平衡辐射场的内能密度随频率和波长的变化

1、综合性设计性实验实验8 平衡辐射场的内能密度随频率和波长的变化实验目的：1、弄清平衡辐射场内能密度随频率和波长变化规律2、推导辐射场能量取极大时对应的波长、频率满足的方程3、编程求解上述方程4、编程画出平衡辐射场内能密度随频率和波长变化曲线，理解辐射场能量取极大时对应的波长和频率间的差异实验背景： 黑体辐射是量子力学重要的实验基础之一，利用光子假说和玻色统计可以给出黑体辐射的内能密度与光子频率或波长之间的关系。光子是玻色子，自旋为1；光子静止质量为0；光子的动量、能量、频率、波矢、速度之间的关系为光子数不守恒，化学势为0。这样光子气体的统计分布为光子的自旋在传播方向的投影有两个值，对应于左右两

2、个偏振光。在体积V内，动量为的量子态数为在内的光子数为乘以每一个光子的能量，则辐射场的内能为 (1)若取V=1，则给出了辐射场的内能密度。 注意到光的频率与波长间的关系，容易给出内能密度与波长的关系 (2)若令，则使(1)式有极大值的x满足 (3)若令，则使(2)式有极大值的x满足 (4)实验内容：1、用牛顿法求方程（3）、（4）的根（1）方程（3）的求根程序ch8_1为：module NUMERICAL implicit none real, parameter : zero=0.0001 contains real function newton(a,f,df) implicit none

3、 real : a real, external : f real, external : df real : b real : fb b = a-f(a)/df(a) fb= f(b) do while( abs(fb) > zero )a=bb=a-f(a)/df(a) fb=f(b) end do newton=b return end function newton real function func(x) implicit none real : x func=x+3*exp(-x)-3 return end function func real function dfunc

4、(x) implicit none real : x dfunc=1-3*exp(-x) return end function dfuncend module NUMERICALprogram main use numerical implicit none real : a real : ans write(*,*) read (*,*) a ans=newton(a,func,dfunc) write(*,"('x=',F15.8)") ans stopend program根为x=2.82144022；（2）方程（4）的求根程序ch8_2为：modu

5、le NUMERICAL implicit none real, parameter : zero=0.00001 contains real function newton(a,f,df) implicit none real : a real, external : f real, external : df real : b real : fb b = a-f(a)/df(a) fb= f(b) do while( abs(fb) > zero )a=bb=a-f(a)/df(a) fb=f(b) end do newton=b return end function newton

6、 real function func(x) implicit none real : x func=x+5*exp(-x)-5 return end function func real function dfunc(x) implicit none real : x dfunc=1-5*exp(-x) return end function dfuncend module NUMERICALprogram main use numerical implicit none real : a real : ans write(*,*) read (*,*) a ans=newton(a,fun

7、c,dfunc) write(*,"('x=',F16.8)") ans stopend programx=4.96511412;2、推导内能密度随波长，频率变化的关系式由(1)、(2)式得：平衡辐射场的内能密度和波长、频率有如下关系： (5); 其中 (6)其中;3、编程计算内能密度随波长、频率的变化关系，并用作图软件严格画出这些关系。源程序ch8_3及图如下：program ch8_3 implicit noneinteger ireal(8) x(1000),dx,p(1000),q(1000)open(1,file="formula1.da

8、t")open(2,file="formula2.dat")p(1)=15q(1)=1dx=0.01x(1)=0.0do i=2,1000x(i)=x(1)+i*dxp(i)=p(1)*(x(i)*3)/(exp(x(i)-1)write(1,*) x(i),p(i)end dodo i=2,1000x(i)=x(1)+i*dxq(i)=q(1)*(x(i)*5)/(exp(x(i)-1)write(2,*) x(i),q(i)end doclose(1)close(2)end根据上述程序计算出的数据画图如下：图1、能量密度u分别对频率w和波长l的依赖关系4、实验结论1、在一定温度下，对于不同的自变量，内能密度都有一个峰值。2、以波长和频率为自变量的内能密度曲线峰值决定的波长和频率并不按的对应关系。结论分析：由能量守恒知： （7）由内能密度的定义，温度为T的黑体，分别用频率w和波长l表示内能密度如下： （8） （9）由（8）、（9）知，以波长和频率为自变量时由于x的阶不一样，内能密度曲线峰值决定的波长和频率并不按的对应关系