空气动力学-第2章 机翼

1、2.1 机翼的几何参数机翼的几何参数2.2 机翼的空气动力系数，平均气动弦长和焦点机翼的空气动力系数，平均气动弦长和焦点2.3 大展弦比直机翼的气动特性大展弦比直机翼的气动特性 2.3.1 绕流流态绕流流态 2.3.2 气动模型和升力线假设气动模型和升力线假设 2.3.3 升力线理论升力线理论 2.3.4 大展弦比直机翼的失速特性大展弦比直机翼的失速特性2.4 升力面理论升力面理论2.1 机翼的几何参数机翼的几何参数 机翼的外形五花八门、多种多样，有平直的，有三角机翼的外形五花八门、多种多样，有平直的，有三角的，有后掠的，也有前掠的等等。然而，不论采用什么样的，有后掠的，也有前掠的等等。然而，

2、不论采用什么样的形状，都必须具有良好的气动外形，并且使结构重量尽的形状，都必须具有良好的气动外形，并且使结构重量尽可能的轻。所谓良好的气动外形，是指升力大、阻力小、可能的轻。所谓良好的气动外形，是指升力大、阻力小、稳定操纵性好。稳定操纵性好。三角翼三角翼后掠翼后掠翼矩形翼矩形翼梯形翼梯形翼椭圆翼椭圆翼平直翼平直翼2.1 机翼的几何参数机翼的几何参数下面先引入体轴系下面先引入体轴系 ：x轴：机翼纵轴，沿机翼对称面翼型弦线，向后为正轴：机翼纵轴，沿机翼对称面翼型弦线，向后为正 ；y轴：机翼竖轴，机翼对称面内，与轴：机翼竖轴，机翼对称面内，与x轴正交，向上为正；轴正交，向上为正；z轴：机翼横轴，与轴

3、：机翼横轴，与x、y轴构成右手坐标系，向左为正。轴构成右手坐标系，向左为正。xzoyzoxyo扭扭机翼平面形状机翼平面形状机翼上反角机翼上反角机翼几何扭转机翼几何扭转以下是用来衡量机翼气动外形的主要几何参数：以下是用来衡量机翼气动外形的主要几何参数： 翼展：翼展是指机翼左右翼尖之间的长度，一般用翼展：翼展是指机翼左右翼尖之间的长度，一般用l表示。表示。 翼弦：翼弦是指机翼沿机身方向的弦长。除了矩形机翼外，翼弦：翼弦是指机翼沿机身方向的弦长。除了矩形机翼外，机翼不同地方的翼弦是不一样的，有翼根弦长机翼不同地方的翼弦是不一样的，有翼根弦长b0、翼尖弦长、翼尖弦长b1。2.1 机翼的几何参数机翼的几

4、何参数机翼面积：是指机翼在机翼面积：是指机翼在oxz平面上的投影面积，一般用平面上的投影面积，一般用S表示。表示。 几何平均弦长几何平均弦长bpj定义为定义为lSbpj展弦比：翼展展弦比：翼展l和平均几何弦长和平均几何弦长bpj的比值叫做展弦比，用的比值叫做展弦比，用表表示，其计算公式可表示为：示，其计算公式可表示为：展弦比也可以表示为翼展的平方于机翼面积的比值。展弦比也可以表示为翼展的平方于机翼面积的比值。 展弦比越大，机翼的升力系数越大，但阻力也增大。展弦比越大，机翼的升力系数越大，但阻力也增大。2.1 机翼的几何参数机翼的几何参数Sl2pjbl根梢比：根梢比是翼根弦长根梢比：根梢比是翼根

5、弦长b0与翼尖弦长与翼尖弦长b1的比值，一般用的比值，一般用表示，表示，10bb2.1 机翼的几何参数机翼的几何参数几何扭转角：机翼上平行于对称面的翼剖面的几何扭转角：机翼上平行于对称面的翼剖面的弦线相对于翼根翼剖面弦线的角度称为机翼的弦线相对于翼根翼剖面弦线的角度称为机翼的几何扭转角几何扭转角 ；如右图所示。若该翼剖面的；如右图所示。若该翼剖面的局部迎角大于翼根翼剖面的迎角，则扭转角为局部迎角大于翼根翼剖面的迎角，则扭转角为正。沿展向翼剖面的局部迎角从翼根到翼梢是正。沿展向翼剖面的局部迎角从翼根到翼梢是减少的扭转称为外洗，扭转角为负。反之成为减少的扭转称为外洗，扭转角为负。反之成为内洗。内洗

6、。 除了几何扭转角之外还有气动扭转角，除了几何扭转角之外还有气动扭转角，指的是平行于机翼对称面任一翼剖面的零升力指的是平行于机翼对称面任一翼剖面的零升力线和翼根翼剖面的零升力线之间的夹角。线和翼根翼剖面的零升力线之间的夹角。 扭扭xyo扭扭安装角安装角 ：机翼安装在机身上时，翼根：机翼安装在机身上时，翼根翼剖面弦线与机身轴线之间的夹角称翼剖面弦线与机身轴线之间的夹角称为安装角。为安装角。2.2 机翼的空气动力系数，平均气动弦长和焦点机翼的空气动力系数，平均气动弦长和焦点1、机翼的空气动力系数、机翼的空气动力系数 表示机翼的气动力常采用风轴系座标表示机翼的气动力常采用风轴系座标Oxyz，其中，其

7、中x轴沿轴沿来流来流V向后，向后，y和和z轴与轴与x轴组成右手座标系。轴组成右手座标系。 如果来流如果来流V与机翼对称面平行，则称为机翼的纵向与机翼对称面平行，则称为机翼的纵向绕流。绕流。 V 与对称平面处翼剖面与对称平面处翼剖面(翼根剖面翼根剖面)弦线间的夹角定弦线间的夹角定义为机翼的迎角义为机翼的迎角。纵向绕流时作用在机翼上的空气动力仍。纵向绕流时作用在机翼上的空气动力仍是升力是升力Y(垂直垂直V方向方向)，阻力，阻力X(平行平行V 方向方向)，纵向力矩，纵向力矩Mz (绕过某参考点绕过某参考点z轴的力矩轴的力矩)。定义机翼纵向绕流的无量纲气。定义机翼纵向绕流的无量纲气动系数为动系数为升力

