四点共圆例题及答案汇编

1、学习-好资料例1如图,E、F、G H分别是菱形ABC*边的中点.求证：E、F、G H 四点共圆.证实 菱形ABCD勺对角线AC和BD相交于点0,连接OE OF OG OH.AC和BD互相垂直,在 RtAOB RtABOC Rt ACOD RtADO/fr, E、F、G H,分别 是AB BG CD DA的中点,= OF = ：BC. OG =(CD, 0H = 1dA 占匚La/AB = BC = CD=DAf /. OE = OF = OG = OH.即E、F、G H四点共圆.(2)假设四边形的两个对角互补(或一个外角等于它的内对角),那么四点 共圆.例 2 如图,在 ABC 中,AD

2、77; BC DEL AB, DF± AC.求证：B E、F、C四点共圆.证实 VDE!AB, DF±AC, /AE济 /AFD=180 ,即A、E、D F四点共圆,更多精品文档学习-好资料/AEF4 ADF又ACL BG /AD斗 /CDF=90 ,/CD斗 / FCD=90 ,/ADF之 FCD ./AEFW FCD/BER / FCB=180 ,即B、E、F、C四点共圆.(3)假设两个三角形有一条公共边,这条边所对的角相等,并且在公共 边的同侧,那么这两个三角形有公共的外接圆.例3如图,在ABC中,BD, CE是AC, AB边上的高,ZA = 60° ,求匹

3、 ED =7bg-证实在ABC, BD CE是AC AB边上的高.二/BECW BDC=90 ,且 E、 D在 BC的同侧,E、B、C、D四点共圆./AEDW ACB /A=/ A, .AEM AACB更多精品文档学习-好资料,在RtAAEC 中,/A = 600,ZACE = 30° ；AE _ 1AC = 2EDCE1 /.ED=-BC.2上述三种方法是证“四点共圆的根本方法,至于证第四点在前三点 不在同一直线上所确定的圆上就不表达了.【例1】 在圆内接四边形 ABCDK /A-/C=12° ,且/A： / B=2 ： 3.求 /A、/ B、/C、/D的度数.解二.四边

4、形ABCDft接于圆,/A+/ C=18J ./A-/C=12° ,/ A=96 , / C=84° . / A： / B=2： 3,2ZB =96* x - = 144O ./D=180 -1440 =36° .利用圆内接四边形对角互补可以解决圆中有关角的计算问题.【例2】：如图1所示,四边形ABC呐接于圆,CE/ BD交AB的延长线于E.求证：AD- BE=BC DC证实：连结AC. CE/ BD更多精品文档学习-好资料/ 1=/ E./ 1和/ 2都是前所对的圆周角,/1 = /E.二.四边形ABCM接于圆, ./ EBCWCDA. .AD8 ACBEAD：

5、 BC=DC BEAD- BE=BC DC.本例利用圆内接四边形的一个外角等于内对角及平行线的同位角、圆中同弧所对的圆周角得到两个相似三角形的条件,进而得到结论.关于圆内接四边形的性质,还有一个重要定理.现在中学课本一般都 不列入,现介绍如下：定理：圆内接四边形两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和.：如图2所示,四边形ABCM接于圆.求证：AC- BD=AB CD + AD- BC.证实：作/ BAE=/ CAD AE交 BD 于 E ./ABDW ACD、 AB BEAC CD即 AB - CD=AC BE 更多精品文档学习-好资料/ BAE它 CAEN CAD廿 CAE ./BACW EA

6、D 又Z ACB= ADEac nr1.-.AabcccAaed. =AD DEAD- BC=AC DE 由,得 AC BE+AC DE=AB C曰AD- BCAC BD=AB CA AD- BC这个定理叫托勒密(ptolemy)定理,是圆内接四边形的一个重要性 质.这个证实的关键是构造 ABaAACD充分利用相似理论,这在几何 中是具有代表性的.在数学竞赛中经常看到它的影子,希望能引起我们注命题菱形都内接于圆对吗？命题菱形都内接于圆是不正确的.所以是假命题.理由是：根据 圆的内接四边形的判定方法之一,如果一个四边形的一组对角互补,那么 这个四边形内接于圆.这个判定的前提是一组对角互补,而菱形

7、的性质是 一组对角相等.而一组相等的角,它们的内角和不一定是180.如果内角和是180° ,而且又相等,那么只可能是每个内角等于90° ,既具有菱 形的性质,且每个内角等于90° ,那末这个四边形一定是正方形.而正 方形显然是菱形中的特例,不能说明一般情形.判定四边形内接于圆的方法之二,是圆心到四边形四个顶点的距离相 等.圆既是中央对称图形,又是轴对称图形,它的对称中央是圆心.菱形 同样既是中央对称图形,又是轴对称图形,它的对称中央是两条对角线的 交点.但菱形的对称中央到菱形各个顶点的距离不一定相等.所以,也无法确定菱形一定内接于圆；如果菱形的对称中央到菱形各边顶

