圆的综合专题

1、圆的综合专题一只野狼卧在草上勤奋地磨牙，狐狸看到了，就对它说:“天气这么好，大家在休息娱乐，你也加入到我们队伍中吧！”野狼没有说话，继续磨牙，把它的牙齿磨得又尖又利。狐狸奇怪地问道:“森林这么静，猎人和猎狗已经回家了，老虎也不在近处徘徊，又没有任何危险，你何必那么用劲磨牙呢？”野狼停下来回答说:“我磨牙并不是为了娱乐，你想想，如果有一天我被猎人或老虎追逐，到那时，我想磨牙也来不及了。” 温馨提示:做事应该未雨绸缪，居安思危，这样在危险突然降临时，才不至于手忙脚乱。“书到用时方恨少”，平时若不充实学问，临时抱佛脚是来不及的。机会只给那些有准备的人。千万不要相信，临阵磨枪不快也光，那是自欺欺人。一

2、、圆1圆的知识框架图2. 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作O，读作“圆O3. 在半径为R的圆上，n0的圆心角所对的弧长的的计算公式为.4. 点与圆的位置关系 圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。 圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。 圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。 由此，你发现点与圆的位置关系是由什么来决定的呢？5. 圆的有关性质思考：确定一条直线的条件是什么？类比联想：是否也存在由几个点确定一个圆呢？讨论：经过一个点，能作出多少个圆？ 经

3、过两个点，如何作圆，能作多少个？ 经过三个点，如何作圆，能作多少个？6. 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。7. 垂径定理 : 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 如图，P为O的弦BA延长线上一点，PAAB2，PO5，求O的半径。PBO¡ 关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。¡ 圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。8. （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦

4、所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等9. 圆的性质 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。10. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。圆心角: 顶点在圆心的角.11. 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？ 什么时候圆周角是直角？反过来呢？ 直角

5、三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？12. 推论1同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。13. 思考：（1）、“同圆或等圆”的条件能否去掉？（2）、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。14. 推论2半圆（或直径）所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径。15. 由弧长公式可推出：，16. 如果扇形的半径为R，圆心角为n0，扇形的弧长为，那么扇形面积的计算公式为： (注意：要根据已知条件选择适当的公式来求扇形面积)。17. 如果弓形的面积是S

6、，弓形所在扇形的面积是S1，圆心角是n0，扇形的两条半径与弓形的弦所成的三角形面积是S2，则（1）当n1800时，S=S1；（等于半圆）（2）当n1800时，S=S1-S2；（小于半圆）（3）当n > 1800时，S=S1+S2 （大于半圆）18. 圆锥可以看做是一个直角三角形绕它的一条直角边旋转一周所成的图形，斜边旋转而成的曲面叫做面锥的侧面无论转到什么位置，这条斜边都叫做圆锥的母线，另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面如果记圆锥的高线长为h，地面半径为r，母线长为，则h2+r2=. 19. 圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥的底面周长C =，侧面积

7、S侧=。20. 圆锥的侧面积与底面积的和叫圆锥的全面积（或表面积）S全=例题精讲：1. 钟表的轴心到分针针端的长为5cm，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是( )(A) (B) (C) (D)2. 有一张矩形纸片ABCD，其中AD=4cm，上面有一个以AD为直径的半园，正好与对边BC相切，如图(甲)。将它沿DE折叠，是A点落在BC上，如图(乙)。这时，半圆还露在外面的部分(阴影部分)的面积是（ ）第2题图乙ABEDC(A)（）cm2 (B)（）cm2(C)（）cm2 (D)（）cm2ABCD第2题图甲3. 将如右图所示的圆心角为90°的扇形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半

8、径OA与OB重合(接缝粘贴部分忽略不计)，则围成的圆锥形纸帽是( )(第3题图)OBA4. 已知圆锥侧面展开图圆心角为90°，则该圆锥的底面半径与母线长的比为( )(A)12 (B)21 (C)14 (D)415. 如图，点P在圆O外，OAPA于A点，OP与圆周相交于C点，点B与点A关于直线PO对称，已知OA4，PA4.求(1)POA的度数；(2)弦AB的长；(3)阴影部分的面积.6. 如图，梯形ABCD中，ADBC，D=90°，以AB为直径的O与CD相切于E，与BC相交于F，若AB=4，AD=1，则图中两阴影部分面积之和为多少?7. 如图, ABC内接于O, ADBC于D

9、, AE是O的直径. 若AB=6, AC=8, AE=10, 求AD的长.二、圆与直线的位置关系三角形的内切圆切线的概念画切线切线的判定切线的性质直线与圆的位置关系相切相交相离三种位置关系与圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系圆与圆的位置关系外切、内切相交外离、内含五种位置关系的规律1. 知识点网络2. 直线与圆的位置关系（O的半径为r，圆心O到直线的距离为d）（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交，这时的直线叫做圆的割线；直线l和O相交dr；（2）相切：直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点；直线l和O相切dr；（3）直线与圆没有公共点时

10、，叫做直线与圆相离；直线l和O相离dr；POA 相交 相切 相离3. 判断直线与圆相切有哪些方法？（1）利用切线的定义； （2）利用圆心到直线的距离等于圆的半径；（3）利用切线的判定定理。4. 圆的切线的性质定理：经过切点的半径垂直于圆的切线；经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。例题精讲：例1、如图，AB 为O的直径，C为O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D 。求证：AC平分DAB。分析：从条件想，CD是O的切线，可考虑连结CO，利用切线的性质定理可知OCCD，由ADCD，易知OCAD。如果从结论看，要证AC平分DAB，须证 明DAC=CAB，由于CAB=ACO，所以只要证明 DAC