8、系数升力系数 阻力系数阻力系数 纵向力矩系数纵向力矩系数 SVYCy221SVXCx221AzzSbVMm2212、机翼的平均气动弦长、机翼的平均气动弦长2.2 机翼的空气动力系数，平均气动弦长和焦点机翼的空气动力系数，平均气动弦长和焦点 根据翼型理论，作用在翼型上的纵向气动力可以用作用根据翼型理论，作用在翼型上的纵向气动力可以用作用在翼型焦点的升力与绕该点的零升俯仰力矩来代表，力矩的在翼型焦点的升力与绕该点的零升俯仰力矩来代表，力矩的参考长度是翼型的弦长。类似地，作用在机翼上的纵向气动参考长度是翼型的弦长。类似地，作用在机翼上的纵向气动力亦可用作用于机翼焦点上的升力与绕该点的零升俯仰力矩力亦

9、可用作用于机翼焦点上的升力与绕该点的零升俯仰力矩来代表，但作为力矩的参考长度是平均气动弦长来代表，但作为力矩的参考长度是平均气动弦长bA。 平均空气动力弦长是平均空气动力弦长是个假想矩形机翼的弦长，这一假个假想矩形机翼的弦长，这一假想机翼的面积想机翼的面积S和实际机翼的面积相等，它的力矩特性和实和实际机翼的面积相等，它的力矩特性和实际机翼也相同。际机翼也相同。假想矩形机翼的零升俯仰力矩为假想矩形机翼的零升俯仰力矩为2.2 机翼的空气动力系数，平均气动弦长和焦点机翼的空气动力系数，平均气动弦长和焦点20021,VqSbqmMAzz上式中上式中mz0为假想机翼的零升俯仰力矩系数，也是实际机翼为假想

10、机翼的零升俯仰力矩系数，也是实际机翼的零升俯仰力矩系数，的零升俯仰力矩系数，q为来流的动压。为来流的动压。实际机翼微元面积实际机翼微元面积b(z)dz的零升俯仰力矩为的零升俯仰力矩为dzzbzbqmdMzz)()(00上式中上式中 为翼型的零升俯仰力矩系数。为翼型的零升俯仰力矩系数。则实际机翼的零升俯仰力矩为则实际机翼的零升俯仰力矩为xxzz)(zbo0zm2.2 机翼的空气动力系数，平均气动弦长和焦点机翼的空气动力系数，平均气动弦长和焦点2/0200)(2lzzdzzbmqM假设假设 常量，则上式变为常量，则上式变为00)(zzmzm2/0200)(2lzzdzzbmqM由于假设矩形机翼的零

11、升俯仰力矩和实际机翼的零升俯仰由于假设矩形机翼的零升俯仰力矩和实际机翼的零升俯仰力矩相同，由力矩相同，由 得得00zzMMdzzbSblA)(22/023、机翼的焦点、机翼的焦点2.2 机翼的空气动力系数，平均气动弦长和焦点机翼的空气动力系数，平均气动弦长和焦点 设机翼焦点离机翼顶点为设机翼焦点离机翼顶点为xF如右如右图所示，作用于机翼焦点的总升力图所示，作用于机翼焦点的总升力对通过顶点的对通过顶点的oz轴的力矩为轴的力矩为xxzz)(zboFx弦弦线线41 因机翼左右对称，而且来流与机翼对称面平行，则机翼因机翼左右对称，而且来流与机翼对称面平行，则机翼的焦点必位于机翼的对称面上的焦点必位于机

12、翼的对称面上(翼根剖面翼根剖面)。 假设机翼每个剖面的焦点与翼型一样仍在该剖面的假设机翼每个剖面的焦点与翼型一样仍在该剖面的14弦长处。作用在微元面积弦长处。作用在微元面积b(z)dz焦点处的升力为焦点处的升力为FyxSqCdzzbqCy)(2.2 机翼的空气动力系数，平均气动弦长和焦点机翼的空气动力系数，平均气动弦长和焦点因此作用在剖面焦点的升力对因此作用在剖面焦点的升力对oz轴的力矩为轴的力矩为剖面前缘距剖面前缘距oz轴为轴为 ,x剖面焦点距剖面焦点距oz轴为轴为 ,)(41zbx dzzbzbxqCy)()(41)( zCy为当地剖面的升力系数。所以有为当地剖面的升力系数。所以有2/0)

13、()(412lyFydzzbzbxqCxSqC假设假设 ，则可以得到焦点位置为，则可以得到焦点位置为常常数数llCzC)( 2/0)()(412lFdzzbzbxSxdzzbSblA)(22/022.2 机翼的空气动力系数，平均气动弦长和焦点机翼的空气动力系数，平均气动弦长和焦点2/0)(241lAFdzzxbSbx所以机翼的平面形状给定后，机翼的焦点位置所以机翼的平面形状给定后，机翼的焦点位置xF就可以确定。就可以确定。 由于在推导过程中曾假设剖面的焦点位置在由于在推导过程中曾假设剖面的焦点位置在14弦长处，弦长处，这个假设对大展弦比直机翼是对的，但对后掠机翼和小展弦这个假设对大展弦比直机翼

14、是对的，但对后掠机翼和小展弦比机翼来说与实际是有出入的。比机翼来说与实际是有出入的。 要精确确定后掠机翼的焦点位置，必须依靠实验或按下要精确确定后掠机翼的焦点位置，必须依靠实验或按下面要介绍的升力面理论进行计算。面要介绍的升力面理论进行计算。 二维翼型相当于展长无限大的机翼，即二维翼型相当于展长无限大的机翼，即=，而实际机，而实际机翼的展长及相应的翼的展长及相应的均为有限值，流动必是三维的。均为有限值，流动必是三维的。 本节讨论低速时大展弦比（本节讨论低速时大展弦比（55）的直机翼（）的直机翼（1 1/4/400）的气动特性。的气动特性。2.3.1 绕流流态绕流流态 在一大展弦比直机翼的后缘上

