第七章第一节为什么要证明

1、知识详述知识详述1 1、推理证明的必要性、推理证明的必要性 我们认识事物，可能有偏差，有时是我们认识事物，可能有偏差，有时是“想当然想当然”，过于草率，有时是过于草率，有时是“乱花迷人眼乱花迷人眼”，观察产生了观察产生了错错觉，但无论哪一种情况，没有严格觉，但无论哪一种情况，没有严格的证明都是不的证明都是不能能令人放心和信服的令人放心和信服的 如当如当n n1 1，2 2，3 3，4 4时时，（，（n n2 25n5n5 5）2 2都是等都是等于于1 1，是不是可以归纳得出：，是不是可以归纳得出：当当n n取任意正整数时取任意正整数时，（n n2 25n5n5 5）2 2的值都是的值都是1 1

2、？2 2、检验数学结论是否正确的常用方法、检验数学结论是否正确的常用方法 检验数学结论常用的方法：检验数学结论常用的方法：实验验证法、举出反实验验证法、举出反例、推理论证等例、推理论证等3 3、定义：对一些名称和术语的含义加以描述，作出明确、定义：对一些名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义的规定，也就是给出它们的定义. . 注意：定义必须是严密的，在表述时，一般避免使注意：定义必须是严密的，在表述时，一般避免使用含糊不清的术语，例如用含糊不清的术语，例如“大约大约”、“大概大概”、“差不差不多多”、“左右左右”等等 正确的定义能把被定义的事物或名词与其他的事物正确的定

3、义能把被定义的事物或名词与其他的事物或名词区别开来或名词区别开来4 4、命题：判断一件事情的句子叫做命题、命题：判断一件事情的句子叫做命题. . 命题是一个命题是一个“判断句判断句”，判断，判断“是是”或或“非非”.”.其其中正确的命题叫做真命题，不正确的命题叫做假命中正确的命题叫做真命题，不正确的命题叫做假命题如题如“对顶角相等对顶角相等”是真命题，是真命题，“相等的角是对顶相等的角是对顶角角”是假命题是假命题. . 注意：注意：(1)(1)命题必须是一个完整的句子，常为陈述命题必须是一个完整的句子，常为陈述句；句；(2)(2)而且必须对某件事情作出肯定或否定的判而且必须对某件事情作出肯定或

4、否定的判断断 如对如对“两直线相交两直线相交”这个句子，我们无法判断它是这个句子，我们无法判断它是正确的还是错误的，因而它不是命题正确的还是错误的，因而它不是命题 又如，又如，“相等的角是对顶角相等的角是对顶角”这个句子，我们可以这个句子，我们可以判断它是错误的，因而是命题，而且是假命题判断它是错误的，因而是命题，而且是假命题5 5、命题是由条件和结论两部分组成，条件是已知的事项，、命题是由条件和结论两部分组成，条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项命题通常可写成结论是由已知事项推断出的事项命题通常可写成“如如果果那么那么”的形式其中的形式其中“如果如果”引出的部分是引出的部分是条件，

5、条件， “ “那么那么”引出的部分是结论引出的部分是结论 注意：对于不具有这种形式的命题，它的条件和结论注意：对于不具有这种形式的命题，它的条件和结论往往不明显，为了指出它的条件和结论，我们可以把命往往不明显，为了指出它的条件和结论，我们可以把命题写成题写成“如果如果那么那么”的形式这样命题的条件的形式这样命题的条件和结论就显而易见了和结论就显而易见了6 6、公理、证明、定理的概念、公理、证明、定理的概念 （1 1）公认的真命题称为公理，即在长期的实践中，）公认的真命题称为公理，即在长期的实践中，人们总结出来的一些基本事实人们总结出来的一些基本事实. .如如“两点确定一条直两点确定一条直线线”

6、；“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”等等等等 （2 2）除公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推）除公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断演绎推理的过程称为证明，理的方法进行判断演绎推理的过程称为证明， （3 3）经过证明的真命题称为定理定理只能用公理、）经过证明的真命题称为定理定理只能用公理、定义和已经证明为真命题的命题来证明定义和已经证明为真命题的命题来证明7 7、证明假命题的方法、证明假命题的方法 证明一个命题是假命题，只需举一个证明一个命题是假命题，只需举一个“反例反例”即可，也即可，也就是举出一个符合命题的条件而不符合结论的例子就是举出一个符合命题的条件而不符合

7、结论的例子. .8 8、定义、命题、公理和定理之间的联系与区别、定义、命题、公理和定理之间的联系与区别 这四者都是句子，都可以判断真假，即定义、公理和定这四者都是句子，都可以判断真假，即定义、公理和定理也是命题，不同的是定义、公理和定理都是真命题，都理也是命题，不同的是定义、公理和定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过公理是可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过公理是最原始的依据，而命题不一定是真命题，因而它不一定能最原始的依据，而命题不一定是真命题，因而它不一定能作为进一步判断其他命题真假的依据作为进一步判断其他命题真假的依据随堂演练例例1 1、先观察，再验证、

