I*79t + 十&则匚，；丨 1=丨：= 在 t 1,+g)内,9t+是单调递增的s所以 t=1 取得最大的=12 所以内切圆半径 r=因此其面积最大值是售22咒y12.(2017 鞍山市一模)设 A,B 分别为椭圆+、=1(ab0)和双曲线T TTT点,P,M 分别为双曲线和椭圆上异于A,B 的两动点，且满足；= X (*+),其中入 R,|入 |1,设直线 AP,B

9、P,AM,BM 的斜率分别为 k1,k2,k3,k4且 k1+k2=5,贝 U ks+k4=_解析:如图所示,m，+ 1答案： n11.(2017 武汉市模拟)已知直线X2MN 过椭圆2+y =1 的左焦点 F,与椭圆交于 M,N 两点.直线PQ 过原点 O 与 MN 平行，且 PQ 与椭圆交于 P,Q 两点，则八 =.X解析：不妨取直线 MNL x 轴，椭圆 +y2=1 的左焦点 F(-1,0),令 x=-1，得所以 y= 土,所以|MN|=.，此时|PQ|=2b=2,2y =,PQ242 2=1 的公共顶答案:9T TTT因为满足 +，入(；+),其中入 R,|入|1,S所以-2=入(-2

10、 二)，所以 O,M,P 三点共线.设 P(xi,yi),M(x2,y2),=k丰0.岁岁X |y|则则口八日口八日， + + = =，2 2. 2所以.=,=，因为 ki+k2=5,儿 州 2 竺岂胡 所以 5 护十仅+R/J 亦=显产.y2乃2牝乃2h2所以 k3+k4八*=- =-5.答案：-5%2y213.(2017 张家口市模拟)已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点 F 和椭圆 E: + =1 的右焦点重合,直线 l 过点 F 交抛物线于 A,B 两点.(1)若直线 l 的倾斜角为 135 ,求|AB|的长；TT fT若直线 l 交 y 轴于点 M,且=m ,= n,试求 m+

11、n 的值.解：(1)据已知得椭圆 E 的右焦点为 F(1,0), 所以=1,故抛物线 C 的方程为 y2=4x.因为直线 l 的倾斜角为 135 ,所以 y=-x+1,(y= -x + if由八 得到(-x+1)2=4x,2即 x -6x+ 仁 0.10解:因为双曲线-y2=1 的一条渐近线方程为xy=0,椭圆 C 的左焦点 F1(-c,0),设 A(xi,yi),B(x2,y2), 所以XI+X2=6,所以 |AB|=p+xI+X2=8.(2)根据题意知斜率必存在，于是设方程为 y=k(x-1),点 M 坐标为 M(O,-k),因为得到因为y=件A(X1,y1),B(x2,y2)为|与抛物线

12、 C 的交点，匕=比 0-。2 2 2 2k x -2(k+2)x+k=0,所以4X1+X2=2+ ,x1X2=1.所以(xi,yi+k)=m(1_x1,-y1),(x2,y2+k)=n(1-x2,-y2),所以 m= =:所以 m+n=疋 1七(尤 1 +工 2)- 2 工 1 工 2-.+u = h.1n-一 :二-;=斗2 +2k2=-1.14.(2017 贵阳市二模)已知椭圆 C：；+ =1(ab0)的离心率为F1F2分别是椭圆 C 的左、右焦点，椭圆 C 的焦点 F1到双曲线-y2=1 渐近线的距离为(1)求椭圆 C 的方程；直线 AB:y=kx+m(k0)与椭圆 C 交于不同的 A

13、,B 两点，以线段 AB 为直径的圆经过点F2,且275原点 O 到直线 AB 的距离为,求直线 AB 的方程.11x2因为椭圆 C 的焦点 F1到双曲线-y2=1 渐近线的距离为I _ C|所以 d=-= 得 c=1,又离心率 e= ,贝 U a= ,b=1.则椭圆 C 的方程为+y2=1.设 A,B 两点的坐标分别为 A(xi,yi),B(x2,y2),2忑由原点 0 到直线 AB 的距离为，网 2 乔 得八，2 2即 m= (1+k ),将 y=kx+m(k0,4km 2m2-2Xi+X2=- _ ,xiX2=订 亠工，因为以线段 AB 为直径的圆经过点 F2,所以 : =0,即(x1-

14、1)(x2-1)+y1y2=0,即(x 仁 1)(x2-1)+(kx1+m)(kx2+m)=0,22即(1+k )x1X2+(km-1)(x1+X2)+m +1=0,2m2- 24km所以(1+k2) +(km-1)(-)+m2+ 仁 0,2化简得 3m+4km-仁 0,422由得 11m-10m -1=0,得 m=1,1212(1 + fc2)=I.5直线 12 的方程为 y=- (x-1),12(1 +k2)同理(只是把 k 代换成-)得|PQ|=； 84(k2+ l)z所以|MN|+|PQ|= i；一 小：),fm = lf1血=一寸因为 kb0)经过点(，；),且其左焦点坐标为(-1,0).(1) 求椭圆的方程；(2) 过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线l,m,其中 I 交椭圆于|MN|+|PQ|的最小值.M,N,m 交椭圆于 P,Q,求解:因为 2a=25241246+肘兀 4,又 c=1,所以 b=.所以椭圆的方程为1+ =1.当直线 11,12中有一条直线的斜率不存在时2b2|MN|+|PQ|=：+2a=3+4=7,当直线 l1的斜率存在且不为 0 时,设直线 l1的方程 y=k(x-1),设(y = k(x-1),22i尢V-d-=1r由【4 A2 2 2得(3