15、，在一大展弦比直机翼的后缘上，沿其展向均匀地贴上一排丝线，在沿其展向均匀地贴上一排丝线，在丝线的末端系着小棉花球，然后将丝线的末端系着小棉花球，然后将机翼置于低速风洞中。机翼置于低速风洞中。 当迎角很小时，则可看到翼尖当迎角很小时，则可看到翼尖的两棉花球稍有方向相反的旋转。的两棉花球稍有方向相反的旋转。 若迎角增大，则翼尖的棉花球若迎角增大，则翼尖的棉花球旋转速度加快，而且靠里端的棉旋转速度加快，而且靠里端的棉花球也和翼尖的棉花球一样地旋花球也和翼尖的棉花球一样地旋转起来，但速度较慢。转起来，但速度较慢。 迎角不变，若系棉迎角不变，若系棉花球的丝线加长，则只花球的丝线加长，则只有翼尖的棉花球旋

16、转。有翼尖的棉花球旋转。 这些现象说明了紧接机翼这些现象说明了紧接机翼后面近似地与机翼处于同一平后面近似地与机翼处于同一平面中的气流是作环行运动，而面中的气流是作环行运动，而稍远以后即只有翼尖后面的气流作环行运动。稍远以后即只有翼尖后面的气流作环行运动。 发生上述现象的原因是，气流以发生上述现象的原因是，气流以 正迎角绕机翼流动时，正迎角绕机翼流动时，机翼产生向上的升力，下翼面的压强必定大于上翼面的压强，机翼产生向上的升力，下翼面的压强必定大于上翼面的压强，下翼面的高压气流有向上翼面流动的倾向。下翼面的高压气流有向上翼面流动的倾向。上翼面流线上翼面流线下翼面流线下翼面流线 对于对于= 的无限翼

17、展机翼，由于无翼端存在，上下翼面的的无限翼展机翼，由于无翼端存在，上下翼面的压差不会引起展向的流动，展向任一剖面均保持二维翼型的特压差不会引起展向的流动，展向任一剖面均保持二维翼型的特性。对于有限翼展机翼，由于翼端的存在，在正升力时机翼下性。对于有限翼展机翼，由于翼端的存在，在正升力时机翼下表面压强较高的气流将从机翼翼尖翻向上翼面，使得上翼面的表面压强较高的气流将从机翼翼尖翻向上翼面，使得上翼面的流线向对称面偏斜，下翼面的流线向翼尖偏斜，而且这种偏斜流线向对称面偏斜，下翼面的流线向翼尖偏斜，而且这种偏斜从机翼的对称面到翼尖逐渐增大。如图所示。从机翼的对称面到翼尖逐渐增大。如图所示。 由于上下翼

18、面气流流线的偏斜，上下翼面气流在机翼后由于上下翼面气流流线的偏斜，上下翼面气流在机翼后缘缘汇汇合时尽管压强一样，但展向分速是相反的，所以在后缘合时尽管压强一样，但展向分速是相反的，所以在后缘处要拖出轴线几乎与来流方向平行的旋涡组成的涡面，这涡处要拖出轴线几乎与来流方向平行的旋涡组成的涡面，这涡面称为自由涡面。面称为自由涡面。 因为气流的偏斜从机翼对称面到翼尖是逐渐增大，所以因为气流的偏斜从机翼对称面到翼尖是逐渐增大，所以自由涡面在两翼尖处的旋涡强度也较大，这也就是上面看自由涡面在两翼尖处的旋涡强度也较大，这也就是上面看到的在两翼尖的棉花球旋转速度比其他棉花球来得快的原到的在两翼尖的棉花球旋转速

19、度比其他棉花球来得快的原因。因。zv+ + + + + + + + + _ _ _ _ _ _ _ _ _zyzvzvzv由于旋涡的相互诱导作用，在离开后缘较远的地方自由由于旋涡的相互诱导作用，在离开后缘较远的地方自由涡面将卷成两条方向相反的涡索，涡索的轴线大约和来流的涡面将卷成两条方向相反的涡索，涡索的轴线大约和来流的方向平行，如下图所示，所以上述观察实验中，如丝线较长方向平行，如下图所示，所以上述观察实验中，如丝线较长时，只有翼尖的棉花球落在涡索之中才发生旋转，而其他棉时，只有翼尖的棉花球落在涡索之中才发生旋转，而其他棉花球不会旋转。花球不会旋转。2.3.2 气动模型和升力线假设气动模型和

20、升力线假设 要从理论上分析和估算机翼的气动特性，应根据上述流要从理论上分析和估算机翼的气动特性，应根据上述流动特点建立气动模型。动特点建立气动模型。 按薄翼型理论，翼型按薄翼型理论，翼型(无限翼展机翼无限翼展机翼)的升力是迎角和弯度的升力是迎角和弯度的贡献，的贡献，对于翼型可在翼型的中弧面对于翼型可在翼型的中弧面(或近似分布在弦线或近似分布在弦线)上分上分布其轴线与展向平行的旋涡来代替机翼的作用，这涡面称为布其轴线与展向平行的旋涡来代替机翼的作用，这涡面称为附着涡面。附着涡面。翼型的总升力是与此附着涡面的总强度翼型的总升力是与此附着涡面的总强度成正比的。成正比的。 从升力特性看，有限展弦比直机

21、翼与无限展长机翼的主从升力特性看，有限展弦比直机翼与无限展长机翼的主要差别，或者说三维效应是以下两点：首先是要差别，或者说三维效应是以下两点：首先是沿展向是变沿展向是变化的，化的， ；其次是机翼从后缘拖出的自由尾涡；其次是机翼从后缘拖出的自由尾涡面。因此，为建立计算大展弦比直机翼小迎角下的升力特性面。因此，为建立计算大展弦比直机翼小迎角下的升力特性的位流气动模型，应对翼型的气动模型进行修改。的位流气动模型，应对翼型的气动模型进行修改。02max0lzz, 它也就是下面要介绍的升力面理论所用的气动模型，如它也就是下面要介绍的升力面理论所用的气动模型，如果能从理论上求出涡面的强度分布，就可求出机翼

22、所受的力果能从理论上求出涡面的强度分布，就可求出机翼所受的力和力矩。和力矩。 对大展弦比机翼，自由涡面的卷起和弯曲主要发生在对大展弦比机翼，自由涡面的卷起和弯曲主要发生在远离机翼的地方。为了简化，假设自由涡面既不卷起也不耗远离机翼的地方。为了简化，假设自由涡面既不卷起也不耗散，顺着来流方向延伸到无穷远处。因此，直匀流绕大展弦散，顺着来流方向延伸到无穷远处。因此，直匀流绕大展弦比直机翼流动的气动模型可采用比直机翼流动的气动模型可采用 直匀流直匀流+附着涡面附着涡面+自由涡面自由涡面 附着涡面和自由涡面可用无数条附着涡面和自由涡面可用无数条形马蹄涡来模拟。形马蹄涡来模拟。xzy)(zoV 形马蹄涡