8、点的距离相 等,再加上菱形的对角线互相垂直平分这些性质,那么这个四边形又必是正方形.综上所述,“菱形都内接于圆这个命题是错误的.更多精品文档学习-好资料5圆的内接四边形例1 ：如图7-90, ABC比对角线互相垂直的圆内接四边形,通过对 角线的交点E与AB垂直于点H的直线交CD于点M.求证：CM=MD证实/MECf/HEB互余,/ABE与/ HEB5余,所以/ MEC=ABE 又/ABEWECM 所以/ MEC=ECM 从而 CM=EM同理 MD=EM所以 CM=MDD图 7-90点评 本例的逆命题也成立(即图中假设 M平分CD那么MHLAB).这两个命 题在某些问题中有时有用.本例叫做婆罗摩

9、笈多定理.例2 ：如图7-91, ABCtM.的内接四边形,ACLBD,OEIABTjSE,求证；OE = |cd.3图7T1分析一 如图7-91 (a),由于E是AB的中点,从A引.的直径AG, Q是AG的中点.由三角形中位线定理可知OE =?GB,因此只2需证实GB=CD但这在第七章己1.4圆周角中的例3已经证实了.证实读者自己完成.*分析二 如图7-91 (b),设AC, BD垂直于点F.取CD的更多精品文档学习-好资料中点M,那么MF=；CD,所以应该有OE = MR并且由例1的点评知道还有0日/ MF从而四边形OEF就该是平行四边形.证实了四边形 OEF平 行四边形,问题也就解决了.

10、而证实四边形 OEFM1平行四边形已经没有什么困 难了.*分析三 如图7-91 (b),通过AC BD的交点F作AB的垂线交CD于点M,连 结线段EF, M0由于OEL AB, FML AB,所以0日/ FM 又由于EF±CD (见例1 的点评),MQLCD所以EF/ MO所以四边形OEF岫平行四边形.从而OE=MF 而由例1知所以OE = ：CD.例3 求证：圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积,即图中 AB - CD+BC AD=AC BD分析 在ABCD+BC AD=AC BD中,等号左端是两个乘积的和,要证实这 种等式成立,常需把左端拆成两个单项式来证实,即先考虑AB-

11、CD和BC AD各等于什么,然后再考虑 AB- CD+BCAD是否等于AC- BD而要考虑AB- CD和 BC- AD各等于什么,要用到相似三角形.为此,如图 7-92,作AE,令/ BAEW CAD并且与对角线BD相交于点E,这就彳#到 ABAACID由此求得 AB - CD=ACBE.在圆中又出现了 ABSAAEED由此又求得BC AD=AC ED 把 以上两个等式左右各相加,问题就解决了.证实读者自己完成.点评 本例叫做托勒玫定理.它在计算与证实中都很有用.例4.如图7.93, F为等边三角用ABC的外接圆的BC上任意一点.求证：PA=PB+PC更多精品文档学习-好资料分析一本例是线段和

12、差问题,因此可用截取或延长的方法证实.如图7-93 (a),在PA上取点M 使PM=PB剩下的问题是证实 MA=PC这只要证实 AB阵CBPM以了.证实读者自己完成.分析二 如图7-93 (a),在PA上取点M使MA=PC剩下的问题是证实 PM=PB这只要证实 BPM等边三角形就可以了.证实读者自己完成.分析三 如图7-93 (b),延长CP到M使PM=PB剩下的问题是证实PA=MC 这只要证实 PAB CMBft可以了.证实读者自己完成.读者可仿以上的方法拟出本例的其他证实.*本例最简单的证实是利用托勒玫定理(例 3).证实 由托勒玫定理得PABC=PB AC+PC AB,由于BC=AC=A

13、B所以有 PA=PB+PC例2如图7116,.和.都经过A、B两点,经过点A的直线CM. O交于点C,与.交于点D.经过点B的直线EF与.O交于点E,与 交于点F.求证：CE/ DF.分析：要证实CE/ DF.考虑证实同位角(或内错角)相等或同旁内角 互补.由于CE DF分别在两个圆中,不易找到角的关系,假设连结 AB,那么 可构成圆内接四边形,利用圆内接四边形的性质定理可沟通两圆中有关角 的关系.更多精品文档学习-好资料证实：连结AB.ABE久圆内接四边形,丁. / BAD= E.ADFB!圆内接四边形,1 /BA济 /F=180° ,. /E+ /F=180° .2 .

