第67讲定点、定值和探索性问题

1、第67讲 定点、定值和探索性问题【课程要求】掌握与圆锥曲线有关的定点问题、定值问题的求解方法；会运用代数、三角、几何等方法解决与圆锥曲线有关的探究问题，培养逻辑思维能力、运算能力.基出知识茅蔓-»»»>回扣教材教材知识莹合对应学生用书P200【基础检测】概念辨析1 判断下列结论是否正确(请在括号中打“V”或“X”)设点A(xi, yi), B(X2, y2)在抛物线y2= 2px(p>0)上，且直线 AB过抛物线的焦点， p2则 yiy2=- p2, X1X2= 4.()曲线C：入x-X 入y 1 = 0(疋R)恒过定点P(1, 1)()已知点M在双曲

2、线c： X2y2= K入为正常数)上，过点M作双曲线C的某一条渐近 线的垂线，垂足为 N，则|ON|MN|(点O为坐标原点)为定值.()解析设M(m, n),即有m2 n2=人取双曲线的渐近线为 y= x,|m n|可得|MN|=2 ,由勾股定理可得|0N|=- '|OM |2 |MN|2=(m n) 2 |m+ n|m2+ n22= .3，|m+ n| |m n| |m2 用|可得 |ON|MN|=2 =答案(1) V V V易错提醒2已知抛物线y2= 4x的焦点为F,过点P(2, 0)的直线交抛物线于A , B两点，直线k1AF , BF分别与抛物线交于点 C, D,设直线AB ,

3、 CD的斜率分别为k1, k2,则社解析设直线AB的方程为y= k1(X 2),y = k1 (x 2),联立得 k1y2 4y 8k1= 0,y2= 4x,1y =亠(x -1),设 A(X1, y1), B(X2, y2),直线 AC 的方程为 y=(x 1),联立X1 1X1 12y2 = 4x,y 2y1小得y2 y = 0,4 (X1 1)X1 1贝U y1yc= 4，故 yc =4y1 ,同理yD=y2，故k2= yD二竺XD XC4=4yD + yc 4 (y1 + y2),k12k1,故社12. 1答案23.在平面直角坐标系 xOy中，直线I与抛物线y2= 4x相交于不同的A

4、, OA OB = - 4，则直线I必过定点 .解析设I: x = ty + b,代入抛物线 / = 4x,消去 x 得 y2 4ty 4b= 0,设 A(xi, yi), B(X2, y2),贝U yi + y2 = 4t, yiy2= 4b,二 OA OB = xix2+ yiy2= (tyi+ b)(ty 2 + b) + yiy222=t yiy2+ bt(y i + y2)+ b + yiy2=4bt2 + 4bt2 + b2 4b= b2 4b.令 b2 4b= 4, b2 4b+ 4= 0, / b = 2,直线I过定点(2, 0).答案(2 , 0)【知识要点】i .求定值问题

5、常见的方法有两种(1) 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2) 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.2.定点的探索与证明问题(1) 探索直线过定点时，可设出直线方程为 y= kx + b,然后利用条件建立系进行消元，借助于直线系的思想找出定点.B两点.如果b、k的等量关(2) 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.->»»»考点1对应学生用书P200 圆锥曲线中的定点问题1:例1已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴上，抛物线上第一象限内的点A到F的距离为2,且A的横坐标为1.过A点作抛物线C的两条动弦AD ,

6、AE，且AD , AE的斜率满足 kAD kAE = 2.(1) 求抛物线C的方程；(2) 直线DE是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标；若不过某定点，请说明理由.解析设抛物线方程为 C: y2= 2px(p>0),由其定义知|AF| = 1 + 2，又|AF| = 2,所以 p= 2, y2 = 4x.易知 A(1 , 2)，设 D(x1, y1), E(X2, y2),DE 方程为 x = my + n(m 丰 0),把DE方程代入C,并整理得y2- 4my- 4n= 0 ,= 16(m2+ n) > 0 , y1 + y2= 4m , y1y2=- 4n ,y12y22_

7、f22由 kAD kAE = 2 及 y2 = 4x1 , y2= 4x2 得x1 1 x2 1yiy2+ 2(yi + y2)= 4，所以 n = 2m- 1,代入 DE 方程得：x= my + 2m- 1,即(y + 2)m = x + 1, 故直线DE过定点(1,- 2).小结圆锥曲线中定点问题的两种解法1引进参数法：(1)把直线或曲线方程中的变量x, y当作常数看待，把参数当作未知数，将方程一端化为 0,即化为kf(x , y) + g(x, y) = 0的形式(这里把参数k当作未知数).(2)由于对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于0,这样就得到一个关于x,f (x, y)=

