第五章二次型一些需要理解的概念和方法

1、第五章二次型一些需要理解的概念和方法-.二次型的表示n2f(Xi,X2，,Xn)八 aHXi2、ajXiXjy宦 <j§n-' aiiXi * '(aij ' aji)XiXji 11 迖:;j <nn najXiXji 4 j 4二 xtax广1例如：设 f (Xi,X2,X3)=(Xi,X2,X3)47从上述的表达式中，可以看出，二次型中，Xi Xj的系数是a0 - aji =2ajj .23 Xi5 6 |x2 ,则该二次型关于X2X3的系数是6+7=13.8 9 X3所以可以直接写出该二次型如下f (x-i, x2, x3x1 6x!X2

2、10x1x3 5xf 14x2x3 9xf .二. 任意二次型经过非退化线性替换可以化成标准形，有两种方法达到该目的.这是因为个二次型经过非退化的线性替换后仍是一个二次型。事实上，令 X=CY，贝Uf (X)=XTAX=(CY)TA(CY)=YT(CTAC)Y= ytby, b=ctac, A 与 B 合同.1. 配方法2. 矩阵的合同变换CtAC、C一个对角形矩阵，非退化线性替换的矩阵为 于是一个秩为r对称矩阵可以写出合同因为ctac二,对A作合同变换,C,r个秩为E只与A作同样的列变换。此时，CTAC是即经过X=CY，原二次型化为标准形。1的对称矩阵之和：dr0二d1 E11* drE“，

3、其中dj =0，所以1 T_1_1 TA "i(C ) E11CdJC ) ErrC上式右端的每一项中，因为C 4和(C')T均可逆，而R(Eii)=1，可逆矩阵乘以一个矩阵不会 改变这个矩阵的秩，所以R(C *)T EiiC '二R(Ejj) = 1.三. 规范形花 0 )1. 复数域上：任一个对称矩阵 A合同于，任一个二次型可经过非退化线性替换3o丿X=CY 化为 f(X)二 f (CY)二 y； |( y；, R(A =r.(E匚p2. 实数域上：任一个对称矩阵 A合同于-Eq,任一个二次型可经过非退化线性、 0丿替换 X=C丫化为f(X)二f(CY)二y；川y

4、2-y2 i-ll卜 y；,( A)=r.其中，p正惯性指数，r-p-负惯性指数2p-r-符号差3. 二次型的取值：对于一个实二次型，若存在Xi, X；使得X1tAX1 0, xJax20,则该二次型既不是半正定也不是半负定，即它的正负惯性指数都非零，所以存在非退化线性替换X = CY使得2 2 2 2f(X)= f(CY)曲1yp ypi_ yr,且 0<p<r.取Yo =(ci,Cp,Cp i，.,Cn)，其中 Ci =Cp i =1,Cj =0, j =2,.,n, j = p 1.令 Xo =CYo,则 f(X°) = f(CY°) = ci -cpi

5、=0.四. 正定二次型的几个等价条件实二次型f(Xi，x；，Xn)=XAX正定= A与单位矩阵合同，即存在可逆矩阵P ,使得A二P P; A的顺序主子式都大于零. f(X1，X2，x)的正惯性指数等于n . 对于任意的 0 严二J = (心,©) Rn, f(C|,c2,.,cn)TA-：v 0 .推论：设A是可逆的实对称矩阵，则是正定矩阵.证法1.因为ATA ATEA,所以矩阵ATA与E合同，所以ATA正定.证法 2.令 B=ATA, f(X)=XTBX=X ATA X=(AX)TAX,对任意的 X°=(C1,C2,Cn) 0,因为 A 可逆,所以A X。0,于是X0 A

6、TA X0>0.所以ATA正定.五. 负定矩阵A负定的充要条件是 A正定，于是有第五章二次型小结一.二次型与矩阵1. 基本概念二次型;二次型的矩阵和秩；非退化线性替换；矩阵的合同.2. 基本结论(1)非退化线性替换把二次型变为二次型(2)二次型f(XX2，Xn)二XAX可经非退化的线性替换X二CY化为二次型f (yi, y2, , yn) =丫 by = b 二 c AC.矩阵的合同关系满足反身性、对称性和传递性 二.标准形1. 基本概念二次型的标准形；配方法.2. 基本定理(1)数域P上任意一个二次型 f (Xi, X2，Xn)都可经过非退化的线性替换2 2 2X =CY化为标准形式d

7、iyi d22 dnyn . 在数域P上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵3.矩阵的合同变换合同ctac x>< C对A作合同变换,E只与A作同样的列变换。此时，CTAC是一个对角形矩阵，非退化线性替换的矩阵为C，即经过X=CY，原二次型化为标准形。.唯一性1. 基本概念复二次型的规范形；实二次型的规范形，正惯性指数、负惯性指数、符号差2. 基本定理(1)任一复二次型f(Xi,X2/ ,Xn)都可经过非退化的线性替换X二CZ化为唯因而有:两个复对称矩阵合同二 它们的秩相等(2)惯性定律：任一实二次型f(Xi,X2，Xn)都可经过非退化线性替换X二CY化为唯一的规范形式z；亠.亠 zp - zp 1 -_ z：, r 二 f 的秩,p为f(X；,X2,，Xn)的正惯性指数因而两个n元实二次型可经过非退化线性替换 互化=它们分别有相同的秩和惯性指数(4)实二次型的标准形式中系数为正的平方项的个数是唯一确定的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数四、正定二次型1. 基本概念正定二次型，正定矩阵；顺序主子式，负定二次型，半正定二次型，半负定 二次型，不定二次型.2.