14、CE/ CF.说明：(1)此题也可以利用同位角相等或内错角相等,两直线平行证 明.如延长EF至G,由于/ DFGW BAD而/ BAD? E,所以/ DFGW E.(2)应强调此题的辅助线是为了构成圆内接四边形, 以利用它的性质, 导出角之间的关系.(3)对于程度较好的学生,还可让他们进一步思考,假设此题不变,但 不给出图形,是否还有其他情况？问题提出后可让学生自己画图思考, 通过讨论明确此题还应有如图 7 117的情况并给予证实.例3如图7118,在 ABC, AB=AC BD平分/ B, ABD勺外接圆和BC交于E.求证 ：AD=EC分析：要证AD=EC不能直接建立它们的联系,考虑条件可知

15、/ ABD=/DBE容易看出AD=DE.假设连结DE,那么有AD=DE因此只要证DE=EC由于DE和EC为DEC勺两边,所以只要证/ EDC4 C.由条 件可知/ C=/ABC因此只要证/ EDC= ABC由于4EDC是圆内接四边形 ABED勺一个外角,所以可证/ EDC=ABC问题可解决.更多精品文档学习-好资料图 T-118证实：连结DE =BD平分/ABG.怒=玩,AD=DE .ABE此圆内接四边形, ./ EDC=ABC ,.AB=AC ./ABC= C, . ./EDC= /C.于是有DE=EC因止匕AD=EC四、作业1 .如图7120,在圆内接四边形 ABCm,AC平分BD并且AC

16、L BD /BAD=70 18',求四边形其余各角.氏图7-1202 .圆内接四边形 ABCLfr, /A、/B、/C的度数的比为2 ： 3 ： 6, 求四边形各内角的度数.3 .如图7121, AD是AB的卜角/ EAC的平分线,AD与三角形的外 接圆交于点D.求证：DB=DC作业答案或提示：1. /ABCN ADC=90 , / BCD=109 42'.2. /A=45° , / B=67.5° , / C=135 , /D=112.5° .更多精品文档学习-好资料3.提示：由于/ DBC= DAG / EAD= DCB / EAD= DAG

17、所以/ DBC= / DCB因止匕DB=DC判定四点共圆的方法引导学生归纳判定四点共圆的方法：(1)如果四个点与一定点距离相等,那么这四个点共圆.(2)如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四边形的四个顶点共 圆.(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内对角,那么这个四边形的 四个顶点共圆.(4)如果两个直角三角形有公共的斜边,那么这两个三角形的四个顶 点共圆(由于四个顶点与斜边中点距离相等).3.如图7124,ABC时平行四边形,过点 A和B的圆与AD、BC 分别交于E、F.求证：G D E、F四点共圆.提示连结 EF,由/ B+/AEF=180° , / B + /C=180&#

18、176; ,可得/ AEF= ZC.四点共圆的应用山东宁阳教委教研室 栗致根四点共圆在平面几何证实中应用广泛,熟悉这种应用对于开阔证题思 路,提升解题水平都是十分有益的.用于证实两角相等更多精品文档学习-好资料例1如图1,P为.外一点,PA切.于A, PB切.于B,OP交 AB于 E.求证：/ APG= / BPD证实连结OA OG OD由射影定理,得 AE=PE- EO又AE= BE,那么 AE- BE= PE- EO(1);由相交弦定理,得 AE- BE= CE- DE(2); 由(1)、(2)得 CE ED= PE- EQ. P、C Q D四点共圆,那么/ 1 = /2, /3= /4,

19、又/2=/4./1 = /3,易证/ APC= /BPD(/4=/EDO)二用于证实两条线段相筹例2如图2,从.O外一点P引切线PA PB和割线PDC从A点作弦 AE平行于DC连结BE交DC于F,求证：FO FD.证实连结 AD AR EG AB.PA 切.于 A,那么/1 = /2. v AE/CD 那么/2=/4././1 = /4, ；P、A、F、B 四点共圆./ 5=/6,而更多精品文档学习-好资料/5= /2=/ 3, . ./3=/6. VAEE/ CD . . EC=AD 且/ ECF之 ADF . EF8 AAFED a FO FD.三 用于证实两直线平行例3如图3,在4ABC

20、中,AB=AC ADLBC, / B的两条三等分线交 AD于 E、G 交 AC于 F、H.求证：EH/ GC证实 连结 EC 在4ABE和4ACE中,= AE= AE, AB=AC / BAE= / CAE . .AEBAEC ./5=/1 = /2, . . B、C、H、E 四点共圆,. / 6 =/3.在 AGE的GEg, vGE= GE /BEG / CEG EB= EG .GEB 白GEC-./4=/ 2=/3, . ./4=/6.EH/ GC四 用于证实两直线垂直例4如图4, 口©为等边三角形,D、E分别为BC AC边上的点,且BD二2BC, CE = 1aC, AD与EE