23、系与直匀流叠加对大展弦比直机翼来说是既形马蹄涡系与直匀流叠加对大展弦比直机翼来说是既合理又实用的气动模型，这是因为：合理又实用的气动模型，这是因为： 2、 形马蹄涡垂直来流那形马蹄涡垂直来流那部分是附着涡系，可代替机翼的部分是附着涡系，可代替机翼的升力作用。沿展向各剖面上通过的涡线数目不同。中间剖升力作用。沿展向各剖面上通过的涡线数目不同。中间剖面通过的涡线最多，环量最大；翼端剖面无涡线通过，环面通过的涡线最多，环量最大；翼端剖面无涡线通过，环量为零，模拟了环量和升力的展向分布。量为零，模拟了环量和升力的展向分布。 1、它符合沿一根涡线强度不变、它符合沿一根涡线强度不变且不能在流体中中断的旋涡

24、定理。且不能在流体中中断的旋涡定理。 3、 形马蹄涡系平行来流且拖向下游无限远，模拟了自形马蹄涡系平行来流且拖向下游无限远，模拟了自由涡面。由于展向相邻两剖面间拖出的自由涡强度等于这两由涡面。由于展向相邻两剖面间拖出的自由涡强度等于这两个剖面上附着涡的环量差，从而建立了展向自由涡线强度与个剖面上附着涡的环量差，从而建立了展向自由涡线强度与机翼上附着涡环量之间的关系。机翼上附着涡环量之间的关系。 但是，利用此马蹄涡系气动模型来计算机翼的升力模型但是，利用此马蹄涡系气动模型来计算机翼的升力模型仍较繁。对大展弦比直机翼，由于弦长比展长小得多，因此仍较繁。对大展弦比直机翼，由于弦长比展长小得多，因此可

25、以近似将机翼上的附着涡系合并成一条展向变强度的附着可以近似将机翼上的附着涡系合并成一条展向变强度的附着涡线，各剖面的升力就作用在该线上，称为升力线假设。此涡线，各剖面的升力就作用在该线上，称为升力线假设。此时气动模型简化为时气动模型简化为 直匀流直匀流+附着涡线附着涡线+自由涡面自由涡面 因为低速翼型的升力增量在焦点处，约在因为低速翼型的升力增量在焦点处，约在1/4弦点，因此附着弦点，因此附着涡线可放在展向各剖面的涡线可放在展向各剖面的1/4弦点的连线上，此线即为升力线。弦点的连线上，此线即为升力线。 2.3.3 升力线理论升力线理论基于升力线模型建立起来的机翼理论称为升力线理论。基于升力线模

26、型建立起来的机翼理论称为升力线理论。 有限翼展机翼上的翼剖面与二维翼型特性不同，其差别有限翼展机翼上的翼剖面与二维翼型特性不同，其差别反映出绕机翼的三维效应。对大展弦直机翼小迎角下的绕流反映出绕机翼的三维效应。对大展弦直机翼小迎角下的绕流来说，各剖面上的展向速度分量以及各流来说，各剖面上的展向速度分量以及各流动动参数沿展向的变参数沿展向的变化，比起其他两个方向上的速度分量以及各流动参数变化小化，比起其他两个方向上的速度分量以及各流动参数变化小得多，因此可近似地把每个剖面上的流动看作是二维的，而得多，因此可近似地把每个剖面上的流动看作是二维的，而在展向不同剖面上的二维流动，由于自由涡的影响彼此又

27、是在展向不同剖面上的二维流动，由于自由涡的影响彼此又是不相同的。不相同的。这种从局部剖面看是二维流动，从整个机翼全体这种从局部剖面看是二维流动，从整个机翼全体剖面看又是三维流动，称为剖面假设。剖面看又是三维流动，称为剖面假设。一、一、 剖面假设剖面假设 剖面假设实际上是准二维流假设。机翼的剖面假设实际上是准二维流假设。机翼的值越大，这值越大，这种假设越接近实际，当且种假设越接近实际，当且时，此假设是准确的。时，此假设是准确的。二、下洗速度、下洗角、升力、诱导阻力二、下洗速度、下洗角、升力、诱导阻力 对于大展弦比的直机翼，可用一根位于对于大展弦比的直机翼，可用一根位于1/4弦线处变强度弦线处变强

28、度(z)直的附着涡线和从附着涡向下游拖出的自由涡系来代替。直的附着涡线和从附着涡向下游拖出的自由涡系来代替。 取风轴系：取风轴系：x轴顺来流方向向轴顺来流方向向后，后，y轴向上，轴向上，z轴与升力线轴与升力线重合并指向左半翼。自由涡重合并指向左半翼。自由涡面与面与xOz平面重合，各涡线沿平面重合，各涡线沿x轴拖向轴拖向+。xzy)(zoV 大展弦比直机翼展向剖面和二维翼剖面的主要差别在于大展弦比直机翼展向剖面和二维翼剖面的主要差别在于自由涡系在展向剖面处引起一个向下自由涡系在展向剖面处引起一个向下(正升力时正升力时)的诱导速度，的诱导速度，称为下洗速度。由于机翼已用一条展向变强度称为下洗速度。

29、由于机翼已用一条展向变强度(z)的附着涡的附着涡线线升力线所代替，所以自由涡在机翼上的诱导下洗速度，升力线所代替，所以自由涡在机翼上的诱导下洗速度，可认为是在附着涡线上的诱导下洗速度。可认为是在附着涡线上的诱导下洗速度。 附着涡线在展向位置附着涡线在展向位置处的强度为处的强度为()，在，在 +d+d处涡强处涡强为为 ，根据旋涡定理，根据旋涡定理， d 微段拖出的自由涡强微段拖出的自由涡强为为 。此自由涡线在附着涡线上任一点。此自由涡线在附着涡线上任一点z处的下洗速度处的下洗速度为为ddd)(ddd)(4)(zdddzdvixzy)(zodddd)(zPzd2l/2l/idv整个涡系在整个涡系在

