函数恒成立、能成立问题与课后练习(含答案)

1、) ) 恒成立、能成立问题专题 一、基础理论回顾 1、 恒成立问题的转化：anf(x恒成立二aAf(xhx； a兰f (x恒成立二a兰f(xmin 2、 能成立问题的转化：a f x能成立=a f x min ； a乞f x能成立= a f (x在 M上恒成立 M 二 一 a f x在 CRM上恒成立 另一转化方法：若D,f(x)A在 D 上恰成立，等价于f(x)在 D 上的最小值 fmin(X)= A，若 D,f(x)B在 D 上恰成立，则等价于f(x)在 D 上的最大值fmax(X)二B. 4、设函数f x、g x ，对任意的X! a , b丨，存在x C, d 1，使得f Xi _ g

2、X2 ，则 fminX - gminX 5、设函数fx、g x，对任意的x a , b】，存在x2 C, d】，使得f捲空g x2 ，则 6、 设函数 f x、g x，存在 x a , b 1，存在 X2 C,d 1，使得 f Xi - g X2 ，则fmx x _gm x 7、 设函数 f x、g x，存在 Xi , b 1，存在 X2 C, d 1，使得 f 捲 一 g x?，则G x _gmx x 8、若不等式 f x g x 在区间 D 上恒成立，等价于在区间 D 上函数 y = f x 和图象在函数 y =g x 图象上方; 9、若不等式 f x g x 在区间 D 上恒成立，等价于

3、在区间 D 上函数 y = f x 和图象在函数 y 二 g x 图象下方; axX -gmaxX ) ) 题型一、简单型 例 1、已知函数 f (x) =x2 -2ax - 1 , g(x) ，其中 a 0 , x = 0 . x 1)对任意1,2，都有f(x) g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围；(构造新函数) 2)对任意X1 1,2x 2,4，都有f(xd .g(X2)恒成立，求实数 a 的取值范围；(转化) 3 3 简解：(1)由axg a :才成立，只需满足的最小值大于a即 9 9 m i(/)：(1)=，所以 a 的取值范围是0 :： a :：. 3 3 a 1 1 例 2、设

4、函数h(x) x b，对任意a ,2，都有h(x)乞10在 ,1恒成立，求实数b的 x 2 4 范围. 分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数.以本题为例，实质 还是通过函数求最值解决. 方法 1：化归最值，h(X)0= hmax(X)乞10 ； 方法 2 :变量分离，b乞10 -(色-x)或a 一 -x2 (10 -b)x ； x 1 1 方法 3 :变更主元(新函数)，：(a) a，xb-10M，a ,2 x 2 简解：方法 1:对 a 求导，h(x)=1斗(X- a)(x a)，(单调函数) h(x) x b x x X 1 1 由此可知，h(x)在-,1上的最

5、大值为h(-)与h(1)中的较大者. 4 4 1 1 39 h(-) _10 4a b_10 b 4a 亠 1 J (4) 二 4 二 4 ，对于任意af,2，得b的取值范围是 h(1) -2 ) ) 例 4、已知函数y = f(x)二 ,若不等式f(x)-2x-m恒成立，则实数 m 的取值范 6-3x,x -2) ) 围是 _ . 解：在同一个平面直角坐标系中分别作出函数 y =2 xm及 y = f (x)的图象，由于不等式f (x) _ 2x -m恒成 立，所以函数y =2x -m的图象应总在函数y = f (x)的图象下 方，因此，当x =-2时，y=Y-mO,所以m】：-4,故 m

6、的取值范围是丨-4,匸：. 题型五、其它(最值)处理方法 若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f x A 成立,则等价于在区间 D 上 f x max A ； 若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f x : B 成立,则等价于在区间 D 上的 f x 斷：B. 利用不等式性质 1、存在实数 X，使得不等式|x+3 +|x-1 Wa3 -3a 有解，则实数a的取值范围为 _ 。 解：设 f x =x 3 Jx -1，由 f x 一3a 有解，=-3a 一 f x 口皿, 又 x 3 lx T |：；x 3 f -1 4，二 a2 _3a _4，解得 a _4或a 。 2、若关于 x 的不