21、相交于P点.求证；CP1AD.证实 在ABDffi BCE 中,v AB=BC / ABD= /BCE BD= CE,那么4 ABDABCEE./ADBWBEC P、D> G E 四点共圆.设 DC的中点为 O 连结 OE DE 易证/ OE秘 600 , / DEO= 30° . . / DEC= 90° ,于是/ DPC=90 ,CPXAD.五用于判定切线更多精品文档学习-好资料例5如图5, AB为半圆直径,P为半圆上一点,PCIAB于C,以AC为直 径的圆交PA于D,以BC为直径白圆交PB于E,求证：DE是这两圆的公 切线.证实连结 DC CE 易知 / PDC

22、= /PEC= 90° ,P、D、C E 四点 共圆,于是/ 1=/ 3,而/ 3+/ 2=90° , / A+ / 2=90° ,那么/ 1 = / A, DE是圆ACD勺切线.同理,DE是圆BCE的切线.因而DE为两圆的公切 线六用于证实比例式例6 AB CD为.中两条平行的弦,过B点的切线交CD的延长线于 G,弓玄PA PB分别交CD于E、F.手如证实 如图6.连结BE PG=BG切.于B,那么/ 1 = /A. = AB/ CD 那么/A= /2.于是/ 1 = /2,. P、G B E四点共圆.由相交弦定理, 得EFFG=PF FB.在.0中,由相交弦定

23、理,得 CF- FD=FP- FB./. EF * ?G=CF * JD,七用于证实平方式例7 ABC时圆内接四边形,一组对边 AB和DC延长交于P点,另一 组对边AD和BC延长交于Q点,从P、Q引这圆的两条切线,切点分别是 E、F,如图 7求证:PQ= QF+PE.更多精品文档学习-好资料证实 作DCQ勺外接圆,交PQ于M,连结MG /1=/ 2=/3,那么 P、B、C、M四点共圆.由圆幕定理得 PE2= PC- PD= PM PQ QF2=QC- QB =QMQP 两式相加得 PE+QF= PM PQ QM QP=PQ(PMQM)=PQ PQ=PQ,.pQ=pe2+qf2.八用于解计算题例

24、8如图8, ABC勺高AD的延长线交外接圆于H,以AD为直径作 圆和AB AC分别交于E、F点,EF交AD于G,假设AG=16cm AH=25cm 求AD的长.解连结 DE DR BH =/ 1=/ 2=/C=/ H,R E、G H 四点共圆.由 圆幕定理,得 AE- AB= AG AN 在ABDt, / ADB=90 , DEI AB,由 射影定理,得 AD=AE AB, .AD： AG AH= 16X 25=400, . AD=20cm九用于证实三点共线图？图1.例9如图9, D为4ABC外接圆上任意一点,E、F、G为D点到三边 垂线的垂足,求证：E、F、G三点在一条直线上.证实连结 EF

25、、FG BD. CD / BEDW BFD=90 , WJ B、E、F、D 四点共圆,./ 1 = /2,同理/ 3= /4.在DBEffi DCGt, ./ DE氏 / DGC / DBE= / DCG 故 / 1=/4, 易得/2=/3,E、F、G三点在一条直线上.十用于证实多点共圆更多精品文档学习-好资料例10如图10, H为4ABC的垂心,Hi、或、件为H点关于各边的对 称点,求证：A B、C Hi、睡、降六点共圆.证实连结AH, 丁 H与H2关于AF对称,那么/ 1=/ 2. v A F、D C 四点共圆,那么/ 2=/3,于是/ 1 = /3,.A、伟、B、c四点共圆,即 降 在A

26、BC勺外接圆上.同理可证,Hi、H3也在 ABC的外接圆上. A、B、 C、Hi、住、降六点共圆.相关资源加到收藏夹添加相关资1托勒密定理的数形转换功能山东临沂市四中姜开传临沂市第一技校刘久松圆内接四边形两组对边乘积的和等于其对角线的乘积,即在四边形 ABCDK 有AB - CD" AD- BC=AC BR这就是著名的托勒密定理.本刊 1996年第2期给出了它的几种证法,作为续篇,本文就其数形转换功能 举例说明如下：1 “形转换为“数对于某些几何问题,特别是圆内接多边形问题,如果能根据题设中隐 含的数量关系,利用托勒密定理可将“形转换为“数,从而到达用代 数运算来代替几何推理的目的.

