函数极限习题与解析

1、)函数与极限习题与解析(同济大学第六版高等数学)一、填空题1、 设f(x) = .2-x Iglgx，其定义域为 _。2、 设f(x) =ln(x1)，其定义域为 _。3、 设f (x)二arcsin(x-3)，其定义域为 _。4、 设f (x)的定义域是0，1,贝Uf (sinx)的定义域为 _ 。5、 设y = f (x)的定义域是0, 2，则y = f (x2)的定义域为 _ 。x22x +k6、lim4，贝 U k=_ 。x 37、 函数y 有间断点 _ ，其中_为其可去间断点。sin xsin 2x&若当x=0时，f(x)，且f (x)在x=0处连续，则f(0)=_x9、li

2、m ( J)=_。n：n 1 n 2n n10、_函数f (x)在X0处连续是f(x)在X0连续的 _ 条件。32(X31)(X23x 2)2x5+5x32、kn-312、lim (1) e，贝Uk=_。nnx2_113、 函数 y = 2的间断点是_ 。x -3x+214、 当xJ:时，是比xx 1_的无穷小。x15、_当X；0 时，无穷小 1- d - x 与 x 相比较是_ 无穷小。16、 函数y二ex在 x=0 处是第_ 类间断点。limx匸:11、)Vx T17、设y，贝 U x=1 为 y 的_ 间断点。x T)x亠sin x曲线y22水平渐近线方程是x(3)y=ex2、函数f(x

3、)和g(x)是否相同？为什么？(1)f(x) = In x2, g(x)=2lnx；(2)f(x) =x , g(x)x2；22(3)f(x) =1 , g(x)=secxtan x；18、已知fa 为_ 时，函数f(x)=asinxsin3x在xJT处连续。319、设f (x) = sin x2x1(1 ax)x：0若lim f (x)存在，则x_0 x 0a=20、21、f(x) = . 4x21x2的连续区间为-1x + a22、设f (x) = *cosxx _ 0在X = 0连续，则常数x 0a=_二、计算题1、求下列函数定义域(1) y11 -x2(2)y =sin . x；)3、

4、判定函数的奇偶性(1)y = x2(1 -x2)；(3)y =x(x -1)(x1);4、求由所给函数构成的复合函数2 2(1)y二u , u二sinv , v二x；(2)y -u , u =1x2；(3)y =u2, u =ev, v = sinx；12 3一 一 一(n1)lim厂n-n(3 )limx25x=2x - 32X2-2x+1(4)lim厂xT x211 1(5 ) xim(1 x)(2-R；(6 )x32x2(x-2)223(2)y=3x -x；(2 )5、计算下列极限)(9)lim x( - x 1 -x)； x_-bc6、计算下列极限1(6)lim(1-x)x；X7、比较

5、无穷小的阶(1 )Xr 0时 ,2X-X2与X2-X3；12(2)X 1时,1 -x与(1 -x2)；2(7)lim x2sin；X0 x(8)x-1.3 x . 1 xxim=x|7|72 2xcotxmomoH H X X|7|7(3)&利用等价无穷小性质求极限9、讨论函数的连续性10、禾U用函数的连续性求极限（1）lim In（ 2cos2x）；x(5)设f(x)=im(1)nx 1何:xIn(J;tan xsin x:3sin x(2)lim叫0(sin x)（n ,m是正整数）；(3),sin x Inx(4)lim (1-)2xY xx -13 xx _1x 1_ ：x2_

6、 x)；)cxe11、设函数f (x) = *a +x应当怎样选择 a，使得f(x)成为在(-：512、证明方程x -3x=1至少有一个根介于 1 和 2 之间。(B)1、设f(x)的定义域是0，1，求下列函数定义域(2)lim x-H 1； 心0 x(1) y =f(ex)(2)y = f (In x)0 , x Eo2、设f (x)=x, X A 00g(x)=2 x-求ff(x) ,gg(x)f g(x) , g f(x)3、利用极限准则证明:)(3)数列.2 ,22 , .2、2 .2 ,的极限存在4、试比较当x 0时，无穷小2x32与x的阶。.16、设f(x)=要使f(x)在(皿2a

7、 x , x二应当怎样选择数 a ？5、求极限(1)J% x21 _x)；lim42x + 1(3)冋(xx 1bxcx)x(a 0 , b 0 , c 0)；tan x sinx)(C)21、 已知f(x)二ex, f(x)=1 -x，且(x) _0，求:(x)并写出它的定义域。2、求下列极限：(1 )、lim cosln(1 x) _cosln x； (2)、x_.3x +52x + a(3)、求limsin； (4)、已知lim ()x=9 ，求常数a。x护5x+3xa(5)、设f (x)在闭区间a , b上连续，且f(a) a , f (b)：b, 证明：在开区间(a , b)内至少存

8、在一点 ，使f ()=7、设f(x)1ln(1 x)求f (x)的间断点，并说明间断点类型。+ +一VIVI叫)第一章函数与极限习 题解析(A)、填空题(1)(1 ,2(2)(-1 .,+閃)(3) 2，4(4):x 2k：叮玄x辽(2k1):,k :Z ?(5)- .2,.2(6) -3(7)x = k二，k三zx = 0( 8) 2(9) 1(10)充分1(11)-(12)3(13) x=1 ,x=2(14)高阶22(15)同阶(16) 二(17)可去(18) 2(19)-ln2(20) y=-2(21)-2,1(1,2(22) 1二、计算题1、(1)(：,-1) (-1,1) (1,(2

9、)0,二)(3)(-二,0) (0,：)2、 ( 1)不同，定义域不同(2)不同，定义域、函数关系不同 (3)不同，定义域、函数关系不同3、 ( 1)偶函数(2)非奇非偶函数(3)奇函数4、(1)y = (sin x2)2(2)y = 1 x22 sin x_(3)y=e5、(1) 2 (2)(3)-9(4)0(5)2(6):f-1(7) 0(8)-2 2(9)-222二6、(1)w(2)-(3) 1(4)e(5)e( 6)e57、(1)2x2冃2-x是x -x3的低阶无穷小(2)是同阶无穷小S,men8、(1)1(2)1,m = n2a,man9、不连续10、(1)0(2) 12(3) 0(4)e(5) 0(6) -2)11、 a=1(B)x1、( 1)提示：由0 me ox 2 23、解：因为当x：匚时，sin x x2 23x5 . 2 3x5limsin=limxr 5x 3 xx心5x 3所以e2a=9,a =1 n3F(a)二f(a)-a 0,F (b) = f (b) - b：0。由闭区间上连续函数的零点定理，在开