30、z点产生的下洗速度为点产生的下洗速度为22)(41)(llizdddzv由于下洗速度的存在，机翼展向每个剖面上的实际有效速由于下洗速度的存在，机翼展向每个剖面上的实际有效速度度Ve为无限远处来流速度为无限远处来流速度V与下洗速度的矢量和，有效迎与下洗速度的矢量和，有效迎角角e也比几何迎角也比几何迎角减小了减小了i ， i叫下洗角，如图所示。叫下洗角，如图所示。ViveV0iVe根据速度三角形根据速度三角形 可得可得)(cos)(),()()()()(1zVzVzzzVzvtgzieieii，由于下洗速度远小于来流速度，故可得由于下洗速度远小于来流速度，故可得22141)()()(lliiizd

31、ddVVzvVzvtgz 在求作用在机翼微段上升力之前，我们先引入在求作用在机翼微段上升力之前，我们先引入“剖面流剖面流动动”的假设，假设有限翼展的机翼各剖面所受的气动力与的假设，假设有限翼展的机翼各剖面所受的气动力与以有效速度以有效速度Ve流过形状与该剖面相同、迎角为流过形状与该剖面相同、迎角为e的二维翼的二维翼剖面所受的气动力相同。因此，作用在点剖面所受的气动力相同。因此，作用在点P(z)处机翼微段处机翼微段dz上的力上的力dR由库塔由库塔儒可夫斯基升力定理确定，即儒可夫斯基升力定理确定，即dzzVdzzVdRe)()(ViveViVedRdYdXidR的方向垂直于有效速度的方向垂直于有效

32、速度Ve,它在垂直它在垂直和平行和平行V方向上的分量分别为升力方向上的分量分别为升力dY和阻力和阻力dXi)()(sin)()(coszdYzdRdXdzzVdRzdRdYiiii沿整个翼展积分，得到整个机翼的升力和阻力为沿整个翼展积分，得到整个机翼的升力和阻力为2222)()()(lliilldzzzVXdzzVY Xi这个阻力在理想二维翼上是不存在的，它是由于有限这个阻力在理想二维翼上是不存在的，它是由于有限翼展机翼后面存在自由涡而产生的，或者说，是因下洗角的翼展机翼后面存在自由涡而产生的，或者说，是因下洗角的出现使剖面有效迎角减小而在来流方向形成的阻力，故称为出现使剖面有效迎角减小而在来

33、流方向形成的阻力，故称为诱导阻力。此诱导阻力与流体的粘性无关。是有限翼展机翼诱导阻力。此诱导阻力与流体的粘性无关。是有限翼展机翼产生升力必须付出的阻力代价。从能量的观点看，机翼后方产生升力必须付出的阻力代价。从能量的观点看，机翼后方自由涡面上的流体微团旋转所需的能量，必须由机翼提供一自由涡面上的流体微团旋转所需的能量，必须由机翼提供一个附加的推力来克服诱导阻力才能维持有升力的飞行。个附加的推力来克服诱导阻力才能维持有升力的飞行。三、确定环量三、确定环量(z) 的微分的微分-积分方程积分方程 由上面可知，求解大展弦比直机翼的升力和阻力问题，由上面可知，求解大展弦比直机翼的升力和阻力问题，归结为确

34、定环量沿展向的分布归结为确定环量沿展向的分布(z) 。下面推导确定。下面推导确定(z) 的方的方程式。程式。 由翼型理论可知，作用在微段机翼由翼型理论可知，作用在微段机翼dz上的升力上的升力dY为为dzzbVzCdYy)(21)(2dzzVdY)(由剖面流动假设，剖面升力系数由剖面流动假设，剖面升力系数 可表示为可表示为)(zCy)()()()()()()()()()()(00zzzCzzzzCzzzCzCiayiyeyy上式中的上式中的 为二维翼剖面的升力线斜率和零为二维翼剖面的升力线斜率和零升迎角。升迎角。)()(0zzCy、由上面三式，可以得到由上面三式，可以得到41)()(21)(22

35、llayzdddVzzbCVz此式即为给定迎角和机翼几何形状条件下确定环量此式即为给定迎角和机翼几何形状条件下确定环量(z) 的微的微分分-积分方程。这个方程只有在少数特殊情况下才能得到精确积分方程。这个方程只有在少数特殊情况下才能得到精确的解，椭圆形环量分布是其中最重要的一种。的解，椭圆形环量分布是其中最重要的一种。四、椭圆形环量分布无扭转平直机翼的气动特性四、椭圆形环量分布无扭转平直机翼的气动特性如果机翼的环量分布如果机翼的环量分布(z)是椭圆形分布，则是椭圆形分布，则2021)(lzz0为机翼对称面上的最大环量值。为机翼对称面上的最大环量值。lzdddzvlli2)(41)(022由环量

36、分布函数可以求得在由环量分布函数可以求得在z点处的下洗速度和下洗角为点处的下洗速度和下洗角为lVVzvVzvtgzyiyii2)()()(01上两式说明：上两式说明：椭圆形环量分布的机翼，其下洗速度和下洗角椭圆形环量分布的机翼，其下洗速度和下洗角沿展向是不变的常量。沿展向是不变的常量。 如果机翼是无扭转的，既无几何扭转也无气动扭转，则几何如果机翼是无扭转的，既无几何扭转也无气动扭转，则几何迎角迎角 、零升迎角、零升迎角0，剖面升力线斜率，剖面升力线斜率 沿展向也是不沿展向也是不变的，所以沿展向有变的，所以沿展向有yC常常值值常常值值常常值值iiaiaiayxiyy0eCC)(CC)(对整个机翼

37、则有对整个机翼则有22222222222222)(21)(2121)(21)(2121xillxillxiixiyllyllyyCSdzzbCSVdzzbVCSVXCCSdzzbCSVdzzbVCSVYCViveV0iVe上两式说明：上两式说明：椭圆形环量分布无扭转平直机翼的升力系数和椭圆形环量分布无扭转平直机翼的升力系数和诱导阻力系数就等于剖面的升力系数和诱导阻力系数。诱导阻力系数就等于剖面的升力系数和诱导阻力系数。 下面求下面求椭圆形环量分布平直机翼的气动系数表达式。椭圆形环量分布平直机翼的气动系数表达式。22)(lldzzVYlSVCSVldzzSVCylly22)(200222021)

