初等数论作业

1、?初等数论?作业第一次作业： 一、单项选择题1、(0,b)=().AbB 4cb D 02、如果 ba , ab ,贝 ().A a=bB a="bC a _bD a = b3、如果(a,b)=1,贝U(ab, a+b)=().A a B b C 1D a »b4、小于30的素数的个数().A 10B 9C 8D 75、大于10且小于30的素数有(). A4个B5个C6个D7个6、如果 3n, 5n ,贝U 15 () n .A 整除 B不整除 C 等于 D不一定7、在整数中正素数的个数().A 有1个 B有限多 C无限多 D不一定 二、计算题1、求24871与3468的最

2、大公因数？2、求24871,3468=?3、求136,221,391=?三、证实题1、如果a, b是两个整数,b >0,那么存在唯一的整数对 q,r ,使彳#a=bq+r,其中0£. 232、证实对于任意整数 n ,数n+ +是整数. 3263、任意一个n位数anana2al与其按逆字码排列得到的数a1a2i anan的差必是9的倍数.4、证实相邻两个偶数的乘积是8的倍数.第二次作业一、单项选择题1、如果(A,那么不定方程 ax+by=c有解.A (a,b)c B c(a,b) C ac D(a,b)a2、不定方程 525x+231y =210 (A ).A 有解 B无解 C有

3、正数解D有负数解二、求解不定方程1、9x 21y =144.解：由于(9, 21) =3, 3144,所以有解；化简得3x 7y =48 ;考虑 3x +7y =1,有 x = N, y =1,所以原方程的特解为 x = _96,y =48 ,因此,所求的解是 x = _96+7t,y =48_3t,t WZ.2、6x -17y =18.解：由于6,1718,所以有解； 考虑 6x17y =1,x=3,y=1;所以x =54, y =18是特解,即原方程的解是x =54 -17t,y =18 - 6t3、107x 37y=25.解：由于 107, 37 =1|25,所以有解；考虑 107x+3

4、7y =1 ,有 x=9,y = -26,所以,原方程特解为 x=9 25=225, y - 26 25=-650, 所以通解为 x 225 37t,y - £50 -107t4 .求不定方程25x+13y+7z = 4的整数解.解我们将它分为两个二元一次不定方程来求解25x+13y=t, t+7z=4.利用求二元一次不定方程的方法,由于25(-t)+13(2t)= t, 32+7 乂 (-4)=4,所以,上面两个方程的解分别为'x = -1+13klj = 2t 25k1't=32+7k2z = -4 - k2'x = 32+13kl -7k2消去t就得到所

5、求的解 y =64 -25kl +14k2 , 、z = Y _ k2这里k1, k2是任意整数5 .求不定方程4x 9y +5z =8的整数解.解我们将它分为两个二元一次不定方程来求解4x-9y=t, t+5z=8.t =48 5k2 z - -8 - k2利用求二元一次不定方程的方法,由于4(-2t)-9(-t)= t, 48+5 父(-8)=8,'x 2t 9kl所以,上面两个方程的解分别为11y = -t 4klx = -96 -9kl -10k2消去t就得到所求的解 彳y = 48 4kl -5k2z - -8 - k2这里k1, k2是任意整数第三次作业:一、选择题1、整数

6、5874192能被()整除.A 32、整数637693能被()整除.A 33、模5的最小非负完全剩余系是().A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D4、如果a三b(modm) ,c是任意整数,那么B3与 9 C 9 D3或 9B 5 C 7 D 90,1,2,3,4A ac 三bc(modm)B a =b C ac - bc(modm) D a=b二、解同余式(组)(1) 45x 三 21(mod132). 12x 15 三 0(mod45)(3) 111x 三 75(mod321).x 三 1(mod 7)(4) x 三 2(mod 8).x

7、 三 3(mod 9)(5)x 三 1(mod 2)x 三 2(mod 5)x 三 3(mod 7)x 三 5(mod 9)三、证实题1、如果整数a的个位数是5,那么该数是5的倍数.2、证实当n是奇数时,有3(2n+1).第四次作业：一、计算：1、判断同余式x2三438(mod 593)是否有解?22、判断同余式x三365(mod 1847)是否有解？3、求11的平方剩余与平方非剩余.4、计算1429 ,其中563是素数.5635、计算383443二、证实题：1、证实相邻两个整数的立方之差不能被5整除.2、证实形如4n -1的整数不能写成两个平方数的和3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数

8、的乘积 的数的乘积,也是一个两个平方数和的数 .4、素数写成两个平方数和的方法是唯一的.,仍然是两个平方数的和；两个能表成两个平方数和答案：第一次作业：一、单项选择题 1、(0,b) = (C ).AbB4C|bD 02、如果 ba , ab ,贝U (D ).A a =b B a = -bC a _bD ab3、如果(a,b)=1,贝U(ab,a+b)= (C ). A a B b C 1 Dab 4、小于30的素数的个数(A). A 10 B 9 C 8 D 7 5、大于10且小于30的素数有(C). A4个 B5个 C6个 D7个6、如果 3n , 5n ,那么 15 (A) n .A

