多维随机变量及其概率分布

1、概率论与数理统计内容提要及习题详解 第三章 多维随机变量及其概率分布 第 29 页 共 13 页第三章 多维随机变量及其概率分布【内容提要】一、二维随机变量及其分布函数【定义】设是定义于随机试验的样本空间上的两个随机变量，则称 为二维随机变量，称为其联合分布函数，而称:及分别为的边缘分布函数。二维随机变量的联合分布函数具有如下性质:非负性: ，有；规范性: ，有；单调性: 当固定不变时，是的单增函数；右连续性: ，有；相容性: ，有；特殊概率: 若，则。二、二维离散型随机变量1二维离散型随机变量及其概率分布律 若二维随机变量的一切可能取值为离散值，其中，且取到这些值的概率满足，则称为二维离散型

2、随机变量，而称为其联合概率分布律，记为:。.的边缘概率分布律:；.的条件概率分布律:；.的相互独立。二维离散型随机变量的联合分布律及其边缘分布律也可用下表来表示: 设为平面区域，则二维离散型随机变量的联合分布函数及其取值落在内的概率为:，。2常用二维离散型分布三项式分布:设为自然数，为常数，则三项式分布的联合分布律为： ，其中， 而其边缘分布律、条件分布律为： ， ， ，其中， ，其中。二维超几何分布: 设为自然数，则二维超几何分布的联合分布律为： ，其中；而其边缘分布律、条件分布律为： ， ， ， 。二维分布: 设为常数，则二维分布的联合分布律为:,而其边缘分布律、条件分布律为： ， ， ，

3、其中， 。三、二维连续型随机变量1二维连续型随机变量及其概率密度函数 若二维随机变量的一切可能取值充满了某一平面区域，且存在一个函数，使其联合分布函数可表为，且，则称为二维连续型随机变量，而称为其联合密度函数，记为。 设为平面区域，则二维连续型随机变量的联合分布函数、联合密度函数满足：，而的取值落在内的概率为。2常用二维连续型分布均匀: ，其中平面区域的面积；二维指数分布:二维指数分布的联合分布为:，其中为常数，而其边缘分布及条件分布为:，。二维分布: 其联合密度、边缘密度及条件密度分别为(其中均为常数),，。二维正态分布:二维正态分布的联合密度为:，其中，而其边缘分布及条件分布为:，即，即，

4、即。四、二维随机变量函数的分布设为二维随机变量，而为连续的确定型函数。1 若为离散型随机变量，且，则的分布律为:；若为连续型随机变量，且，则的概率密度函数为: ；若连续型随机变量独立，且具有相同的分布函数为，将按其取值由小到大的顺序重新排为，称为的顺序统计量，则第个顺序统计量的分布函数为(其中为的密度，):，特别：。五、维随机变量及其分布【定义】设是定义于随机试验的样本空间上的个随机变量，则称为维随机变量，而称为其联合概率分布函数；维随机变量也可分离散型与连续型，也有边缘分布、条件分布等概念。常用维随机变量的分布有:1维多项式分布:设为自然数，为常数，则维多项式分布的联合分布律为(其中为整数)

5、： ，其边缘分布律、条件分布律仍为多项式分布。2维超几何分布: 设为自然数，则维超几何分布的联合分布律为(其中为整数)： ，其边缘分布律、条件分布律仍为超几何分布。3维均匀分布: 设为维空间区域，且其体积，则内维均匀分布的联合密度为(其中为整数)： 。4维正态分布: 设为维常向量，为正定矩阵，为的行列式，维正态随机变量在处的联合密度为： ，正态随机变量的边缘分布、条件分布及其线性变换仍服从正态分布，且相互独立为对角阵。【第三章作业】1、现有10件产品，其中6件为正品，4件为次品，从中随机抽取两次产品，每次取一件，令，在放回抽样与不放回抽样下分别求的联合分布律及边缘分布律。解:由题意知的联合分布

6、律及边缘分布律分别为:放回抽样场合不放回抽样场合010100112、现有10件产品，其中5件为一级品，2件为二级品，其余为废品，从中不放回地随机抽取3件产品，用分别表示所取产品中的一、二级产品的数目， 求的联合分布律及边缘分布律。解:由题意知的联合分布律，故其联合分布律及边缘分布律分别如下表所示:3、已知的边缘分布律如下，且，求其联合分布律及。解:由题意知的联合分布律如下表所示:且。4、设的联合密度函数为，求常数、的边缘密度及概率。解:由联合密度函数的性质有:，故,且 ， ， ， ， 。5、设的联合密度函数为，求的边缘密度及概率。解:由题设知: ， ， 。6、设的联合密度为，求其边缘密度及概率

7、。解:由题设知:， ， 。7、两人约定于某日的到在指定地点会面，约定先到者最多等候分钟，假设两人行动独立且在到内任一时刻到达指定地点的可能性相同，求他们能会面的概率。解:用分别表示两人到达指定地点的时间(从算起的分钟数)，则由题设知在平面区域上均匀分布，故其联合密度为，从而他们能会面的概率为。8、设独立，且其边缘分布为，求的联合分布及、。解:由题设知的联合分布，且 ， 。9、设相互独立，且其边缘分布为，求行列式的分布。解:令，则由题设知有3个可能的取值，且，。10、设在区域上均匀分布，求随机变量与的联合分布。解:由题设知的联合分布为:。12、设的联合密度为，求其边缘密度。解:由题设知其边缘密度为: ， 。13、设独立，且，求常数及随机变量的概率密度。解:由题设知，而的概率密度为: 。14、设的联合分布函数为，求.常数； .的联合密度及边缘密度；.； .判断是否相互独立。解: .由联合分布函数的性质知，常数满足: .的联合密度及边缘分布、边缘密度分别为: ；.；.由于，故相互独立。15、设的联合分布函数为，求.的边缘分布； .的联合密度及边缘密度；.判断是否相互独立； .。解: 由题设知:.；.；