27、例1正七边形A1A2- Az,求证第21届全俄数学奥林匹克竞赛题对于这道竞赛题,原证较繁,但通过深挖隐含条件,利用托勒密定理 可改变整个解题局面,使证题步骤简缩到最少.如图 1,连 A1A5、A3A5,那么 A1As=AiA4、AbA=AA3.在四边形 ZA>ZA 中,由托勒密定理,得 A3A4 , AAs+AAs , AA3= A1A4 , A3A5,即 A1A2 - A1A4 + AA2 A1Ab=AAb AN,两边同除以 A1A2 AA3 AA即得结论式.更多精品文档学习-好资料例2如图2, A、R G D四点在同一圆周上,且 BO C54, AE=6 线段BE和DE的长都是整数,

28、那么BD的长等于多少？1988年全国初中数 学联赛题此题假设用其它方法解,往往使人一筹莫展.假设运用托勒密定理,可使 问题化难为易.由 4CD团BAEffiACBEE DAE 得4BE4DEAB =, AD =CECE由托勒密定理,得BD(A曰 CE)=4(AB+ AD),BP BD(AE + CE)= 16 +亦即CE(AE+ CE)= 16.设CE=k整理上式,得x2+6x16=0.解得x = 2负值已舍,故BE- DE= CE- AE= 12. v BD< BG C58,BE =3DE = 4BE= 4DE =3,故 BD = 7.例3 一个内接于圆的六边形,其五个边的边长都为 8

29、1, AB是它的第 六边,其长为31,求从B出发的三条对角线长的和.第九届美国数学邀 请赛试题原解答过程冗长.假设通过托勒密定理的桥梁作用,把“形转换为“数, 可使问题化繁为简.更多精品文档学习-好资料E A图3如图 3,设 BD=a BE=b, BF= c,连 AG CE AE,贝U CE= AE= BD= a, AC=BF c.在四边形BCDW,由托勒密定理,得81b+812 = a2同理 81b+ 31 - 81=ac 31a+81a=bc 解、组成的方程组,得a=135, b=144, c=105故 a +b+ c=384.2 “数转换为“形对于某些代数问题,假设结构与托勒密定理相似,

30、通过构造圆内接四边 形,可把“数转换为“形,然后利用“形的性质,使问题得到解决.这 种解法构思巧妙,方法独特,富于创新,出奇制胜.例4解方程2面-121 + 1店 7 = 7 岛.C副4假设按常规方法解这个无理方程,过程繁冗.假设由方程的结构特征联想 到托勒密定理,那么构造直径 AC=x(x> 11)的圆及圆内接四边形 ABCD使 BC=2 CD=11如图4 ,于是AB 二4,心二4-12L由托勒密定理,得更多精品文档学习-好资料W -121 -11- 4 = X.将此式与原方程进行比拟,得BD=7Vi在BCD,由余弦定理,得cos /BCD -12?,NBCD±12U* .

31、fefcx=AC = =14. sin 120经检验x=14是原方程的根.例5aJj>+bj>/ =一求证：a2+b2=1.这道名题已有多种证法,而且被视为用三角换无法解代数问题的典 范.下面再给出一各几何证法.易知0&a、b&1且a、b不全为零.当a、b之一为零时,结论显然 成立.当a、b全不为零时,由等式联想到托勒密定理,作直径 AO 1的圆及圆内接四娜耻8,便AB =b, AD = a,文唱5,那么CD =、EC= J13由托勒密定理,WaVl-ba +bVl-a2 =1 *BD,与等式比拟,得BA 1,即BD也为圆的直径,故a2+b2=1例 6 设 a>

32、;c, b>c, c>0,更多精品文档学习-好资料求国、卜© 琼4 m© -jab.此题假设用常规方法证实也不轻松.下面利用托勒密定理给出它的一个 巧证.诟I曲= I右L. Jie2 + ba-c2 =西彳,而丁十加彳二不尸二屈故构造直径AC=每的圆及圆内接四边形ABCD,使AB =A,AD = 后.如 图6,那么BC =、匹二吁,CD = *硕可.由托勒密定理,得* Jw y) +5c * 0g f) = yjab * BD.因 BD<AC = JS.故 J威?或& - u) + yabca - c)Cabp-c) + J® qSF.更

33、多精品文档学习-好资料巧用托勒密定理证题河北晋州市数学论文研究协会张东海王素改在解证某些数学题时,如能巧用托勒密定理,可使解证过程简洁清新, 兹举例说明.托勒密定理：圆内接四边形中,两条对角线的乘积等于两组对边乘积 之和.图1一、构造“圆,运用定理【例 1】设 a, b, x, y 是实数,且 a2+b2=1, x2+y2=1.求证：ax+ by< 1.证 作直径AB=1的圆,在AB的两侧任作RtAACBF口 RtAADEj® AC=a BC=b BD=x AD=y.图 1由勾股定理知a, b, x, y满足条件.根据托勒密定理,有AC- BN BC- AD=AB CDv CD