8、 0,y的方程组，即f (x, y) = 0,的g (x, y)= 0g (x, y)= 0.这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，即满足 点(X0, yo)为直线或曲线所过的定点.2. 特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.-训练巩固2 21. (2019北京文)已知椭圆C :卡+卷=1的右焦点为(1, 0),且经过点A(0, 1).(1)求椭圆C的方程；设O为原点，直线I: y= kx + t(t工±1)与椭圆C交于两个不同点 P , Q ,直线AP与x 轴交于点 M,直线AQ与x轴交于点N ,若|OM|ON| = 2,求证：直线l

9、经过定点.解析(1)由题意得，b2= 1, c= 1.所以 a2= b2 + c2= 2.所以椭圆c的方程为x2+y2= 1.设 P(x2t2 2 , y1) , Q(x2, y2),yi 1则直线AP的方程为y = x+ 1.xixi 令y = o,得点M的横坐标xm =-.yi 1,一xi又 yi = kxi +1，从而 |OM| = |xm|= |.kxi +1 iX2 同理，|ON|=|-|.kx2+ t iy= kx +1,由 x-得(i + 2k-)x-+ 4ktx + -t* k2 + k (t i)i + 2k2又|OM| |ON| = 2,i + t 所以2|= 2，解得t=

10、 0,i t所以直线l为y= kx,所以直线l恒过定点(0, 0).考点2圆锥曲线中的定值问题I例2 P是直线x= 4上一动点，以 P为圆心的圆 r过定点B(i , 0)，直线I是圆r在点B处的切线，过 a( i, 0)作圆r的两条切线分别与I交于e , F两点.(1) 求证：|EA| + |EB|为定值；(2) 设直线I交直线x = 4于点Q,证明:|EB| |FQ|=|FB| |EQ|.解析设AE切圆r于点M,直线x = 4与x轴的交点为 N，故|EM| = |EB|.从而 |EA| + |EB|= |AM| = " |AP|2 |PM|2 = |AP|2 |PBf = 一 &#

11、39;|AN|2 |BN|2= 25 9= 4.所以|EA| + |EB|为定值4.(2)由(1)同理可知 |FA|+ |FB|= 4,故E, F均在椭圆X + ； = 1 上.设直线EF的方程为 x= my + i(m丰0). 3令x=4,得y= m，即q点纵坐标yQ= m. -= 0.-+ y-= i“4kt2t- 2贝U Xi+ X2=, XiX2=；.i + 2k2i+ 2k2XiX2所以 |OM|ON|=|-| |kxi +1 i kx2+ t iXiX2k2xix2+ k (t i)(xi + x2)+ ( t i) 22t2 24kti + 2k2i + 2k2x = my +

12、1, 由设 E(xi, yi),1, y1), F(x2 , y2),消去 x，得(3m2+ 4)y2+ 6my - 9= 0.iy 23m2 + 43m2+ 4因为E, B, F, Q在同一条直线上，所以 |EB| |FQ|= |FB| |EQ|等价于(yB- yi)(yo- y2)= (y2 yB)(yo yi),33即y1 m+ yiy2= y2 myg3等价于 2yiy2= (yi+ 丫2)若将yi + y2=字 ,yiy2= 一9 代入，知上式成立.所以 |EB| |FQ|= |FB| |EQ|.小结在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就是“定值”问题，解决这类问题常通过取特殊值，

13、先确定“定值”是多少，再进行证明，或者将问题转化为代数式，再证明该式是与变量无关的常数或者由该等式与变量无关，令其系数等于零即可得到定值.ii2在平面直角坐标系 xOy中，点F2，0，直线I : x = 点P在直线I上移动，R 是线段PF与y轴的交点，RQ丄FP, PQ丄I.(i)求动点Q的轨迹C的方程；设圆M过A(i , 0)，且圆心M在曲线C 上, TS是圆M在y轴上截得的弦，当 M运 动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由.解析依题意知，点 R是线段FP的中点，且RQ丄FP, RQ是线段FP的垂直平分线.点Q在线段FP的垂直平分线上， |PQ|= |QF|,又|PQ是点Q到直线l的距离

14、，故动点Q的轨迹是以F为焦点，I为准线的抛物线，其方程为y2= 2x(x>0).弦长|TS|为定值.理由如下：取曲线 C上点 M(xo, yo), M至U y轴的距离为 d= |xo| = xo,圆的半径 r = |MA| =- |TS|= 2：y0 y2 + 1 = 2，是定值.圆锥曲线中的探索性问题:i例3如图，曲线C由上半椭圆Ci：y= x2+ 1(y w0)连接而成，Ci与C2的公共点为(1)求a, b的值；过点B的直线I与C1, C2分别交于点P, 以PQ为直径的圆恰好过点A，若存在，求出直线y2 +卞=1(a>b>0 , y0)和部分抛物线 C2： A, B,其中