7、等式 x-2 + x+3a 恒成立，试求 a 的范围 解：由题意知只须 a 比 x-2 +|x+3 的最小值相同或比其最小值小即可，得 a 兰(x-2 +x+3)min 由 x2 + x+3 訂 x2(x+3) =5 所以 a 兰 5 利用分类讨论 1、已知函数 f(x) =x2 -2ax 4 在区间-1，2上都不小于 2，求 a 的值。 解：由函数 f (x) = x2 -2ax 4 的对称轴为 x=a 所以必须考察 a 与-1，2 的大小，显然要进行三种分类讨论 1) .当 a 二 2 时 f(x)在-1，2上是减函数此时 f(x)min = f(2)=4-4a+4 2 3 即 a 结合

8、a 2，所以 a 2 2 3 .当 a 兰 T 时 f(x)在-1，2上是增函数，此时 f(-1)=1+2a+4 兰 2 ) ) 3 f(x)min = f(-1)=1+2a+4 2结合 a 乞 一 1 即 a _ 3) .当-1a2 时 f (x)min= f(a)= x2-2a2 4 乞 2 即 a _2 或 a _ - .、2 所以,2 _ a ： 2 综上 1, 2 , 3 满足条件的 a 的范围为：a 3或 a _ 2 2 利用导数迂回处理 1 1、 已知 f(x) =lg(x 1) g(x)=lg(2x t)若当 x 0,1时 f(x)g(x)在0 , 1恒成立，求实数 2 t 的

9、取值范围 解：f(x) Eg(x)在0，1上恒成立，即.x 1-2x-t E0在0，1上恒成立 即、x 1-2x-2 0在0，1上的最大值小于或等于 0 令 F(x) = . x 1 -2x-t 所以 F (x) = , 1 2= 14 % 1，又 x 0,1所以 F (x) v0 即 F (x)在0， 1上单调递减 2Jx+1 2jx+1 所以 F(x)max = F(0)，即 F (x)乞 F (0) = 1 -t 乞 0 得 t -1 1 2、 已知函数 f x = l nx ax2-2xa=0 存在单调递减区间，求 a 的取值范围 2 解：因为函数 fx 存在单调递减区间，所以fx-a

10、x-2 = - 心：0 x x 1 2 1 2 0,；有解.即 a- 0能成立,设 ux 厂. x x x x 由 u x = r - = -1 -1 得，umin x = _1.于是，a %-1, x2 x Vx 丿 由题设a =0,所以 a 的取值范围是-1,0 0,: a 3、 已知函数 f(x) =x(ln x m), g(x) x3 x. 3 (I) 当m = -2时，求f(x)的单调区间； 3 (U)若m二一时，不等式g(x) 一 f (x)恒成立，求实数 a 的取值范围. 2) ) 解：(I)略 3 3 (n )当 m 二一时，不等式 g(x) _ f (x)即一X3 - x _

11、 x(ln x -)恒成立由于 x . 0， 2 3 2 h(X)二兰竺，由 h(x) 得x =1 且当 0 ： x ：1 时,h(x) 0 ;当 x 1 时，h (x) ： 0，即 h(x)在 x 一 3 (01)上单调递增，在(1，：)上单调递减，所以h(x)在-4处取得极大值灯亍，也就是函数 注：恒成立问题多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的一个热门题型， 往 往与函数的单调性、极值、最值等有关。 小结：恒成立与有解的区别： 不等式f x: M对X I时恒成立二fmax(X)：M?， X I。即fX的上界小于或等于M ； 不等式f X.M对x. I时有解=fmin(x)：M?

12、，X. I。或f X的下界小于或等于M ; 不等式f XM对X. I时恒成立=fmin(X) .M?，X. I。即f X的下界大于或等于M ; 不等式f xM对X. I时有解=fmax(X) .M，X. I.。 或f X的上界大于或等于M ; 、恒成立、能成立问题专题练习 _ _ 2 . 3 2 1、已知两函数 f x=7x _28x_c, g x =2x 4x 一40 x。 （1 ）对任意x，33 ,都有f x创x ）成立，求实数c的取值范围; （2 ）存在 x：=3,3 ，使f x切x成立，求实数c的取值范围； （3） 对任意人必，；,3 ,都有f x, g X2，求实数c的取值范围； 4

13、 1 a 3 a i 3 ( 1 n ) X2 1 _ ln x ， 亦即 一 x2 _ ln x ， 所以 a .令 h(x)二 3 2 3 2 3(ln x -) x2 x2 h(x)在定义域上的最大值.因此要使a - 3(1 n x 1) x2 -恒成立，需要一-2，所以一的取值范围为 ) ) （4） 存在人必；,3 ，都有f x, g x2，求实数c的取值范围； 2、 设a -1，若对于任意的a,2a，都有a,a1 5满足方程logax loga y = 3，这时 a 的取 值集合为（） （A） a|1 ： 0，证明：f(x) x + 2 ； (3)若不等式*x2辽f x2 m2 _2