34、< 1, ax+by<1.二、利用无形圆,运用定理【例2】等腰梯形一条对角线的平方,等于一腰的平方加上两底之 积.：梯形 ABCD中,AD=BC AB/ CD求证：BD=BC + AB- CD证二.等腰梯形内接于圆,由托勒密定理,有AC-BD=AD B8 AB CD更多精品文档学习-好资料. AD=BC AC=BD .BD=BC+ AB - CD (图略)【例3】：边长为1的正七边形ABCDEFG,对角线AD=a, BG=b(a wb).求证：(a + b) 2(a b) = ab2.证连结 BD GE BE, DG 贝U BD=EG= GB=b DG=BEDA= a, DE=AB

35、=AG=1(如图 2)E图£在四边形ABDM,由托勒密定理,有 AD- BG=AB D(3 BD- AG即 ab=a+ b (1)同理在四边形BDE助,得BE- DG=DEBG BD- EG即 a2=b+ b2 (2)将(2)变形为 b=a2 - b2 (3)(1) x(3),得 ab2 = (a + b)(a2b2).故 ab2=(a + b) 2(a b).三、构造圆内接四边形,运用定理【例4】在4ABC中,/ A的内角平分线AD交外接圆于D.连结BD.A的3求证：AD- BC=BD (AB+AC).更多精品文档学习-好资料证(如图3)连结DC由托勒密定理.有 AD- BC=AB

36、 CNAC- BD又. / 1=/2,BD=DC.AD- BC=AB CNAC- BD=BD(ABAC).即 AD- BC=BD (AB+AC).圆内接四边形的面积公式黑龙江绥化五中 任天民在中学教学里使用海伦公式5一 b)(p 一 Q (其中p二再三,露壮口为三角形的三边)计算三角形的面积是个重要的方法,三角形一定有外接圆,所 以我们可以联想,圆内按四边形回积的计算公式是否与三角形面积公式有相似之设圆内接四边形ABCM各边为a, b, c, d.连结BD.由/ A+ / C=180 ,可以推出sinA=sinC ,cosA= cosC.并且S 四边形 ABC=S AB叶 Sa BCD=-bc

37、sinA+ adsmC22=；(尻+ a.d)sinA.更多精品文档学习-好资料再由余强定理成温=bJ +c2 - BD2bc2 + j2 _及c"C=一菊,.两百肖去BD阿得2gd ;桃)sin A = Jt -cc»J A =a + b + c-d)(b + c + d-a)(a + <i + b -* d+ c-b)2(就 d + tc)所以1J(a + b 亡-d) (b + c 上 -E b + & -、)(自,4' 4 d - 匕)%糜维E =5(尻rd).永不国=J(曰 + b + . d)(b4c + d- + b + d- c)(a

38、+ c + d - b).今p=M上产上式化为 、地虑崩s=je-3s-bxp-op-d,这样我们得出了圆内接四边形面积的计算公式.在上面的公式中,如果设某一边为零,不仿设d=0此时四边形变成 三角形,该公式恰是计算三角形面积的海伦公式.圆内接四边形面积公式的得出是受三角形面积公式的启发, 通过联想 探索出来的,而且两者在形式上又是那么的相近. 这种现象在数学中不胜 枚举,如果同学们都能从特殊规律去探索一般规律, 再从一般规律去熟悉 特殊规律.那么对数学水平的培养将大有裨益.四条边定长四边形面积的最大值上海市育群中学李甲鼎更多精品文档学习好资料四条边为定长的四边形不具稳定性, 但在某种特定的位

39、置下,它能内 接于圆,成为圆内接四边形.并且此时到达变化过程中面积最大值. 下文 证实这个事实.：四边形 ABCM: AB= a, BC= b, CD=c DA=d求证：四边形ABCM有唯一四边形能内接于圆,且此时面积到达最 大化证实：(1)先证四边形四边定长,有唯一的四边形内接于圆,设/ABC二 a , / ADC率,AC=x2由余弓淀理得a =(1)令 a + B = c ,即 COS a + COS 0 =0aJ bu - x2C3 + eV - H2=042ab2fcd+) + 肪口 + d一 足.=0, 工 ab(c +& )+cd(k +b )二 K =:.ab + cdX

40、的解唯一确定,代入 (2)后COS a、COS B也随之唯一确,在a , BC(0,冗)的条件下a、B也同时唯一确定.一四边形四边定长,对角互补,四边形是唯一的.即所得到的四边形 为圆内接四边形.(2)当四边定长的四边形内接于圆时,此四边形面积最大.更多精品文档学习-好资料四边形ABCD勺面积S= + s皿=5absitl Q +白痴乩B Lia匚由余弦定理得 a2+b22abcosa =x2=c2 + d2 2cdcos B_ ca _ d2) = -(abcosCL cdcos P ) (4)J0)* + (4)1 ： * + ；-c2- d3)3 =-a3ba + c2d2 - 2abc