15、C1的离心率为/Q(均异于点A，B)，是否存在直线I，使得 I的方程；若不存在，请说明理由.解析在C1, C2的方程中，令y = 0，可得b= 1,且 A( 1, 0), B(1 ,设Ci的半焦距为c,0)是上半椭圆C1的左、右顶点.由 a=F 及a2c2=b2=1 可得 a=2, a= 2, b = 1.y2C1 的方程为；+ x2 = 1(y > 0).由题易知，直线I与x轴不重合也不垂直，设其方程为y= k(x 1)(kz 0).代入 C1 的方程，整理得(k2 + 4)x2 2k2x+ k2 4 = 0.(*)设点P的坐标为(xp, yp),/直线I过点B, x = 1是方程(*

16、)的一个根.k2 4 8k由根与系数的关系得xp=，从而yp =k2+ 4k2 + 4由知，上半椭圆k2 4点P的坐标为 ,k2+ 48k(k 工 0),y= k (x 1)同理，由 y= x2 + 1 (yw 0),得点Q的坐标为(一k 1, k2 2k).二 AP = 22k (k , 4), AQ = k(1 , k + 2). k + 4依题意可知 AP丄AQ , AP AQ = 0,2k2即k 4(k+ 2) = 0,k2 + 48 kz 0, k 4(k + 2) = 0,解得 k = -3.3经检验，k = £符合题意.小结解决探索性问题时，一般先假设存在，推证满足条件

17、的结论，若结论正确则存在, 若结论不正确则不存在.注意：(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论;£/I(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.训练巩固点A(b , 0)，点B, F分别为椭圆的x2 v213. 已知椭圆C:孑+存=1(a>b>0)的离心率e= °, 上顶点和左焦点，且|BF| |BA| = 2 6.(1) 求椭圆C的方程；(2) 若过定点 M(0, 2)的直线I与椭圆C交于G , H 斜率k>0，在x轴上是否存在点 P(m, 0),使得以PG, 果存在，求出m的取值范围？如果不存在，请说明理由.1解析设椭圆焦距为2c,

18、依题意，e=得a= 2c,+ b2= 2 6，即 ab = 2 , 3,两点(G在M , H之间)，设直线I的 PH为邻边的平行四边形为菱形？如由 |BF| |BA| = 2 .6得 a- b2又 a2 b2= c2,由可得a2= 4, b2= 3,椭圆C的方程为x + y = 1.43设直线I的方程为y = kx + 2(k>0),y= kx + 2,由xf,亡43由 >0解得k>1.消去 y 得(3 + 4k2)x2+ 16kx + 4= 0, 116k设G(x1,y1),H(x2,y2),则 x1+x2=齐,PG+ PH =(X1 + X2 2m , k(x1 + X2

19、)+ 4),GH =(X2 X1, y2 y1) = (x2 x1, k(x2 x"),由于菱形对角线垂直，则(PG+PH)GH = 0,- (1 + k2)(x1 + X2) + 4k 2m = 0,2k2解得 m =;-，即 m =;,4疋+ 34k + 3k己,-子 m<0(当且仅当3= 4k时等号成立).26k所以存在满足条件的实数 m, m的取值范围是m<0.6»>»»走逬高考对应学生用书P2021. (2019北京理)已知抛物线C: x2= 2py经过点(2, 1).(1)求抛物线C的方程及其准线方程；设O为原点，过抛物线

20、C的焦点作斜率不为 0的直线I交抛物线C于两点M, N , 直线y= 1分别交直线 OM , ON于点A和点B，求证：以 AB为直径的圆经过 y轴上的 两定点.解析(1)由抛物线C : x2= 2py经过点(2, 1)，得p= 2.所以抛物线C的方程为x2= 4y,其准线方程为y = 1.(2)抛物线C的焦点为(0, - 1),设直线I的方程为y= kx 1(k丰0). x2=- 4y,由得 x2 + 4kx 4= 0.y= kx 1,设 M(x i, yi), N(X2, y2)，则 X1X2= 4.yixi直线OM的方程为y = ”，令y= 1,得点A的横坐标为xa =亦. 同理可得点B的横坐标Xb = x2.y2f fX1X2X1X216设点 D(0 , n)，则 DA DB =+ (n + 1)2=2 厂 + (n+ 1)2=+ (n + 1)2= 4y1y2x2x2X1X27 4+ (n + 1)2.令dA DB = 0,即一4+ (n + 1)2 = 0,得 n = 1 或 n = 3.综上，以AB为直径的圆经过 y轴上的定点(0, 1)和(0， 3).2. (2018北京理)已知抛物线 C: y2= 2px经过点P(