答案~信息论与编码练习

1、1、有一个二元对称信道，其信道矩阵如下图所示。设该信道以1500 个二元符号 / 秒的速度传输输入符号。现有一消息序列共有14000 个二元符号，并设在这消息中P(0)=P(1)=1/2 。问从信息传输的角度来考虑，10 秒钟内能否将这消息序列无失真地传送完？00.9800.020.0210.981解答 ：消息是 一个二元序列，且为等 概率分布，即 P(0)=P(1)=1/2，故信源的熵为H(X)=1(bit/symbol)。则该消息序列含有的信息量14000(bit/symbol)。下面计算该二元对称信道能传输的最大的信息传输速率：信道传递矩阵为：0.980.02P0.020.98信道容量（

2、最大信息传输率）为：C=1-H(P)=1-H(0.98) 0.8586bit/symbol得最大信息传输速率为：Rt 1500 符号 / 秒× 0.8586比特/符号1287.9比特/秒1.288 ×103 比特 / 秒此信道10 秒钟内能无失真传输得最大信息量10× Rt 1.288 × 104 比特可见，此信道 10秒内能无失真传输得最大信息量小于这消息序列所含有的信息量，故从信息传输的角度来考虑，不可能在10 秒钟内将这消息无失真的传送完。2、若已知信道输入分布为等概率分布，且有如下两个信道，其转移概率矩阵分别为：11001100000022220

3、11000110000P22P221111100200000022221001000000112222试求这两个信道的信道容量，并问这两个信道是否有噪声？解答：(1) 由信道 1 的信道矩阵可知为对称信道故 C1log 2 4H (110 0)1bit / symbol22H(X)log 2 42 bit / symbolC 1有熵损失，有噪声。(2) 为对称信道，输入为等概率分布时达到信道容量C 2 log28 H(110 0 0 0 0 0) 2 bit / symbol22H (X )C2,无噪声3 、已知随即变量X 和 Y 的联合分布如下所示：Y01X01/83/813/81/8试计算

4、： H（ X）、 H（Y）、 H（XY）、 H（X/Y ）、 H（Y/X ）、 I （ X； Y）解：(1)H( X)1 H(Y)1(2)(3) H（ X/Y ） = H（ XY） - H （Y） =1.811-1=0.811(4) H（ Y/X ） = H（ XY） - H （X） =1.811-1=0.811(5)4、 有一个可以旋转的圆盘，盘面上被均匀的分成38 份，用 1,2,3 ， ， 38 数字标示，其中有 2 份涂绿色， 18 份涂黑色，圆盘停转后，盘面上指针指向某一数字和颜色。（ 1）若仅对颜色感兴趣，计算平均不确定度；（ 2）若对颜色和数字都感兴趣，计算平均不确定度；（ 3）

5、如果颜色已知，计算条件熵。解： (1) H(色 )=(2) P(色数 )=H( 色数 )=(3) H(数/ 色)= H( 色数 )- H(色)=5、 在一个二进制信道中，信源消息集X=0,1 ，且道传输概率P（ 1/2 ） =1/4, P(0/1)=1/8。求：（1）在接收端收到y=0 后，所提供的关于传输消息(2)该情况所能提供的平均互信息量I(X;Y).P(0)=P(1),信宿的消息集X 的平均条件互信息量I(XY=0,1, ； y=0).信解： (1)P(ij)=P(i/j)=(2)方法1:=6 某一无记忆信源的符号集为0,1 ，已知 p0=1/4, p1=3/4(1) 求符号的平均熵（

6、2）由 100 个符号构成的序列，求某一特定序列（例如有的自信息量的表达式。（3）计算（ 2）中的序列的熵。m个“ 0”和（100-m）个“ 1”）解：(1) H(X)=(2)=(3)7、 一阶马氏链信源有三个符号u1,u2,u3,转移概率为：P(u1/u2)=1/2,P(u2/u2)=1/2,P(u3/u1)=0,P(u1/u2)=1/3,P(u2/u2)=0,P(u3/u2)=2/3,P(u1/u3)=1/3,P(u2/u3)=2/3,P(u3/u3)=0,画出状态图并求出各符号稳定概率。解：P(j/i)=解方程组求得 W=1/2S11/31/21/32/3S2S32/38、 设有一信源，

7、 它在开始时以p(a)=0.6,p(b)=0.3,p(c)=0.1的概率发出X1，如果 X1 为 a时则 X2 为 a,b,c的概率为1/3; 如果 X1 为 b 时则 X2 为 a,b,c的概率为1/3; 如果 X1 为 c 时则 X2 为 a,b 的概率为1/2 ，而为 c 的概率是0; 而且后面发出Xi 的概率只与Xi-1 有关。又 p(X i /Xi-1 )=p(X2/ X1),i 3。试利用马儿可夫信源的图示法画出状态转移图，并求出状态转移矩阵和信源熵HP(j/i)=解方程组得到 W1=, W2=, W3=9某 信 源 符 号 有8个 符 号 u1,u8,概 率 分 别 是1/2 ，