38、(lzz而而yyiiClVVzv2)(0故故)()(yayiayyyCCCCC上两式说明椭圆环量分布的平直机翼在气动特性上与无限上两式说明椭圆环量分布的平直机翼在气动特性上与无限翼展机翼有以下两点重要的差别：翼展机翼有以下两点重要的差别：（1）有限翼展机翼的升力线斜率小于无限翼展机翼，而且）有限翼展机翼的升力线斜率小于无限翼展机翼，而且随着随着值的减小而减小。值的减小而减小。（2 2）有限翼展机翼有诱导阻力产生，诱导阻力系数与升力）有限翼展机翼有诱导阻力产生，诱导阻力系数与升力系数的平方成正比，与展弦比系数的平方成正比，与展弦比成反比。成反比。 在在C Cy y值一定时，增大值一定时，增大可减

39、小可减小C Cxixi值，要增大机翼的升值，要增大机翼的升力线斜率值应尽量采用大力线斜率值应尽量采用大值。值。从而可以得到从而可以得到yyyyayyyCCCCCCC11诱导阻力系数为诱导阻力系数为2yiyxiCCC下面来求具有椭圆形环量分布的机翼的平面形状。下面来求具有椭圆形环量分布的机翼的平面形状。作用在微段机翼作用在微段机翼dz上的升力上的升力dY为为dzzbVzCdYy)(21)(2dzzVdY)(200000021)(z) 0()() 0(21)(,)(, 0)()(21)(lzbzbCzCbCVzbzbzzbzCVzyyyy? 上式表明，具有椭圆形环量分布的机翼的展向弦长分布上式表明

40、，具有椭圆形环量分布的机翼的展向弦长分布也是椭圆形的，称为椭圆形机翼。也是椭圆形的，称为椭圆形机翼。四、一般平面形状大四、一般平面形状大直机翼的气动特性直机翼的气动特性 椭圆形机翼的环量分布是椭圆形的，这是升力线理论椭圆形机翼的环量分布是椭圆形的，这是升力线理论中最简单的解析解。虽然升力线理论可以证明椭圆翼是相中最简单的解析解。虽然升力线理论可以证明椭圆翼是相同展弦比下具有最佳升阻特性的平面形状，但因结构和工同展弦比下具有最佳升阻特性的平面形状，但因结构和工艺上的复杂性现已极少采用，目前广泛采用矩形翼和梯形艺上的复杂性现已极少采用，目前广泛采用矩形翼和梯形翼。翼。 使用升力线理论在给定迎角下求

41、解这些非椭圆的使用升力线理论在给定迎角下求解这些非椭圆的(z)(z)可使用三角级数法。可使用三角级数法。1、基本微分、基本微分积分方程的三角级数解积分方程的三角级数解41)()(21)(22llayzdddVzzbCVz先进行变量置换，令先进行变量置换，令1cos2,cos2llz则则coscos21)()(21)(0111dddlVbCVay再将上式展成如下的三角级数再将上式展成如下的三角级数)sin(2)(1nAlVnn由于翼尖环量为零，由于翼尖环量为零，(0)=()=0,)=0,所以上式只取正弦项。所以上式只取正弦项。此外，机翼上环量分布左右对称，此外，机翼上环量分布左右对称，( )=(

42、 - - ),),所以所以n n为为偶数时偶数时AnAn为为0 0，A A2 2=A=A4 4=A=A6 6=A=A2n2n=0=0。由上两式可得到由上两式可得到)sin)(sin(sin)(1nnAnna其中其中lbCy4)()(只要保留足够多的项数只要保留足够多的项数n和选取相应的系数和选取相应的系数An，可近似表示，可近似表示实际的环量分布。所以最后的求解问题变为在给定机翼弦实际的环量分布。所以最后的求解问题变为在给定机翼弦长和绝对迎角分布的情况下，求解长和绝对迎角分布的情况下，求解A1,A3,A5,。给定给定)(),(),(zzCzbay求解求解An()机翼的气动特性机翼的气动特性 在

43、在 之间取四个之间取四个 值（对应右半机翼值（对应右半机翼4个剖个剖面），例如取面），例如取 代代入入 ，即可得，即可得到到A1，A3，A5，A7的四个代数方程。的四个代数方程。)sin)(sin(sin)(1nnAnna20,90,5 .67,45,5 .224321 实际上只需要求解时保留前几项级数即可。取三角级实际上只需要求解时保留前几项级数即可。取三角级数的四项已可近似表示实际的环量分布。数的四项已可近似表示实际的环量分布。 椭圆形机翼的环量分布是环量三角级数表达式中的一个椭圆形机翼的环量分布是环量三角级数表达式中的一个特例。在环量三角级数表达式中只取一项时，特例。在环量三角级数表达式

44、中只取一项时，sin2)(1AlV21212)(lzAlVz把变量把变量还原为还原为z，则，则在在z=0时，时，=0，可得，可得lVA201所以有所以有2021)(lzz2、平面形状对机翼展向环量分布的影响、平面形状对机翼展向环量分布的影响 使用三角级数法可以求得不同使用三角级数法可以求得不同平面形状机翼的环量沿平面形状机翼的环量沿展向分布规律。展向分布规律。有了有了(z)后，就可求出机翼剖面升力系数后，就可求出机翼剖面升力系数沿展向的分布规律。沿展向的分布规律。dzzbVzCdYy)(21)(2dzzVdY)(dzzbzCSCzbzVzCllyyy)()(1)()(2)(22，=6的四种典型

45、平面形状无扭的四种典型平面形状无扭转翼的环量沿展向分布转翼的环量沿展向分布=6的不同根梢比无扭转梯形的不同根梢比无扭转梯形机翼的剖面升力系数分布机翼的剖面升力系数分布由上面的结果，可以得到下面结论：由上面的结果，可以得到下面结论：（1）矩形机翼的剖面升力系数的最大值在翼根剖面处。）矩形机翼的剖面升力系数的最大值在翼根剖面处。 根梢比较大的梯形机翼剖面升力系数的分布规律对失速根梢比较大的梯形机翼剖面升力系数的分布规律对失速特性是不利的，因此根梢比必须选用恰当，否则必须采取适特性是不利的，因此根梢比必须选用恰当，否则必须采取适当措施，当措施，(例如几何扭转或气动扭转例如几何扭转或气动扭转)来改善失