8、先观察，再验证（1 1）图中黑色的边是直的还是弯曲的？）图中黑色的边是直的还是弯曲的？（2 2）图中两条线段）图中两条线段a a与与b b，哪一条更长？，哪一条更长？分析：分析： 先观察得出结论，再实验验证先观察得出结论，再实验验证解：解： 对于（对于（1 1）题，直接观察图可得出结论：黑色的边是弯曲的，）题，直接观察图可得出结论：黑色的边是弯曲的，但实际上，黑色的边是直的；对于（但实际上，黑色的边是直的；对于（2 2）题，直接观察图可得出）题，直接观察图可得出结论：线段结论：线段b b比线段比线段a a短，但实际上，这两条线段同样长短，但实际上，这两条线段同样长点拨：点拨： 要判断一个数学结

9、论是否正确，仅仅依靠经验、观察是不够的，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察是不够的，必须给出严格的证明或实验验证必须给出严格的证明或实验验证例例2 2、当、当x x为任意实数时，为任意实数时，x x2 24x4x5 5的值都大于零吗？的值都大于零吗？解：解： x x2 24x4x5 5x x2 24x4x4 41 1（x x2 2）2 21 1， 因为（因为（x x2 2）2 200，所以（，所以（x x2 2）2 21 10 0， 所以当所以当x x为任意实数时，为任意实数时，x x2 24x4x5 5的值都大于零的值都大于零方法归纳：方法归纳： 本题在检验数学结论时采用了推理的

10、方式，熟练运用完全平方本题在检验数学结论时采用了推理的方式，熟练运用完全平方公式是解此题的关键公式是解此题的关键例例3 3、请仔细观察下列各式：、请仔细观察下列各式： 25 255 52 2，1 2251 22535352 2，112 225112 2253353352 2，11 122 22511 122 2253 3 3353352 2， 试写出表示一般规律的等式，并说明理由试写出表示一般规律的等式，并说明理由分析： 从给出的等式可以发现，等式右边是一个完全平方数，等式左边从给出的等式可以发现，等式右边是一个完全平方数，等式左边是以是以5 5结尾，由结尾，由1 1、2 2、5 5组成的数，

11、然后由组成的数，然后由1 1、2 2的个数与的个数与3 3的个数作的个数作比较找出规律，从而写出表示一般规律的等式比较找出规律，从而写出表示一般规律的等式解： 一般规律： 例例4 4、下列语句中不是命题的是（、下列语句中不是命题的是（ ）A A相等的角不是对顶角相等的角不是对顶角B B两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等C C两点之间线段最短两点之间线段最短D D过点过点O O作线段作线段MNMN的垂线的垂线解析：解析： 根据命题的定义可知，只有对一件事情作出判断，才能叫命题，根据命题的定义可知，只有对一件事情作出判断，才能叫命题，A A，B B，C C项都对某件事情作出了判断，只有项

12、都对某件事情作出了判断，只有D D没有对事情作出任何没有对事情作出任何判断判断答案：答案：D D方法归纳：方法归纳： 判断一个语句是否为命题应抓住两条：判断一个语句是否为命题应抓住两条：命题是叙述某件事情命题是叙述某件事情的句子；的句子；必须对该件事情作出判断通常不完整的句子、祈使必须对该件事情作出判断通常不完整的句子、祈使句、疑问句、感叹句均不是命题句、疑问句、感叹句均不是命题例例5 5、判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举一、判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举一反例加以说明反例加以说明 （1 1）两个角的和是）两个角的和是180180，则这两个角是邻补角；，则这两

13、个角是邻补角； （2 2）同位角相等；）同位角相等； （3 3）如果）如果a a2 2b b2 2，那么，那么a ab b分析：分析： （1 1）邻补角必须有公共边，两个没有公共边的角也可能和为）邻补角必须有公共边，两个没有公共边的角也可能和为180180；（；（2 2）若两条直线不平行，则同位角就不相等；（）若两条直线不平行，则同位角就不相等；（3 3）a a2 2b b2 2，a a与与b b可能相等，也可能互为相反数可能相等，也可能互为相反数方法归纳：方法归纳： 识别命题的真假，关键是在条件成立的前提下，看结论是否正识别命题的真假，关键是在条件成立的前提下，看结论是否正确可先举确可先举“

14、特例特例”验证，特例成立，还不能证明为真命题，要验证，特例成立，还不能证明为真命题，要由特殊形式转化成一般形式，再用推理的方法证明结论正确若由特殊形式转化成一般形式，再用推理的方法证明结论正确若特例不成立，则原命题一定是假命题特例不成立，则原命题一定是假命题解：解： （1 1）假命题如图）假命题如图1 1所示，所示，l l1 1ll2 2，则，则1122180180，但，但11与与22不是邻补角不是邻补角 （2 2）假命题如图）假命题如图2 2所示，所示，l l1 1与与l l2 2不平行，不平行，11和和22是同位角，是同位角，但但1212 （3 3）假命题例如（）假命题例如（3 3）2 2

15、3 32 2，但，但3333，所以是假命题，所以是假命题例例6 6、指出下列命题的条件和结论、指出下列命题的条件和结论（1 1）等角的补角相等；）等角的补角相等；（2 2）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等分析：分析： 不仅真命题是命题，假命题也是命题对于条件和结论不明确不仅真命题是命题，假命题也是命题对于条件和结论不明确的命题，先把它改写成的命题，先把它改写成“如果如果那么那么”的形式的形式解：解： （1 1）改写成）改写成“如果两个角相等，那么这两个角的补角相如果两个角相等，那么这两个角的补角相等等”条件：两个角相等结论：这两个角的补角相等条件：两个角相等结论：这两个角的补角相等 （2 2）改写成）改写成“如果两个三角形中的两边及其夹角分别相等，如果两