14、bm _3时，1-1,11及b !-1,1都恒成立，求实数 m 的取值 范围. 6、 设函数 f （x） x3 2ax2 3a2x b （0 ： a ： 1, b R）. ) ) 8、设fx二px-2lnx，且fe =qe-P-2 (e 为自然对数的底数) x e (I)求 p 与 q 的关系； (II) 若fx在其定义域内为单调函数，求 p 的取值范围； (III) 设g x M兰，若在1,e 1上至少存在一点X。，使得f X。.gx成立，求实数 p 的取值范围. x) ) 课后作业答案： 1、 解析:(1 )设h(x )=g(x )_f (x )=2x3_3x2_12x七,问题转化为x%,

15、3 时,h(x徉0恒成立，故戶0。 令 h x =6x2 -6x -12 =6 x 1 x _2 =0 ，得Xu1或2。由导数知识，可知h(x )在单调递增，在-1,2 单调递减，在2,3 单调递增，且h -3 =c -45， h x极大值=h . 1 =c 7， h x极小值=h 2 =c 20， h 3 =c -9 , /. hmin x j=h 盘 j=c -45，由 c -45 _0，得 c _45。 (2 )据题意：存在X. ；,3 ，使f x g x成立，即为：h x =g x -f x 0在X. Z，3 有解，故 hmax X _0，由(1 )知 hmax X =c 7 _0，于

16、是得 C T。 (3 )它与(1 )问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意 X1* 17,3，都有 f X1 g X2成立，不等式的左右两端函数的自变量不同， X1， X2的取值在1-3,3 1上具有任意性， 要使不等式恒成立的充要条件是： fmax(X)兰 gmi(x?xE 4?, 3。，f ( X )=7( X 2 j C 28, x B d, 3 ， f X max =f $ =147 Y， / g X =6x2 8x 0 =2 3x 10 x -2， g x =0在区间 1,31 上只有一个解 x =2。 .g x min =g 2 - 48， 147 c _ 以8，即

17、c -195 . (4 )存在X1,X2 k，3】，都有f X1刘冷，等价于fm i nX冷 g m aX，由得 fmin X1 =f 2 二-c-28， gmax 他二 g 一 3 =102， -28102= c】130 点评：本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考， 多加训练，准确使用其成立的充要条件。 3 2 3 2、 B。解析：由方程logax loga3可得 y 二，对于任意的xa,2a，可得_ sin2x _4sinx+1* sinx 2 3 ( 1兰sin(兰1 有解，而 卜和 X2 $ 31饰=_2 , 所以 a . -2。 5、 解：画出两

18、个凼数 y =ax和y = x 4-x在 x：=0,31 上的图象如图知当 x=3 时 y3 , a=丄3 3 当 a_$，x 0,3 时总有axx4匚x所以a_仝 3 3 6、 解：(I) f (x) - -x2 4ax -3a2 (1 分) 令f (x)0,得f (x)的单调递增区间为(a,3a ) 令f (x) 0,得f (x)的单调递减区间为(一：，&)和(3a , ) (4 分) 当 x=a 时，f (x)极小值=-a3 b; 4 当 x=3a 时，f (x)极小值=b. (6 分) (U)由 | f (x) | a，得一 a x2+4ax 3a2 a. ( 7 分) T 0

19、a2a. f (x) =-x2 4ax-3a2在a 1, a 2上是减函数. (9 分) - f (x)max 二 f (a 1) =2a-1.f (x)min = f(a 2)=4a-4. 于是，对任意a 1,a 2，不等式恒成立，等价于 4 又 0 ： a ： ： 1, a 0，二 g/(x) 0，二 g(x)在(0,+)上是增函数 . 6 分 故 g(x) g(0) = 0 2x 即 f(x) x + 2 1 (3 )原不等式等价于 2x2 f(x2) 0 J-Q(1) = m2 2m 3 0 令 Q(b) = m2 2bm 3，贝 U Q( “ = m2 + 2m 3 0 得 m 3 或 m 0 或 h(x) 1 时，h(x) 0， f( x)0， 4 p P f (x)在(0,+ ：)内为单调递增，故 p 1 适合题意. 综上可得，p 1 或 p 0 . 9 分 ) ) hx=px-2x，p，其图象为开口向上