9、整除 B不整除 C 等于 D不一定7、在整数中正素数的个数(C ) . A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定二、计算题1、求24871与3468的最大公因数？ 解：24871=34687+5953468=595 5+493 595=493 1+102 493=102 4+85 102=85 1+17 85=17 M 5,所以,(24871,3468)=17.24871 3468 =50736842、求24871,3468=? 解：由于 (24871,3468) 所以 24871,3468=所以24871与3468的最小公倍数是 3、求136,221,391=

10、?解：136,221,391=136,221,391 136 221 一 =,391 尸1768,39117 1768 391 =104 391=40664.17三、证实题6、如果a, b是两个整数,b >0,那么存在唯一的整数对 q,r ,使彳导a=bq+r,其中0Wr-：b.证实：首先证实唯一性.设q', r是满足条件的另外整数对,即a=bq r,0 r b.所以 bq' + r' = bq+r,即 b(q' q)=rr',bq'q=rr'.又由于 0rYb, 0r'Yb,所以r -r' b.如果q #q 

11、9;,那么等式bq' q = r - r'不可能成立.因此 q =q , r = r其次证实存在性.我们考虑整数的有序列,-3b,-2b,-b,0,b,2b,3b,那么整数a应介于上面有序列的某两数之间,即存在一整数q使qb - a q 1 b .我们设 r = a qb ,那么有 a=bq+r, 0 < r b.7、证实对于任意整数2 n n n ,数一 ,一 323+是整数.62证实：由于口+L323n十6所以,anan1a2 al - a1a2an 4an =an (10n4 -1) an10(10心-1)a2 10(1 -10n") a1(1 -10n&

12、#39;).而上面等式右边的每一项均是9的倍于是所证实的结论成立.9、证实相邻两个偶数的乘积是8的倍数.证实：设相邻两个偶数分别为 2n, (2n +2)所以 2n(2n 2) = 4n(n 1)而且两个连续整数的乘积是2的倍数第二次作业答案：一、单项选择题即4n(n +1)是8的倍数.1、如果(A,那么不定方程ax+by=c有解.A (a, b) c21=(2 3n n ) = n(n 1)(n 2), 66而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是 3的倍数,并且(2,3)=1, 所以从 2 n(n +1)(n +2)和 3n(n +1)(n +2)有 6 n(n +1)(n

13、+2),23即口 +n_+L是整数.3268、任意一个n位数anana2al与其按逆字码排列得到的数 a1a2i an,an的差必是9的倍数.证实：由于anan a2a1 = an 10n 4 an 4 10n " "a2 10a1,©a2 20或= " 10n1. a2 10T- a.10 an,B c(a,b)D (a,b) a2、不定方程525x+231y =210 (A ) . A 有解 B 无解 C有正数解D有负数解二、求解不定方程1、9x 21y =144.解：由于(9, 21) =3, 3144 ,所以有解；化简得3x 7y =48;考虑

14、3x +7y =1 ,有 x = 2 y =1 ,所以原方程的特解为 x = -96, y =48 ,因此,所求的解是 x = -96+7t,y =483t,t WZ.2、6x-17y=18.解：由于(6,17)18,所以有解；考虑 6x-17y =1,x=3, y =1;所以x =54, y =18是特解,即原方程的解是x =54 -17t,y =18 -6t3、107x 37y=25.解：由于( 107, 37) =1|25,所以有解；考虑 107x +37y =1 ,有 x =9, y - -26 ,所以,原方程特解为 x=9 25=225, y - -26 25=-650,所以通解为

15、x =225 -37t, y - £50 -107t4.求不定方程25x+13y+7z = 4的整数解.解我们将它分为两个二元一次不定方程来求解25x+13y=t, t+7z=4.利用求二元一次不定方程的方法,由于25(-t)+13(2t)= t, 32+7(-4)=4,所以,上面两个方程的解分别为'x = -1+13kl't=32+7k2,.y = 2t - 25klz = Y - k2消去t就得到所求的解lx - -32 13kl -7k2* y =64-25kl +14k2 ,/ = Y *这里k1, k2是任意整数5.求不定方程4x 9y +5z =8的整数解

16、.解我们将它分为两个二元一次不定方程来求解4x-9y=t, t+5z=8.利用求二元一次不定方程的方法 ,由于4(-2t)-9(-t)= t, 48+5 x (-8)=8,所以,上面两个方程的解分别为x = -2t - 9kly = -t - 4ki't =48 + 5k2=z = -8 - k2x - -96 - 9kl -10k2这里ki, k2是任意整数消去t就得到所求的解 ,y = 8 -4k1 -5k2 z = -8 k2第三次作业答案:一、选择题1、整数5874192能被(B )整除.2、整数637693能被(C )整除.A3B3与 9A 3B5C3、模5的最小非负完全剩余