41、dcos(Cl + E )=>S2+ dd* - 2abcdg£(H 4- P )- -jfa2 4- S2 - c3 - d2)2显然当a + B =冗时即为圆内接四边形时S2到达最大值,即S最大.= 3rhz +/d? + 2abcd- +b2 -c3-d2)24.'.S1Mli = ：/(8i + b + c - d)(贸 + 办 + d - c)S + c 4 d - b)(b + c + d -渣)一个几何定理的应用江苏省徐州矿务局庞庄职校张怀林定理：如图1 ,在圆接四边形ABCD中弦AD平分/ BAC ,那么2ADcos a =AB + AC.证实 连接BD

42、、DC、BC,设圆半径为R,那么由正弦定理有：BD = DC = 2Rsin 民,BC=2Rsin2 a .更多精品文档学习-好资料由托勒密定理有AB - CD+AC - BD=AD - DC.AB+AC - 2Rsin a =AD - 2Rsin2那么 2AD - cos a =AB + AC.卜面举例说明它的应用.例1如图2,锐角 ABC的/A平分线交BC于L,交外接圆于 N,过L分别作LKAB, LMXAC,垂足分别为K、M.求证：四边形 AKNM的面积等于 ABC的面积.第 28 届 IMO证实由得由定理有 2ANcos a =AB + AC,而姐匚=!AB + AC. AL* sna

43、=AN - AL cos s sin a =AN AK - sin a =AN - AM sin a =2S/n= 2Saamn. SaaB=S 四边形AKNM例2己知一个正七边形A1%A71求证,更多精品文档学习-好资料第21届全苏奥数证实作正七边形外接圆,如图3所示.明3图4由定理有2c - cos a =b+c ,又在等腰 AiA2A3中有2a - cos民=b .以上两式相除,可得手=匚 b a例 3 在 ABC 中,/ C=3/A, a = 27, c = 48,那么 b 的值是.第36届AHSME试题解如图4.作 ABC的外接圆,在虚取三等分点D、E,连CD、CE.由得：/ ACD

44、= / DCE= / ECB= / A, CD=AB=48 ,由定理有 2CE cosA=CB+CD 2CD cosA = CE+AC 又 2CB - cosA=CE 更多精品文档学习-好资料由、得二 CE = JCB(CB + CD) =45,由、得：b=AC=CE - (CD-CB)/CB=35 .托勒密定理及其应用河北省晋州市数学论文研究协会刘同林托勒密定理：圆内接四边形中,两条对角线的乘积 两对角线所包矩 形的面积等于两组对边乘积之和一组对边所包矩形的面积与另一组对 边所包矩形的面积之和.：圆内接四边形ABCD ,求证：AC - BD=AB - CD+AD - BC .证实：如图1,过

45、C作CP交BD于P,使/ 1 = /2,又/ 3=/4, .ACDsBCP .AC ABBC = BF那么 AC, BP = AD * BC,又/ACB=/DCP, /5=/6, . ACBsDCP .ar AC= r/. AC* DP = AB* CD.DP CD十 得 AC(BP + DP)=AB - CD+AD BC .即 AC - BD=AB - CD+AD BC.这就是著名的托勒密定理,在通用教材中习题的面目出现,不被重视.笔者认为,既然是定理就可作为推理论证的依据. 有些问题假设根据它 来论证,显然格外简洁清新.兹分类说明如下,以供探究.、直接应用托勒密定理更多精品文档学习-好资料

46、A图 £例1如图2, P是正4ABC外接圆的劣弧吃上任一点不与B、C 重合,求证：PA=PB+PC.分析：此题证法甚多,一般是截长、补短,构造全等三角形,均为繁 冗.假设借助托勒密定理论证,M有 PA - BC=PB AC + PC AB,.AB=BC=AC .PA=PB+PC .二、完善图形借助托勒密定理例2证实“勾股定理： 在 RtABC 中,/B=90° ,求证：AC2=AB2+BC2证实：如图3,作以RtAABC的斜边AC为一对角线的矩形 ABCD , 显然ABCD是圆内接四边形.A国图耳由托勒密定理,有AC BD=AB - CD+AD BC . 又; ABCD是矩

47、形,更多精品文档学习好资料 .AB=CD , AD=BC , AC=BD. 把代人,得ac2=ab2+bc2.例3如图4,在4ABC中,/ A的平分 线交外接/圆于D,连结 BD,求证：AD - BC=BD(AB +AC).证实：连结CD,依托勒密定理,有 AD BC=AB CD + AC BD./ 1 = /2,BD=CD .故 AD BC=AB - BD + AC - BD=BD(AB +AC).三、利用“无形圆借助托勒密定理例4等腰梯形一条对角线的平方等于一腰的平方加上两底之积.如图 5, ABCD 中,AB / CD, AD=BC ,求证：BD2=BC2 + AB - CD .证实：二

