向量内积的坐标运算与距离公式

1、11江 苏 省 技 工 院 校 教 案 首 页课题： 向量内积的坐标运算与距离公式 教学目的、要求： 掌握理解向量内积的坐标运算及距离公式 教学重点、难点： 向量内积的坐标运算及距离公式的应用 授课方法： 讲授 教学参考及教具（含电教设备） 数学基础模块下册及练习册 布置作业： 课本 p57 3,4,5 练习册 p25页 7.4.2 授课执行情况及分析：板书设计或授课提纲1 向量内积的坐标表示 2 向量的长度（模）的坐标表示 （距离公式）3 两向量夹角的坐标表示4 两向量垂直及平行的坐标表示 一、复习回顾想一想：向量内积的定义是什么？a. b的几何意义是什么？两个向量内积的重要性质 向量内积的

2、运算律有哪些？（找同学回答一起回顾）：向量内积：两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b, 即 a·ba|b|cos<a,b> 注意点：（填空题）（1）向量的内积是一个标量，而不是向量，所以它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.它可以使正数,负数,0. 其正负号是由夹角决定；a.b的几何意义：a·b的几何意义就是向量a的模与向量b在向量a上的投影的乘积板书展示或ppt动画展示：向量内积的重要性质1) 如果e 是单位向量，则a.e=e.a=|a|cos<a,e> (几何意义: a 向量在e 方向上的投

3、影)2) cos<a,b>.3) 对非零向量a，b，有a·b0ab. (利用几何意义来理解: ab,则a 在b上的投影为0,从而a·b0)4) 当a/b,方向相同(即当<a,b>0)，a·b|a|b|；(a/b,方向相反时,(即当<a,b>)，a·b|a|b|.（这个不讲，不放到ppt 中）5) a·a|a|a|a|2，即|a|.6) |a.b.|<=|a|b|向量内积的运算律：（1） a·bb·a（2） ()·b(a·b)a·(b)（3） (ab)&#

4、183;ca·cb·c注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即a·(b·c)（a·b）·c.二、导入新课设平面向量a(a1,a2),b(b1,b2),怎样用a,b 的坐标来表示a·b请同学先看下列问题:e1,e2分别为x轴，y轴上的单位向量，则 e1e2，且 | e1|e2|1，请计算下列式子: e1.e2=_0_; e2.e1=_0_ e1.e1=_1_; e2.e2=_ 1_ _ (这里的0能打成粗体字吗?)三、讲授新课一 、向量内积坐标运算公式推倒导:设平面向量a(a1,a2),b(b1,b2),假设e1,e2分别为x

5、轴，y轴上的单位向量,则有:a·b(a1e1a2e2)· (b1e1b2e2) (利用向量内积运算的分配律，自己在下面算，找个人上来写答案） a1e1b1e1 a1e1 b2e2a2e2b1e1 a2e2b2e2 a1 b1 e1e1 a1 b2e1 e2 a2 b1 e2 e1 a2 b2 e2 e2因为 e1.e2 e2.e1 0 a1 b1 e1e1 + a2 b2 e2 e2 因为 e1.e1 e2.e2 1 a1 b1 a2 b2这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即 a·b a1 b1 a2 b2从而得到定理:在直角坐标平面xoy 内,如

6、果向量a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 a.b=a1.b1+a2.b2 注意区分: a.b= a1.b1+a2.b2 (对应坐标乘积的和) a/b<=> a1.b2-a2.b1=0(坐标交错相乘后的差为0) 二 、向量长度（模）的坐标公式 ：a (a1 , a2)若向量 a（a1,a1）那么向量a 的长度（模）可以用坐标来表示吗 ？（4人一组分组讨论 ）向量内积的一个重要性质：a·a|a|a|a|2，即|a|. （提示 ）从而向量的长度（模）的坐标表示结论1：向量的模，也就是向量的长度等于该向量的坐标的平方和开根号 若有向线段AB起点和终点的坐标为A（x1,y1

7、） B(x2,y2)，那么AB两点的距离如何用坐标表示？ （4人一组分组讨论 ）若有向线段AB起点和终点的坐标为A（x1,y1） B(x2,y2)那么该有向线段表示的向量AB的向量的坐标为该向量的终点坐标减去起点坐标 （提示 ）= (x2,y2) -（x1,y1）= （x2-x1,y2-y1）利用上面的结论1：（向量AB的长度就是A,B两点的距离，所以上式也就是求两点距离的公式）从而得到结论2：两点间的距离等于两点相应的坐标差的平方和的算术平方根 三 、 两向量夹角的坐标公式如果向量 a=(a1,a2) b=(b1,b2)那么如何用坐标来表示这两向量的夹角 ？ （提示）例题及当堂练习：例1：

8、已知a(1,2),b(3,1).求a·b, |a|,|b|,cos <a,b>解 a·b(1,2) ·(3,1) (1)( 3)2×15；|a|；|b|；cos<a,b>， 当堂练习：已知a(5, 4)，b(2,3)，.求a·b, |a|,|b|, cos<a,b>（请同学在下面独立完成） a·b(5,-4) ·(2,3) 5×2(-4)×3-2； 例2：已知A(1，2)，B(3，4)，C(5，0)，求证：ABC 是等腰三角形证明 因为点B 坐标-点A 坐标=（3 ,

9、4）-（1 , 2）=(2 , 2)点C 坐标-点A 坐标=（5 , 0）-（1 , 2）=(4 , -2) 点C 坐标-点B 坐标=（5 , 0）-（3 , 4）=(2 , -4)| 所以|因此ABC是等腰三角形当堂练习：课本57页 第4题 A(-10,3), B(-2,3) ,C(0,-1)(-2,3) - (-10,3)=(-2+10，33)(8，0)(0,-1) - (-10,3)=(10，-1-3)(10，-4)(0,-1) - (-2,3)=(2,-4)四、两向量垂直及平行的坐标表示这两向量垂直条件的坐标如何表示 ？（分组讨论） 例题及当堂练习：例3判断下列各组向量是否互相垂直：

10、(1) a(2, 3)，b(3, 2)；(2) (2) a(2,0)，b(0, 3)； (3) (3) a(2,1)，b(3,4)当ab时即是，因此，a·b因此对非零向量a，b，有a·b0ab. (利用几何意义来理解: ab,则a 在b上的投影为0,从而a·b0)解：(1) 因为 ：a.b=(2, 3).(3, 2)=-6+6=0 所以ab （第一道题目讲解一下，后面的题目找两个学生上来做） (2) 因为 ：a.b=(2, 0).(0, 3)=0 所以ab (3) 因为 ：a.b=(2, 1).(3, 4)=-6+4=-2 所以a,b 不垂直 练习册：p27 已知

11、 a( -1,2);b=(3,y) 如果 a/b ,则 y=(-6) ）（交叉坐标的乘积差为0）如果 a垂直于b ,则y=(3/2) (对应的坐标的乘积和为0）四、小结 1 向量内积的坐标表示 定理:在直角坐标平面xoy 内,如果向量a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 a.b=a1.b1+a2.b2 注意区分: a/b<=> a1.b2-a2.b1=0(坐标交错相乘后的差为0) a.b= a1.b1+a2.b2 (对应坐标乘积的和) 2 向量的长度（模）的坐标表示结论1：向量的模，也就是向量的长度等于该向量的坐标的平方和算术平方根(开根号 )利用该结论及向量的坐标为该向量的终点坐标减去起点坐标得到距离公式：两点间的距离等于