46、速特性。来改善失速特性。 （2）根梢比较大根梢比较大( )的梯形机翼的最大剖面升力系的梯形机翼的最大剖面升力系数则发生在翼尖附近，而且随根梢比的增大，最大剖面升力数则发生在翼尖附近，而且随根梢比的增大，最大剖面升力系数越靠近翼尖。系数越靠近翼尖。2 （3） 梯形机翼的环量分布和剖面升力系数分布最梯形机翼的环量分布和剖面升力系数分布最接近椭圆机翼。接近椭圆机翼。32 3、一般无扭转直机翼的气动特性、一般无扭转直机翼的气动特性)sin(2)(1nAlVnn122122sin2)sin(4)(2AdlnASldzzSVCllnnlly 22)(lldzzVY（1）升力系数）升力系数上式表明，有限翼展

47、机翼的升力系数上式表明，有限翼展机翼的升力系数Cy仅与表示环量仅与表示环量的三角级数展开式中的第一个系数的三角级数展开式中的第一个系数有关，其余的系数有关，其余的系数并不影响总升力的大小，仅影响环量沿展向的分布规律，并不影响总升力的大小，仅影响环量沿展向的分布规律，即只影响到剖面升力系数沿展向的分布。即只影响到剖面升力系数沿展向的分布。)()(zCzCiayy在这里我们讨论的机翼是无扭转的直机翼，既没有几何在这里我们讨论的机翼是无扭转的直机翼，既没有几何扭转，也没有气动扭转，沿展向为一常量。扭转，也没有气动扭转，沿展向为一常量。yaC、2241)(llizdddVz)()(1)()(21)(2

48、1)(22222222lliayllyllyydzzbzSCSdzzbzCSVdzzbVzCC)sin(2)(1nAlVnn上式中代入上式中代入可得可得)1(1ACCayy1ACy)1 (1)1 (1yyyayyyCCCCCC式中的式中的是一个与机翼平面形状有关的正值小量，表达式为是一个与机翼平面形状有关的正值小量，表达式为dbAnnASlnn)()sin(2012又因为又因为从而可以得到从而可以得到，)sin(2)(1nAlVnn22)()(2llixidzzzSVC（）诱导阻力系数（）诱导阻力系数22)()(lliidzzzVX2241)(llizdddVz上式中代入上式中代入积分后得到积

49、分后得到)1 (212ynnxiCnAC式中式中2127212521232212753AAAAAAAnAnn为与平面形状有关的另一个小正数。为与平面形状有关的另一个小正数。因为总是正数，所以诱导阻力总是正的，这说明三维因为总是正数，所以诱导阻力总是正的，这说明三维有限翼展机翼只要升力不为零，产生诱导阻力是不可避免的。有限翼展机翼只要升力不为零，产生诱导阻力是不可避免的。从物理意义上来说，诱导阻力是与机翼后自由涡系所消耗的从物理意义上来说，诱导阻力是与机翼后自由涡系所消耗的能量相关的。能量相关的。2nA对于椭圆机翼，对于椭圆机翼， 因为因为 此时此时, 032nAAA0)()sin(2012db

50、AnnASlnn07532127212521232212AAAAAAAnAnn 对于非椭圆机翼，对于非椭圆机翼，0,0。因此，在相同的展弦比时，。因此，在相同的展弦比时，椭圆形机翼的升力线斜率椭圆形机翼的升力线斜率 最大，相同最大，相同 下的诱导阻力下的诱导阻力系数系数 最小，是升阻特性最佳的平面形状。所以称椭圆形最小，是升阻特性最佳的平面形状。所以称椭圆形机翼为最佳平面形状的机翼。机翼为最佳平面形状的机翼。yCyCxiC 任意平面形状大展弦比直机翼的气动特性，均可在椭任意平面形状大展弦比直机翼的气动特性，均可在椭圆机翼计算公式的基础上通过圆机翼计算公式的基础上通过和和的修正而求得，如的修正而

51、求得，如)1 (2yxiCC)1 (1yyyCCC 和和通常称为非椭圆机翼对椭圆机翼气动力的修正通常称为非椭圆机翼对椭圆机翼气动力的修正系数，表示其它平面形状机翼偏离最佳平面形状机翼的程系数，表示其它平面形状机翼偏离最佳平面形状机翼的程度。度。 和和主要取决于机翼的平面形状和展弦比，可通过三主要取决于机翼的平面形状和展弦比，可通过三角级数法计算求得。下面表中给出了角级数法计算求得。下面表中给出了=6=6的的几种常见平面几种常见平面形状的形状的和和 值。值。 低速飞机的机低速飞机的机翼广泛采用根梢比翼广泛采用根梢比 的梯形机的梯形机翼。翼。32 从诱导阻力系数的公式中可以看出，从诱导阻力系数的公

52、式中可以看出， 与与 成正比，成正比，而与而与 成反比。在低亚声速时为了得到大的升阻比，最好成反比。在低亚声速时为了得到大的升阻比，最好采用大的展弦比采用大的展弦比 。但实际上由于结构上的考虑，采用的。但实际上由于结构上的考虑，采用的展弦比限制在展弦比限制在8或或10左右。左右。2yCxiC 从理论上说，椭圆机翼是最佳平面形状的机翼，气动特从理论上说，椭圆机翼是最佳平面形状的机翼，气动特性最好，但结构复杂，加工不方便，实际上很少采用。性最好，但结构复杂，加工不方便，实际上很少采用。低速低速飞机的机翼广泛采用根梢比飞机的机翼广泛采用根梢比 的梯形机翼。的梯形机翼。 的的梯形机翼的环量分布与椭圆形

