第六章自和角动量

1、第六章 自旋和角动量一、填空1. 实验是发现电子具有自旋的最早的实验之一为了解释该实验，和提出了电子具有自旋角动量的说法.2. 在（?2, x）的共同表象中，算符X、y、z对应的矩阵分别是 、和.二、概念与名词解释1. 电子自旋2. 泡利矩阵3. 无耦合表象，耦合表象4. 塞曼效应，正常塞曼效应和反常塞曼效应三、计算1. 求自旋角动量算符在（cos a cosB cosY方向的投影S=SxCOSo+SyCOSp+SzCOS 丫的本征值和相应的本征矢.在其两个本 征态上，求Sz的取值概率及平均值.2. 求下列状态中算符J2,Jz（J L S）的本征值：（1） 11/2（Sz） Y11（,） 2

2、1八 3、2 1/2（Sz）丫10（ ,）-1/2 （Sz） 丫11（,） 3 1八 3-1/2（Sz）丫10（ , ）1/2（Sz）丫1-1（,） 4-1/2（Sz） 丫1-1（,）.13. 对自旋态 1/20）0 ,求（Sx）2 1（ Sy）4. 一个由两个自旋为1/2的非全同粒子组成的体系.已知粒子1处在S1z=1/2的本征态，粒子2处在S2x=1/2的本征态，取？= 1,求体系总自旋S2的可能值及相应的概率，并求体系处于单态的概率5. 考虑三个自旋为1/2的非全同粒子组成的体系.体系的哈密顿量 是H ASi S2 B(Si S2)S3, A、B为实常数，试找出体系的守恒量， 并确定体系

3、的能级和简并度(取?= 1为单位).6. 设氢原子处于状态(r)R：r)丫11( , )/2,求轨道角动量z分量-T3R2i(r)Yio( , )/2和自旋z分量的平均值，进而求出总磁矩-eL/2 c-eS/ c的z分量的平均值.7. 设总角动量算符为？，记算符J2与Jz的共同本征函数为|jm>，当j=1 时：(1)写出J2、Jx的矩阵表示，并求出其共同本征矢|1mx>x ; 若体系处于状态| ) 11)1-1)/运，求同时测J2与Jx的取值概率； 在| 0状态上，测量Jz得？时，体系处于什么状态上；在I $状态 上，计算Jy的平均值8. 在激发的氦原子中，若两个电子分别处于p态和

4、s态，求出其总轨 道角动量的可能取值.9. 用柱坐标系，取磁场方向沿z轴方向，矢势A尸B P2, A p=Az=O, 求均匀磁场中带电粒子的本征能量.10. 自旋为1/2的粒子，在均匀磁场中运动，磁场的绝对值不变，但各个分量随时间变化，满足 Bx=Bsin 9cos衣,By=Bsin 9sin®t, Bz= BcosB设t=0时自旋在磁场方向上的分量等于1/2，求在时刻t粒子跃迁到自旋在磁场方向上的分量等于-1/2的态中的概率.11. 带电粒子在均匀磁场和三维谐振子势场U(r)=me02r2/2中运动，求粒子的能谱.12. 自旋为?/2的粒子处于线谐振子位势中，t=0时粒子处于状态(

5、x,Sz，O)°(x) i/20)/3-2 i(x) “(Sz)/32 ,x) i/2(Sz)/3.求 t0 时的波函数及能量的取值概率与平均值.n(x)为该线谐振子的第n个本征态.13. 设体系由两个自旋为？/2的非全同粒子构成，若体系处于两个粒子的自旋状态分别为|许、| 2的状态中，分别求出体系处于单态与三重态的概率.其中仃cos exp(-i /2) sin exp(i /2)14. 两个自旋为？/2的非全同粒子构成一个复合体系，设两个粒子之间的相互作用为eg S2,其中c是常数.设t=o时粒子1的自旋沿 z轴正方向，粒子2的自旋沿z轴负方向，求t0时测量粒子1 的自旋仍处于z

6、轴正方向的概率.四、证明1. 设A、B是与泡利算符对易的两个矢量算符，证明(? A)(? B)A ? i?(A B)2. 如果 谕是Lz的本征态，满足本征方程Lzm= m? ，现在将z轴转一个角度0,变成z，轴，求证：Lz，=m?cosQ3. 设J J1 J?,求证：(1) j'm'J1z jmj'm J1z jm ,即的矩阵对于量子数 m是对角化的；(j'm'J |jm)j'm 口 | jm) m'm 1 ；(3)当 j'-j 1 时，:j'm'J1jm： 0.4. 对于两个自旋1/2的粒子组成的体系，证明张量算

7、符氐3( ! r)( 2 r)/r2- !2和S2及J对易.S为总自旋，J是总角动量，J S L, L是体系的轨道角动量，在质心坐标系中，L的算符 形式是 L r p i r ,r r1 r2.五、综合题1. 在cz表象中，写出算符Q (1 ?z)/2和？(?x i?y)/2的矩阵形式，Q?- Q?- 1;Q?2 Q? ;Q?-2 Q?-;Q? Q?- Q?-Q?- 0;并证明如下关系成立： Q? aa ; Q? aa ;b0 b0?2?-20;?-Q?;?-?Q?-;?-?-?z.2. 证明(?1 ?2)2 3-2(?1 ?2),并由此求出?1 ?2的本征值.3. 对于两个自旋为 1/2 的

8、粒子组成的体系，令r r1 - r2 ,er r/r (r方向上的单位矢量)，取？= 1 ,定义张量算符S123( 1 er )( 2 er ) - 12(1)证明(S12)2=4S2-2S12, S是总自旋.再进而证明S12的任意正整数次幕均可表示为S12和S2的线性组合；求S12的本征值；(3)令er机会均等地经历各种方向，求 S12的平均值.4. 氘是质子和中子的束缚态，其总角动量J= 1.现已知它主要是由S(l=0)态组成并且有很少的D(l=2)态参与进来：(1) 解释为什么 P 态不能参与？(2) 解释为什么 G 态不能参与？ 计算n-p体系(总角动量J=1)处在纯D态时的磁矩 假设

9、n和p自 旋耦合形成总自旋 S ，然后总自旋在与轨道角动量 L 耦合形成总角动量J，用核磁子表示你的结果.已知质子和中子的磁矩分别示2.79和1.91核磁子.5. 在 J J-i J2, m m1 m2 的态中(1) 若ji=1, j2=1/2, j=3/2, m=1/2，求克莱布希戈尔登系数；(2) 考虑下列反应：(a) n pi n p(b) n pi n p(c) n pi nn这些同位旋守恒的反应能在同位旋1=3/2的共振态或在1=1/2的N*共振态中产生，试分别就对应于共振和N*共振的能量计算截 面比阳、伍、怎在一个共振能处可忽略其他同位旋态产生的影响， n介子的同位旋是1=1态，核子的同位旋是1 = 1/2态.6. 一个n介子(贋标粒子、自旋为零、奇宇称)最初被束缚在氘核周围，并处在最低库仑能态上.它被氘核(一质子和一中子处在3S1 态中)俘获，并使氘核转变为一对中子n+d i n+n(1) 中子对的轨道角动量和总自旋角动量是多少？(2) 发现两个中子的自旋均与氘核的自旋相反的概率是多少？ 如果氘核的自旋在最初全部指向I?方向，发现自旋反向的中子的 发射概率(单位立体角)的角分布是多少？7. 讨论一个中性粒子，它的内禀角动量是S(S1),其中S=?/2,即它 是一个自旋为1/2的粒子.假设这粒子有一磁矩M S, y是一个常数.这个粒子的量子态可用自旋空间描述