11、=ACO即可。例2、木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径.如图,用角尺的较短边紧靠O于点A,并使较长边与O 相切于点C,记角尺的直角顶点为B,量得AB=8cm,BC=16cm.求O的半径。分析：要求O的半径，可以考虑建立与圆的半径有关的直角三角形，因为BC是O的切线，所以连结OC，这样四边形ABCO是直角梯形，过A点作OC的垂线，求得圆的半径。例3、如图,直线AB与O相切于点C，AO与O交于点D,连CD。求证：（1）。（2）若AC=4cm，O的半径为3cm，求AD，CE的长。分析：要证明，需要找到一个角等于的一半，或者是ACD 的两倍。因为直线AB与O相切于点C，所以OCAB，因此考虑作CO

12、D的平分线。例4、（补充例题）已知如图，AB是O的直径， BC是与圆相切于点B的切线，弦ADOC。求证：DC是O的切线。5. 重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。 外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。 垂心定理：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。 内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。 旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。6.圆与圆的位置关系 6. 两圆位置关系的性质:两圆外切d=R+r； 两圆内切

13、d=Rr两圆相交RrdR+r； 两圆外离dR+r；两圆内含dRr例题精讲：【例1】如图，AC为O的直径，B是O外一点，AB交O于E点，过E点作O的切线，交BC于D点，DEDC，作EFAC于F点，交AD于M点。（1）求证：BC是O的切线；（2）EMFM。分析：（1）由于AC为直径，可考虑连结EC，构造直角三角形来解题，要证BC是O的切线，证到13900即可；（2）可证到EFBC，考虑用比例线段证线段相等。证明：（1）连结EC，DECD，12 DE切O于E，2BAC AC为直径，BAC3900 13900，故BC是O的切线。（2）13900，BCAC 又EFAC，EFBC BDCD，EMFM 【例

14、2】如图，ABC中，ABAC，O是BC的中点，以O为圆心的圆与AB相切于点D。求证：AC是O的切线。分析：由于O与AC有无公共点未知，因此我们从圆心O向AC作垂线段OE，证OE就是O的半径即可。证明：连结OD、OA，作OEAC于EABAC，OBOC，AO是BAC的平分线AB是O的切线，ODAB又OEAC，OEOD AC是O的切线。【例3】如图，已知AB是O的直径，BC为O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，OA。（1）求证：CD是O的切线；（2）求的值；（3）若ADOC，求CD的长。分析：（1）要证CD是O的切线，由于D在O上，所以只须连结OD，证ODDC即可；（2）求的值，一般是利用相似把转

15、化为其它线段长的乘积，若其它两条线段长的乘积能求出来，则可完成；（3）由，ADOC可求出AD、OC，根据勾股定理即可求出CD。证明：（1）连结OD，证ODC900即可；（2）连结BD AB为O的直径，ADB900 OBC900，ADBOBC 又A3，ADBOBC （3）由（2）知，又知ADOC AD、OC是关于的方程的两根 解此方程得， OC，OC CD巩固拓展：【问题一】如图，以正方形ABCD的边AB为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，CG切半圆于E，交AD于F，交BA的延长线于G，GA8。（1）求G的余弦值；（2）求AE的长。【问题二】如图，已知ABC中，ACBC，CAB（定值），O的圆

16、心O在AB上，并分别与AC、BC相切于点P、Q。（1）求POQ；（2）设D是CA延长线上的一个动点，DE与O相切于点M，点E在CB的延长线上，试判断DOE的大小是否保持不变，并说明理由。当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功）一、选择题：1、“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是（ ）A、经过半径外端点的直线是圆的切线；B、垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线；C、垂直于半径的直线是圆的切线；D、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。2、在RtABC中，A900，点O在BC上，以O为圆心的O分别与AB、AC相切于E、F，若AB，AC，则O的半径为（ ） A、 B、 C、 D、3、

17、正方形ABCD中，AE切以BC为直径的半圆于E，交CD于F，则CFFD（ ） A、12 B、13 C、14 D、254、如图，过O外一点P作O的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，连结AB，在AB、PB、PA上分别取一点D、E、F，使ADBE，BDAF，连结DE、DF、EF，则EDF（ ） A、900P B、900P C、1800P D、450P 二、填空题：5、已知PA、PB是O的切线，A、B是切点，APB780，点C是O上异于A、B的任一点，则ACB 。6、如图，ABBC，DCBC，BC与以AD为直径的O相切于点E，AB9，CD4，则四边形ABCD的面积为 。7、如图，O为RtABC的内

18、切圆，点D、E、F为切点，若AD6，BD4，则ABC的面积为 。8、如图，已知AB是O的直径，BC是和O相切于点B的切线，过O上A点的直线ADOC，若OA2且ADOC6，则CD 。 9、如图，已知O的直径为AB，BDOB，CAB300，请根据已知条件和所给图形写出4个正确的结论（除OAOBBD外）： ； ； ； 。10、若圆外切等腰梯形ABCD的面积为20，AD与BC之和为10，则圆的半径为 。三、计算或证明题：11、如图，AB是半O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动（不与点M重合），点Q在半O上运动，且总保持PQPO，过点Q作O的切线交BA的延长线于点C。（1）当QPA600时，请你对QCP的形状做出猜想，并给予证明；（2）当QPAB时，QCP的形状是 三角形；（3）则（1）（2）得出的结论，请进一步猜想，当点P在线段AM上运动到任何位置时，QCP一定是 三角形。 12、如图，割线ABC与O相交于B、C两点，D为O上一点，E为的中点，OE交BC于F，DE交AC于G，ADGAGD。（1）求证：AD是O的切线；（2）如果AB2，AD4，EG2，求O的半径。 13、如图，在ABC中，ABC900，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD2，AE