48、.等腰梯形内接于圆,依托密定理,那么有 AC BD=AD BC + AB CD.又= AD=BC , AC=BD ,.BD2=BC2 + AB CD.四、构造图形借助托勒密定理例 5 假设 a、b、x、y 是实数,且 a2+b2=l, x2 + y2=1 .求证：ax+ by < 1 .证实：如图6,作直径AB=1的圆,在AB两边任作RtAACB和Rt ADB,使 AC = a, BC=b , BD=x, AD=y.更多精品文档学习-好资料由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的.据托勒密定理,有 AC BD + BC AD=AB - CD. CDWAB = 1,ax+by<1

49、.五、巧变原式妙构图形,借助托勒密定理例6a、b、c是4ABC的三边,且a2=b(b+c),求证：/ A=2 / B .分析：将a2=b(b+c)变形为a - a=b - b + bc,从而联想到托勒密定理, 进而构造一个等腰而形,出两腰为 b,两对角线为a, 一底边为c.证实：如图7,作4ABC的外接圆,以A为圆心,BC为半径作弧 交圆于D,连结BD、DC、DA. AD=BC ,丁. / ABD= / BAC .又:/ BDA=/ACB(对同弧),；/1=/2.于是 ED=|C ,那么 BD=AC=b .依托勒密定理,有 BC - AD=AB CD + BD AC. 而 a2=b(b + c

50、),即 a - a=b c+b2. 比拟GX 得 CgMBD , CD=BE , z 3=z l = z 2 . ./ BAC=2/ABC.更多精品文档学习好资料六、巧变形妙引线借肋托勒密定理例 7 在 ABC 中,/ A ： / B ： / C=1 ： 2 ： 4,求证1L += _LI AB AC BC析证：将结论变形为AC - BC + AB - BC=AB AC,把三角形和圆联 系起来,可联想到托勒密定理,进而构造圆内接四边形.如图8,作4ABC的外接圆,作弦 BD=BC ,边结AD、CD.在圆内接四边形ADBC中,由托勒密定理,有 AC BD + BC AD=AB - CD易证 AB

51、=AD , CD=AC ,. AC BC+BC - AB=AB - AC,两端同除以AB,EC AC,存+ 777 =钎；-H-D Aw -D w关于圆内接四边形的假设干共点性质浙江绍兴县鲁迅中学范培养设四边形ABCD内接于圆O,其边AB与DC的延长线交于P, AD 与BC的延长线交于Q,由P作圆的两切线PM、PN,切点分别为M、N; 由Q作圆的两切线QE、QF,切点分别为E、F如图1.那么有以下一些 共点性质：性质1 AC、BD、EF三直线共点.证实：如图1 ,设AC交EF于Ki,那么Ki分EF所成的比为EK1 ,晔 AEsin/EAK = APsinZFAK,CE刈口 JEAKiCF-2R

52、i - 2K.其甲R为.半径乳口 N上Abi1CECF ,更多精品文档学习好资料设BD交EF于大,同理可得大分EF所成的比为由QEAls£QDE彳导提抵=, LE QD&F GF SAQAQCFW-,由0及QE = QF可得会器同理可得些二至 I收I忖CE CF由(5)、(6)可得(1)=(2),故Ki、K2分EF所成的比相等.Ki、K2重合,从而 AC、BD、EF三直线共点.类似地AC、BD、MN三直线共点,因此有以下推论AC、BD、EF、MN四直线共点.性质2 AB、DC、EF三直线共点于P.(此性质等同于1997年中国 数学奥林匹克第二试第四题)这里用上述证实性质1的方

53、法证之.证实：如图2.设DC与EF的延长线交于Pi,那么Pi分EF所成的比 为更多精品文档学习-好资料设AB与EF的延长线交于P2,那么P2分EF所成的比为由(5)、(6)可得=(8),故Pi、P2分EF所成的比相等.Pi、P2重合,从而AB、DC、EF三直线共点于P.推论 AD、BC、NM三直线共点于 Q.性质3 EM、NF、PQ三直线共点.证实：如图3,设EM的延长线交PQ于Gi,妨上证法,Gi分PQ所 成的比为设NF的延长线交PQ于G2,那么G2分PQ所成的比为(10)PG1_ PN . NF5 =函证,(这里E、F、P三点共线及N、M、Q三点共线在性质2及推论中已 证).由PMEsPFM 得(11)PE- _ ME 血二而,由qfns/qmf 得.(12)由(11)、(12)及 QE=QF、PN=PM可得(9)=(10),故Gi、G2分PQ所成的比相等.更多精品文档学习好资料Gi、G2重合,从而EM、NF、PQ三直线共点.性质4如果直线EN和MF相交,那么交点在直线PQ上,即EN、 MF、PQ三直线共点.证实从略,妨性质3的证法可得.性质5 EM、NF、AC三直线共点.证实：如图4,类似于性质1的证实,设EM与AC的延长线交于G3,那么G3分AC所