17、系是(D ). A -2,-1,0,1,24、如果a三b(mod m) ,c是任意整数,那么(A )C 9 D 3 或 97 D 9B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D0,1,2,3,4A ac 三bc(modm)B a =b C ac . bc(mod m) D a ub、解同余式(组)(1) 45x =21(mod132).解 由于(45,132)=3 |21,所以同余式有3个解.将同余式化简为等价的同余方程15x 三 7(mod 44).我们再解不定方程15x-44y =7,得到一解(21,7).于是定理4.1中的x0 =21.因此同余式的3个解为x 三 21(m

18、od132),132x 三 21 一 (mod 132)三 65(mod132),3132x 三 21 2 - (mod132) = 109(mod132). 12x 15 三 0(mod45)解 由于(12,45)=3 |1 5,所以同余式有解,而且解的个数为3.又同余式等价于 4x +5三0(mod 15),即4x + 5 =15y .我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3),即定理4.1中的x0 =10.因此同余式的3个解为45x 三 10(mod45),x 三 10 一 (mod 45) = 25(mod 45)345 ,x 三 10 2 (mod 45)三 40(mod

19、45).(3) 111x 三 75(mod321).解 由于(111,321)=3 | 75,所以同余式有3个解.将同余式化简为等价白同余方程37x = 25(mod 107).我们再解不定方程37x 107y =25,得到一解(-8,3).于是定理4.1中的x0 = 8.因此同余式的3个解为321x 三-8(mod 321),x 三 一8 一 (mod 321)三 99(mod 321)3321x 三 8 2 - (mod 321) = 206(mod 321).x = 1(mod 7)(4) x = 2(mod 8).x 三 3(mod 9)解 由于(7,8,9)=1,所以可以用J用定理

20、5.1.我们先解同余式72x 三 1(mod 7), 63x 三 1(mod 8), 56x 三 1(mod 9),得 至U x1 =4(mod 7), x2 = 1(mod 8), x3 = 4(m9) o . d 于 是 所求 的 解 为x 三 72 4 1 63 (-1) 2 56 (-4) 3(mod 494),-510(mod 494), 478(mod 494).xi =1(mod 2)(5)xii 三 2(mod 5) 口工.(参考上题)xiii 三 3(mod 7)xiv 三 5(mod 9)三、证实题1、如果整数a的个位数是5,那么该数是5的倍数.证实设a是一正整数,并将a写

21、成10进位数的形式a = an10n a10n,：用： , 0 _ a、10.由于 10 三0(mod5),所以我们得到a 三 a0 (mod 5)所以整数a的个位数是5,那么该数是5的倍数.2、证实当n是奇数时,有3(2n +1).证实 由于 2 三一1(mod3),所以 2n +1 三(-1)n+1(mod 3).于是,当n是奇数时,我们可以令n = 2k +1.从而有 2n +1 三(_1)2k书 +1 三0(mod 3),即 3(2n +1).第四次作业答案：一、计算：1、判断同余式X2三438(mod593)是否有解？(答：无解.方法参照题2)2、判断同余式x2三365(mod 18

22、47)是否有解？解 我们容易知道1847是素数,所以只需求,至5 i的值.1847如果其值是1,那么所给的同余式有解,否那么无解.由于 365 = 5 父73,所以,竺51J=一,二3-；.=HzL.1<1847； < 5 ) 15,18471847 1847再 5 三 1(mod4),73 三 1(mod 4), 所 以2=也;丝=Z卫1847. 737373 73=1473=亿=_但=一色工_1111177所以,竺5 =1.于是所给的同余式有解.<1847 )3、11的平方剩余与平方非剩余.,11 - 1 一、|入1一人解由于 =5 ,所以平方剩余与平方非剩余各有5个.2

23、又由于12三1, 22三4, 32三9, 42三5,53,所以,1 , 3, 4, 5, 9是素数11的5个平方剩余.其它的8个数,2, 6, 7, 8, 10是素数11的平方非剩余4、计算,丝9 1其中563是素数.563Q29宇乎伊63167、 学亨(429、尸429、熊尸-1)金J4 -国厂)方厂-西J(563 1(134、2 2 丫67 1 /八字(67 )(27)、学咚代7)(67)=l= I 1= I 1 = (-1) I 尸(1)尸1429 J 1429 J 1429 人429 )429 J<67 J<27 J <27)127；2713.221313即429是5

24、63的平方剩余.5、计算,竺3 )(计算方法参照题4)443二、证实题：1、证实相邻两个整数的立方之差不能被5整除.证实 由于(n +1)3 -n3 =3n2 +3n+1,所以只需证实3n2 3n 1 . (mod 5).而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2 构成,所以这只需将n=0, ±1,±2代入3n2+3n+1分别得值1, 7, 1, 19, 7.对于模5, 3n2 +3n +1的值1, 7, 1, 19, 7只与1, 2, 4等同余,所以 3n2 3n 1 . (mod 5)所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除.2、证实形如4n -1的整数不能写成两个平方数的和.证实 设n是正数,并且n三-1