53、机翼的环量分布很接近，气动梯形机翼的环量分布与椭圆形机翼的环量分布很接近，气动特性也较接近。特性也较接近。32 32 4、展弦比对机翼气动特性的影响、展弦比对机翼气动特性的影响 有两个大展弦比直机翼，它们由同一翼型组成，但展弦有两个大展弦比直机翼，它们由同一翼型组成，但展弦比不同，分别为比不同，分别为 和和 。12ayyyCCC)1 (1由由得得)1 (yyyaCCC式中式中 ，为，为 无限翼展机翼得到同样大小无限翼展机翼得到同样大小 值的绝值的绝对迎角。所以有对迎角。所以有)(ayyCCyC)1 ()(yaaC 上式表明，达到同样上式表明，达到同样Cy值三值三维机翼所需的绝对迎角要比无限维机

54、翼所需的绝对迎角要比无限翼展机翼来得大，也就是说，翼展机翼来得大，也就是说，三三维机翼的升力线斜率要比无限翼维机翼的升力线斜率要比无限翼展机翼来得小，且升力线斜率随展机翼来得小，且升力线斜率随着展弦比的减小而减小。着展弦比的减小而减小。 在相同的在相同的Cy下，有下，有)1 ()(yaaC112211)()(12yaaC 上式可将上式可将1机翼的机翼的Cy- 曲线换算到曲线换算到2机翼上。机翼上。)1 (2yxiCC由由可以得到相同可以得到相同Cy下的阻力系数换算公下的阻力系数换算公式为式为1122211)()(12yxixiCCC上式可将上式可将1机翼的机翼的Cy- Cx曲线换算到曲线换算到

55、2机翼上。机翼上。 如果已知展弦比如果已知展弦比1机翼的升力系数和阻力系数曲线，就机翼的升力系数和阻力系数曲线，就可以用上面的换算方法，得到展弦比为可以用上面的换算方法，得到展弦比为2 机翼的升力系数和机翼的升力系数和阻力系数。这样的换算方法经过实验证明，对大展弦比的机阻力系数。这样的换算方法经过实验证明，对大展弦比的机翼是令人满意的。翼是令人满意的。xiCyC12o214、升力线理论的应用范围、升力线理论的应用范围 升力线理论是求解大展弦比直机翼的近似位流理论。升力线理论是求解大展弦比直机翼的近似位流理论。在知道机翼的平面形状和剖面翼型气动数据后，就可以求在知道机翼的平面形状和剖面翼型气动数

56、据后，就可以求出环量分布、剖面升力系数分布及整个机翼的升力系数、出环量分布、剖面升力系数分布及整个机翼的升力系数、升力线斜率以及诱导阻力系数。它的突出的优点是可以明升力线斜率以及诱导阻力系数。它的突出的优点是可以明确地给出机翼平面参数对机翼气动特性的影响。确地给出机翼平面参数对机翼气动特性的影响。 下面对下面对Prandtl的升力线理论作一总结的升力线理论作一总结: (1)机翼用一根升力线代表；机翼用一根升力线代表； (2)升力线上附着涡强（环量）沿展向是变化的；升力线上附着涡强（环量）沿展向是变化的； (3)变强度的附着涡产生向下游伸展的自由涡；变强度的附着涡产生向下游伸展的自由涡； (4)

57、涡系引起的扰动可以认为是一种小扰动；涡系引起的扰动可以认为是一种小扰动； (5) 自由涡与飞行方向平行；自由涡与飞行方向平行； (6)围绕翼剖面附近的流动可以用围绕翼剖面附近的流动可以用Kutta-Jowkouski的的二维解法确定。二维解法确定。 升力线理论为大展弦比直机翼气动设计中的参数选择升力线理论为大展弦比直机翼气动设计中的参数选择和性能计算提供了良好的理论依据。但是，升力线理论的和性能计算提供了良好的理论依据。但是，升力线理论的应用有一定的范围。应用有一定的范围。 (1)迎角不能太大（迎角不能太大（10)。升力线理论没有考虑空气。升力线理论没有考虑空气的粘性，而在大迎角下的流动出现了

58、明显的分离。的粘性，而在大迎角下的流动出现了明显的分离。 (2)展弦比不能太小（展弦比不能太小（55）。）。 (3)后掠角不能太大（后掠角不能太大（2020）。）。 展弦比较小或后掠角较大时，升力线模型和剖面假展弦比较小或后掠角较大时，升力线模型和剖面假设已不再正确。对后掠翼和小展弦比机翼的位流气动特设已不再正确。对后掠翼和小展弦比机翼的位流气动特性，应采用升力面理论或其它理论来计算。性，应采用升力面理论或其它理论来计算。2.3.4 大展弦比直机翼的失速特性大展弦比直机翼的失速特性 小迎角时，机翼的升力系数小迎角时，机翼的升力系数Cy和迎角和迎角呈线性关系。但当呈线性关系。但当继续增大到一定程

59、度时，继续增大到一定程度时，Cy曲线开始偏离直线关系。这时曲线开始偏离直线关系。这时翼面上后缘附近的附面层开始有局部分离，但还没有遍及整个翼面上后缘附近的附面层开始有局部分离，但还没有遍及整个翼面，所以。再继续增大时，翼面，所以。再继续增大时，Cy仍然会有所增大。而后，仍然会有所增大。而后， 由由于分离区逐渐扩展，最后几乎遍及整个翼面，于分离区逐渐扩展，最后几乎遍及整个翼面， Cy上升到某最上升到某最大值大值Cymax后，若后，若再增大，再增大， Cy就要下降。这时机翼失速。就要下降。这时机翼失速。 影响机翼失速特性的因素很多，例如所用的翼型、雷诺影响机翼失速特性的因素很多，例如所用的翼型、雷

60、诺数、马赫数和机翼的平面形状等。下面仅讨论机翼的平面形数、马赫数和机翼的平面形状等。下面仅讨论机翼的平面形状对失速特性的影响。我们要对无扭转的椭圆、矩形和梯形状对失速特性的影响。我们要对无扭转的椭圆、矩形和梯形机翼的失速特点分别加以说明。机翼的失速特点分别加以说明。 从升力线理论可知，对于椭圆形的从升力线理论可知，对于椭圆形的机翼，机翼， 诱导下洗速度沿翼展是不变的，诱导下洗速度沿翼展是不变的，因而沿展向各翼剖面的有效迎角也不变。因而沿展向各翼剖面的有效迎角也不变。所以，随着所以，随着的增大，整个展向各翼剖面的增大，整个展向各翼剖面同时出现分离，同时达到同时出现分离，同时达到Cymax(翼型的