8、 1/4 ， 1/8.， 1/16 ，1/32,1/64,1/128,1/128，编成这样的码：000,001,010,011,100,101,110,111。求（ 1）信源的符号熵 H(U)(2) 出现一个“ 1”或一个“ 0”的概率；（ 3）这样码的编码效率；（ 4）相应的香农码和费诺玛；（ 5）该码的编码效率？解：(1)1 1 1111112 4 8 1632 64 128128H(U)=1 Log ( 2)1 Log ( 4)1Log (8)1 Log (16)1 Log (32)1 Log( 64)1 Log (128)1 Log ( 128) 1.98424816326412812

9、8(2) 每个信源使用 3 个二进制符号 , 出现 0 的次数为出现 1 的次数为P(0)=P(1)=(3)(4) 相应的香农编码信源符号符号概率累加概率-Logp(xi)码长 Ki码字xipiPix11/20110x21/40.52210x31/80.7533110x41/160.875441110x51/320.9385511110x61/640.96966111110x71/1280.984771111110x81/1280.9927711111110相应的费诺码信源符号概第一第二第三第四第五第六第七二元码符 号 率 pi次分次分次分次分次分次分次分xi组组组组组组组x11/200x21

10、/4010x31/80110x41/1601110x51/3211011110x61/64101111101x71/128101111110x81/1281111111101（ 5）香农码和费诺码相同平均码长为编码效率为：10已 知 符 号 集 x1,x2,x3, 为 无 限 离 散 集 合 ， 他 们 出 现 的 概 率 分 别 是i ,p(x1)=1/2,p(x2)=1/4,p(x3)=1/8,p(xi)=1/2（1）用香农编码方法写出各个符号的码字；（ 2）计算码字的平均信息传输率。（ 3）计算信源编码效率。 3解：（ 1） p i =累加概率为 Pi =累加概率分别为符号x1x1x2x

11、3x4x5x6x7概率1/21/41/81/161/321/641/1281/256累加00.50.750.8750.9380.9690.9840.992概率码长12345678二010110111011110111110111111011111110元码（ 2）信源的信息量为平均码长为：码字的平均信息传输率为Rbit/码（ 3）编码效率R1002 / 31/ 3，11 该二进制对称信道的概率转移矩阵为2 / 31/ 3（1）若 p(x0)=3/4,p(x1)=1/4,求 H(X),H(X/Y),H(Y/X)和 I(X;Y) 。（2）求该信道的信道容量及其达到信道容量时的输入概率分布。12、某

12、信源发送端有2 个符号， xi,i=1,2,p(xi)=a,每秒发出一个符号。接收端有3 种符号yj,j=1,2,3,转移概率矩阵如下：1/ 21/ 20p1/ 41 / 41/ 2（ 1）计算接收端的平均不确定度；（ 2）计算由于噪声产生的不确定度H(Y/X);(3) 计算信道容量解：(1)接收端的不确定度为:(2)H(Y/X)=(3)=0得到得13 发送端有3 种等概率符号（x1,x2,x3 ） ,p(xi)=1/3,接收端收到3 种符号（ y1,y2,y3） ,信道转移概率矩阵如下：（ 1）求接收端收到一个符号后得到的信息量H(Y);(2) 计算噪声熵 H(Y/X);(3) 计算当接收到

13、端收到一个符号y2 的错误率；（ 4）计算从接收端看的平均错误率；（ 5）计算从发送端看的平均错误率；（ 6）从转移矩阵中你能看出信道的好坏吗：（7）计算发送端的H(X) 和 H(X/Y) 。解：(1)条件概率，联合概率，后验概率p(y0 )1， p(y1 )1， p(y2)1326（ 2）H(Y/X)=（ 3）当接收为y2，发为 x1时正确，如果发的是x1 和 x3 为错误，各自的概率为：P(x1/y2)=113， P(x2/y2)=， P(x3/y2)=555其中错误概率为：Pe=P(x1/y2)+P(x3/y2)=1350.85（ 4）平均错误概率为（ 5）仍为 0.733（ 6）此信道不好原因是信源等概率分布，从转移信道来看正确发送的概率 x1-y1 的概率 0.5 有一半失真x2-y2的概率 0.3 有失真严重x3-y3的概率 0完全失真（ 7）H(X/Y)=1115251151356Log ( 2)Log (5)Log15LogLog (5)Log3Log (10)Log1.30110152210103010314、 设离散